Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Composición de movimientos La rueda de Maxwell
Fuerza sobre una rueda Rodando por un plano inclinado Equilibrio rotación-traslación(II) Deformaciones de la rueda y el plano Desplazando el plano sobre el que se apoya la rueda Choque frontal de dos esferas. Percusión en una bola de billar Movimiento de una esfera en un plano horizontal Choque de dos bolas de billar |
Ecuaciones de la dinámica | |||||
| Para ilustrar el papel de la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar, vamos a considerar la siguiente situación.
Planteamos el problema de modo general. Un disco perfectamente rígido de masa m y de radio R que rueda sobre una superficie horizontal perfectamente rígida. Su velocidad inicial de traslación de su centro de masa v0 y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por su centro de masa w0. Determinar la velocidad angular w, y la velocidad de su centro de masas v, cuando el disco rueda sin deslizar v=w·R.
Ecuaciones de la dinámicaLa única fuerza que actúa sobre el disco es la fuerza de rozamiento Fr en el punto P de contacto con el plano horizontal Fr=m N=m mg La velocidad del punto P en un instante cualquiera es vP=vc-w ·R La dirección de la fuerza de rozamiento es opuesta a la dirección de la velocidad en P, vP. Hay dos posibles casos:
Primer caso, v0>w0·RLa fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda. La ecuaciones del movimiento serán
El momento de inercia del disco Ic respecto de un eje perpendicular
al disco y que pasa por su centro es
Resolviendo estas dos ecuaciones
La velocidad de traslación del c.m. vc disminuye, aumenta la de rotación w . La velocidad del punto P del disco en contacto con el plano horizontal es vP=vc-w ·R=(v0-w 0·R)-3m gt El movimiento de rodar (sin deslizar) se establece cuando vP=0, es decir en el instante
El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular q, ángulo girado por el disco en el tiempo t son respectivamente
Segundo caso, v0<w0·RLa fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha. Las ecuaciones del movimiento serán
Resolviendo estas dos ecuaciones
La velocidad de traslación del c.m. vc aumenta, la velocidad de rotación w disminuye La velocidad del punto P del disco en contacto con el plano horizontal es vP=vc-w ·R=(v0-w 0·R)+3m gt El movimiento de rodar (sin deslizar) se establece cuando vP=0, es decir en el instante
El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular q, ángulo girado por el disco en el tiempo t son respectivamente
Condición de rodar (sin deslizar)Como podemos apreciar las velocidades finales en el momento en el que se alcanza el estado de movimiento de rodar (sin deslizar) son independientes del coeficiente m de la fuerza de rozamiento.
En el momento en el que se cumple la condición vc=w ·R, la fuerza de rozamiento desaparece y el disco comienza una segunda etapa en su movimiento caracterizada por la constancia de la velocidad de traslación del c.m, vc y de la velocidad de rotación w .
Balance energéticoLa energía inicial del disco es
La energía final del disco es
Calculamos la diferencia entre la energía final y la inicial, e introducimos en la segunda expresión el valor hallado de vc en el instante t en el que el disco rueda (sin deslizar).
Calculamos ahora el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento
ActividadesSe introduce:
Se pulsa el botón titulado Empieza. Observamos el movimiento del disco. Con flechas de color rojo se representan, la velocidad del cm. vc en cada instante, y la velocidad del punto P de contacto entre el disco y el plano horizontal vP. La velocidad vP puede ser inicialmente positiva o negativa dependiendo de que v0>w0·R ó v0<w0·R. Al cabo de un cierto tiempo t la velocidad vP se hace cero y el disco rueda (sin deslizar), se cumple entonces vc=w R. En la parte superior derecha del applet, se muestran los siguientes datos:
En la parte superior del applet, se representa en la misma gráfica en función del tiempo t
Observaremos, que dependiendo de que v0>w0·R ó v0<w0·R, una de las velocidades se incrementa y la otra disminuye hasta que adquieren un valor común después de un tiempo t. En la parte superior izquierda se representa el diagrama de energías.
Después de un cierto tiempo t en el que el disco rueda (sin deslizar) la energía cinética de rotación es la tercera parte de la energía total, tal como hemos demostrado en el apartado balance energético. La energía cinética de rotación final está representada por un sector de 120º, mientras que la de traslación está representada por un sector de 240º. Podemos observar también, que la energía inicial es mayor que la final, la diferencia se pierde como trabajo de la fuerza de rozamiento.
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Equilibrio
rotación-traslación(I)
