Choque frontal de dos esferas que ruedan

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Sólido rígido

Movimiento general
de un sólido rígido
Composición de
movimientos
La rueda de Maxwell
Equilibrio
rotación-traslación(I)
Ferza sobre una 
rueda
Rodando por
un plano inclinado
Equilibrio 
rotación-traslación(II)
Deformaciones de
la rueda y el plano
Desplazando el 
plano sobre el que 
se apoya la rueda
marca.gif (847 bytes)Choque frontal de
 dos esferas.
Percusión en una
bola de billar
Movimiento de una 
esfera en un
plano horizontal
Choque de dos 
bolas de billar
Velocidades inmediatamente después del choque

Movimiento después del choque

Movimiento de rodar sin deslizar

java.gif (886 bytes)Actividades

 

En el capítulo de dinámica estudiamos las colisiones frontales de dos partículas, aplicando el principio de conservación del momento lineal y la definición de coeficiente de restitución.

En esta página, vamos a estudiar los choques frontales de dos esferas del mismo radio aunque pueden estar hechas de distintos materiales. Inmediatamente después del choque no se cumple en general, que las esferas rueden sin deslizar, vc¹ w ·r.

 

Velocidades inmediatamente después del choque

choques.gif (2136 bytes) choques1.gif (2154 bytes)

Sean dos partículas de masas m1 y m2 que tienen velocidades iniciales u1 y u2 antes del choque. Calculamos las velocidades v1 y v2 de los c.m. de las esferas después del choque.

  1. El principio de conservación del momento lineal

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

  1. La definición del coeficiente de restitución e.

v1-v2=-e(u1-u2)

Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las velocidades v1 y v2 del c.m. de las esferas después del choque

                (1)

donde M=m2/m1.

Si suponemos que el rozamiento entre las esferas en el momento en el que entran en contacto es despreciable, las velocidades angulares de rotación no cambian.

w1=u1/r        w2=u2/r          (2)

 

Movimiento después del choque

Inmediatamente después del choque no se cumple en general, que las esferas rueden sin deslizar, vc¹ w ·r. Por tanto, como vimos en la página Equilibrio entre el movimiento de traslación y rotación, las fuerzas de rozamiento entre las esferas y el carril sobre el que se mueven restablecerán este equilibrio hasta que se cumpla vc=w r. Más abajo, estudiaremos con detalle ejemplos concretos de los distintos movimientos.

Sean m1 y m2 o bien mi (i=1, 2), los coeficientes se las fuerzas de rozamiento entre cada una de las esferas y el carril. Puede ocurrir que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el carril sea positiva o negativa

choques2.gif (1926 bytes) Si vp=vc-w ·r>0

La fuerza de rozamiento Fr en P es de signo contrario (hacia la izquierda) tal como se muestra en la figura. Fr=mi N=mi mg.

Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán:

  • Movimiento de traslación del centro de masas (c.m.)

mac=-Fr
ac=- mi g.

Como ac<0, la velocidad vc del c.m. disminuye

  • Movimiento de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m.

Ica =Fr·r

Como a >0, la velocidad angular de rotación w aumenta

choques3.gif (1936 bytes) Si vp=vc-w ·r<0

La fuerza de rozamiento Fr en P es de signo contrario (hacia la derecha) tal como se muestra en la figura. Fr=mi N=mi mg

Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán

  • Movimiento de traslación del centro de masas (c.m.)

mac=Fr
ac=mi g

Como ac>0, la velocidad vc del c.m. aumenta

  • Movimiento de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m.

Ica =-Fr·r

Como a <0, la velocidad angular de rotación w disminuye

A partir de las ecuaciones de la cinemática del movimiento rectilíneo y circular uniformemente acelerado, calculamos la velocidad del c.m. vc y la velocidad angular de rotación w .

vc=v0+ac·t
w = w0+ a ·t

 

Movimiento de rodar sin deslizar

En ambos casos vP<0 y vP>0, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril se anula vP=0, en el instante t tal que Vc=w ·r,  la esfera rueda sin deslizar. La velocidad final del c.m. de la esfera es independiente del coeficiente de rozamiento mi (i=1, 2) entre la esfera y el carril.

 

Para cada una de las esferas, los instantes t1 y t2 para los cuales empiezan a rodar sin deslizar a partir del momento del choque, son respectivamente.

Las velocidades finales constantes V1 y V2 de las esferas, a partir de los instantes t1 y t2 cuando ruedan sin deslizar son, respectivamente:

donde v1 y v2 son las velocidades del c.m. de cada una de las esferas justamente después del choque, y ω1 y ω2 son las velocidades angulares que adquieren las esferas en dicho instante, fórmulas (1) y (2).

Los coeficientes de rozamiento μ1 y μ2 no intervienen en la velocidad final V1 y V2 de las esferas. Solamente en el tiempo t1 y t2 que tardan en alcanzar estas velocidades.

Ejemplo

  • Relación entre las masas de las esferas, M=m2/m1=1.0
  • Velocidades de las esferas antes del choque, u1=0.75 y u2=-0.5.
  • Coeficiente de restitución, e=0.72
  • Coeficiente de rozamiento entre las esferas y el plano horizontal, m =0.05.

1.-Velocidades v1 y v2 de las esferas inmediatamente después del choque, fórmulas (1)

v1=-0.325
v2=0.575

2.- Velocidades angulares w1 y w2, no cambian en el choque

1=u1=0.75
rω2=u2=-0.5

3.-Movimiento de las esferas después del choque.

  • Movimiento de la primera esfera
Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal

vP=v1-rω1=-0.325-0.75=-1.075

La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y de traslación, tal como puede verse en la figura

Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación  (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)

v1=-0.325+0.05·9.8·t
rω1=
0.75-5·0.05·9.8·t/2

El instante en el que se cumple que vP=0, la esfera rueda sin deslizar

v1=rω1 por tanto, t1=0.63 s.

La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es

V1=-0.325+0.05·9.8·t1=-0.02 m/s

  • Movimiento de la segunda esfera
Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal

vP=v2-rω2=0.575+0.5=1.075

La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y de traslación, tal como puede verse en la figura

Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)

v2=0.575-0.05·9.8·t
r
ω2=-0.5+5·0.05·9.8·t/2

El instante en el que se cumple que vP=0 , la esfera rueda sin deslizar

v2=rω2 por tanto, t2=0.63 s.

La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es

V2=0.575-0.05·9.8· t2=0.27 m/s

Actividades

Se introduce

  • Las velocidades de las esferas antes del choque, u1 y u2, en los controles de edición titulados Veloc. esfera 1 y Veloc esfera 2, respectivamente
  • El coeficiente de restitución e, en el control de edición titulado Coef. restitución
  • El cociente M=m2/m1 entre las masas de las dos esferas, en el control de edición titulado Cociente masas m2/m1
  • El coeficiente de rozamiento entre las esferas y el carril se ha fijado en m1= m2=0.05, para que se pueda ver la transición hacia el equilibrio (rodar sin deslizar) de las esferas. Este coeficiente, no interviene en las velocidades finales
  • El radio de las esferas se ha fijado en r=10 cm

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se pulsa los botones titulados Pausa/Continua y Paso para acercarse al momento del choque y tomar los valores de las velocidades del c.m. de cada una de las esferas v1 y v2 después del choque.

En el applet podemos ver el balance energético de la colisión. La energía antes del choque, (suma de la energía cinética correspondiente al movimiento de traslación del c.m. y de la energía cinética correspondiente al movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.) y la energía después del choque en colores más claros.

Se muestra mediante flechas, la velocidad del c.m. de la esfera y la velocidad del punto P de contacto entre la esfera y el carril.

Se sugiere al lector, que estudie los choques elásticos e=1 de dos bolas de billar de la misma masa y radio M=1

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.