Sólido rígido |
Dinámica de rotación Ecuación de la dinámica de rotación Momentos de inercia Dinámica de rotación y balance energético Péndulo de torsión Péndulo compuesto El columpio Rozamiento en el movimiento de rotación El oscilador de "Atwood" Varilla inclinada Lápiz que cae (I)
Escalera que desliza Escalera, estática y dinámica |
Ecuaciones del movimiento | |||
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En las páginas anteriores, hemos estudiado la caída de una varilla inclinada y la caída de un lápiz inclinado con su punta apoyada en un suelo sin rozamiento. En esta página, vamos a estudiar el comportamiento más complejo de un lápiz inicialmente inclinado, que se suelta con su punta apoyada en un suelo rugoso.
Ecuaciones del movimiento
Consideraremos el lápiz como una varilla delgada homogénea de masa m y longitud L. Las fuerzas sobre el lápiz son
Las ecuaciones del movimiento son la composición de:
El movimiento del lápiz consta de dos etapas
La punta del lápiz está en reposo en contacto con el sueloSe trata del mismo problema que la caída de una varilla inclinada sujeta por uno de sus extremos, con un planteamiento distinto. Si la punta del lápiz está en contacto con el suelo, la posición del centro de masas es (véase la figura más arriba) x=(L/2) senθ, Las componentes rectangulares de la velocidad y aceleración del centro de masas son, respectivamente
Las fuerzas horizontal y vertical en el punto de apoyo P valen
La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Esta es la ecuación diferencial que obtuvimos para el movimiento de caída de la varilla con su extremo O fijo. Para obtener el ángulo θ que hace la varilla con el suelo en función del tiempo, se integra la ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la varilla está inclinada un ángulo θ=θ0 y parte del reposo, ω=dθ/dt=0 Aproximación Cuando el ángulo θ es pequeño podemos hacer la aproximación senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe
Cuya solución es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la varilla está inclinada un ángulo θ=θ0 y parte del reposo, ω=dθ/dt=0
El desplazamiento angular θ crece exponencialmente con el tiempo. Estudio energéticoLa energía potencial del c.m. de la varilla E=mg(L/2)·cosθ0 se convierte en energía cinética de rotación. El principio de conservación de la energía se escribe.
Donde Io es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el punto de contacto O con el suelo. Aplicando teorema de Steiner
Despejamos la velocidad angular de rotación alrededor del punto fijo O
Introducimos dθ/dt y d2θ/dt2, ecuaciones (1) y (2), en las expresiones de la fuerza horizontal y vertical en el punto de apoyo, F y N
Que son las mismas expresiones que obtuvimos al estudiar la caída de una varilla inclinada sujeta por uno de sus extremos. Hemos llegado a la misma solución pero con un planteamiento distinto. En la figura, se muestra el valor del cociente F/N en función del ángulo θ, cuando el lápiz se inclina ligeramente θ0=1º respecto de la posición vertical y se suelta.
Cuando θ0≈0, cosθ0≈1, el denominador proporcional a N es el cuadrado (1-3cosθ)2 que es positivo. Fuerza nula El cociente F/N alcanza un valor máximo para un ángulo próximo a 35º, y F se hace cero para un ángulo próximo a 48º. Finalmente, F cambia de signo. F y por tanto, el cociente F/N se hace cero cuando 3cosθ=2cosθ0, Si el lápiz se libera cuando hace un ángulo θ0 próximo a cero, cosθ0≈1 cosθ=2/3, θ=48.2º Máximo y mínimo Algo más laborioso resulta calcular el ángulo θ para el cual F/N presenta un máximo. Derivamos el cociente F/N respecto del ángulo θ e igualamos a cero (-3sen2θ+3cos2θ-2cosθ·cosθ0)(1+9cos2θ-6cosθ·cosθ0)-(3cosθ-2·cosθ0)·senθ (-18cosθ +6cosθ0)·senθ =0 Realizando algunas operaciones y empleando la relación trigonométrica sen2θ=1-cos2θ llegamos a la ecuación de segundo grado 33cos2θ-38cosθ·cosθ0-3+12·cos2θ0=0 Una de las raíces corresponde a un máximo y la otra a un mínimo
Si el lápiz se suelta cuando hace un ángulo θ0 próximo a cero, cosθ0≈1 Las raíces son cosθ1=1/3 y cosθ2=9/11 Los correspondientes ángulos son θ1=70.5º y θ2=35.1º. La primera N→0 y F/N→-∞ (es un mínimo), la segunda (F/N)máx=0.371 es un máximo tal como se aprecia en la figura más arriba.
La punta del lápiz deslizaF y N no son independientes sino que F=±μN
Posición y velocidad de la punta del lápiz
La velocidad de la punta del lápiz P, es la suma de la velocidad de traslación del c.m. dx/dt y la velocidad debida a la rotación alrededor de un eje perpendicular al lápiz y que pasa por el c.m. ωL/2
Si situamos el origen O en la punta del lápiz cuando se libera formando un ángulo θ0, con la dirección vertical. El desplazamiento de la punta del lápiz es la distancia OP OP=x+(L/2)senθ0-(L/2)senθ Donde x es el desplazamiento del centro de masas Mientras la punta del lápiz P permanece en el origen en reposo, vP=0, la velocidad del centro de masas dx/dt>0. La punta del lápiz empieza a deslizar a partir del ángulo θd para el cual se cumple que |F|=μN. Para calcular este ángulo, resolvemos la ecuación trascendente
Casos particularesSe consideran los casos
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa la caída del lápiz hasta llegar al suelo θ=90º En la parte izquierda del applet se proporciona los datos de: El tiempo t es segundos
En la parte derecha del applet se representa
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Cross R., The fall and bounce of pencils and other elongated objects. Am. J. Phys. 74 (1) January 2006, pp. 26-30
public class Estado {
double t;
double x;
double y;
double vx;
double vy;
public Estado(double t, double x, double y, double vx, double vy) {
this.t=t;
this.x=x;
this.y=y;
this.vx=vx;
this.vy=vy;
}
}
public abstract class RungeKutta {
double h;
RungeKutta(double h){
this.h=h;
}
public void resolver(Estado e){
//variables auxiliares
double k1, k2, k3, k4;
double l1, l2, l3, l4;
double q1, q2, q3, q4;
double m1, m2, m3, m4;
//estado inicial
double x=e.x;
double y=e.y;
double vx=e.vx;
double vy=e.vy;
double t=e.t;
k1=h*vx;
l1=h*f(x, y, vx, vy, t);
q1=h*vy;
m1=h*g(x, y, vx, vy, t);
k2=h*(vx+l1/2);
l2=h*f(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);
q2=h*(vy+m1/2);
m2=h*g(x+k1/2, y+q1/2, vx+l1/2, vy+m1/2, t+h/2);
k3=h*(vx+l2/2);
l3=h*f(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);
q3=h*(vy+m2/2);
m3=h*g(x+k2/2, y+q2/2, vx+l2/2, vy+m2/2, t+h/2);
k4=h*(vx+l3);
l4=h*f(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);
q4=h*(vy+m3);
m4=h*g(x+k3, y+q3, vx+l3, vy+m3, t+h);
x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
vx+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
y+=(q1+2*q2+2*q3+q4)/6;
vy+=(m1+2*m2+2*m3+m4)/6;
t+=h;
//estado final
e.x=x;
e.y=y;
e.vx=vx;
e.vy=vy;
e.t=t;
}
abstract public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t);
abstract public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t);
abstract public double fuerza_X(double x, double vx);
abstract public double fuerza_Y(double x, double vx);
}
public class Sistema extends RungeKutta{
double lonVarilla;
Sistema(double lonVarilla, double h){
super(h);
this.lonVarilla=lonVarilla;
}
public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){
return (14.7*Math.sin(x)/lonVarilla);
}
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){
double temp=(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.cos(x)-vx*vx*Math.sin(x))*lonVarilla/2;
return temp;
}
public double fuerza_X(double x, double vx){
double temp=(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.cos(x)-vx*vx*Math.sin(x))*lonVarilla/2;
return temp;
}
public double fuerza_Y(double x, double vx){
double temp=9.8-(f(x, 0.0, vx, 0.0, 0.0)*Math.sin(x)+vx*vx*Math.cos(x))*lonVarilla/2;
return temp;
}
}
public class Sistema_Roza extends Sistema {
double mu;
Sistema_Roza(double lonVarilla, double mu, double h){
super(lonVarilla, h);
this.mu=mu;
}
public double f(double x, double y, double vx, double vy, double t){
double temp=(6*9.8-3*lonVarilla*vx*vx*Math.cos(x))*(Math.sin(x)-mu*Math.cos(x))
/(lonVarilla*(1.0+3*Math.sin(x)*(Math.sin(x)-mu*Math.cos(x))));
return temp;
}
public double g(double x, double y, double vx, double vy, double t){
double temp=9.8-lonVarilla*(vx*vx*Math.cos(x)+f(x, y, vx, vy, t)*Math.sin(x))/2;
return (mu*temp);
}
public double fuerza_X(double x, double vx){
double temp=mu*fuerza_Y(x, vx);
return temp;
}
//public double fuerza_X(double x, double vx){ está definida en la clase base
}
//Creación de objetos estado=new Estado(0.0, angInicial, 0.0, 0.0, 0.0); sistema=new Sistema(lonVarilla, dt); //movimiento, resuelve las ecuaciones diferenciales sistema.resolver(estado);
double vPunta=estado.vy-estado.vx*lonVarilla*Math.cos(estado.x)/2;
if((mu<muMax)&& (vPunta>0) && !bMueveDcha){ //velocidad de la punta del lápiz
bMueveDcha=true;
bMueveIzq=false;
sistema=new Sistema(lonVarilla, dt);
}
if(Math.abs(sistema.fuerza_X(estado.x, estado.vx))>
mu*sistema.fuerza_Y(estado.x, estado.vx)) &&!bMueveIzq){
if(sistema.fuerza_X(estado.x, estado.vx)<0.0)
sistema=new Sistema_Roza(lonVarilla, -mu, dt);
else
sistema=new Sistema_Roza(lonVarilla, mu, dt);
bMueveIzq=true;
}
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Lápiz que cae (II)
(1)
(2)
(3)
