Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Composición de movimientos La rueda de Maxwell Equilibrio rotación-traslación(I) Fuerza sobre una rueda Rodando por un plano inclinado Equilibrio rotación-traslación(II) Deformaciones de la rueda y el plano Desplazando el plano sobre el que se apoya la rueda Choque frontal de dos esferas. Percusión en una bola de billar
Choque de dos bolas de billar |
Ecuaciones del movimiento Trayectoria del centro de masas de la esfera |
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Ecuaciones del movimientoDescomponemos el movimiento de la bola en el plano, en dos movimientos.
Calculamos las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal vx=Vx-ωy·R Las fuerzas sobre la bola son
Las dos primeras fuerzas no contribuyen al movimiento del cuerpo
Ecuación del movimiento de traslación del centro de masas
Ecuación de la dinámica de rotación
Para una esfera la fórmula del momento de inercia es Ic=2mR2/5
Trayectoria del centro de masas de la esferaDerivando las ecuaciones (1) respecto del tiempo t
que se convierten en
La solución de esta ecuación diferencial es vy=c·vx donde c es una constante que determinaremos más adelante La primera ecuación diferencial se escribe
Como la aceleración a lo largo del eje X es constante, la velocidad vx vale
donde v0x es la componente X de la velocidad inicial del punto de contacto P. La segunda ecuación diferencial se convierte en
Como la aceleración a lo largo del eje Y es constante, la velocidad vy vale
donde v0y es la componente Y de la velocidad inicial del punto de contacto P. Como vy=c·vx, la constante c vale
Las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal son:
En el instante
las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy) se hacen cero, y la bola comienza a rodar sin deslizar. Conocidas las expresiones de las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy), calculamos las componentes de la velocidad de traslación del c.m.(Vx, Vy).
El movimiento de traslación del c.m. es la composición de dos movimientos uniformemente acerados. La componentes de la velocidad del c.m. son
Si la bola parte del origen en el instante t=0, la posición del c.m. en función del tiempo es
Las componentes de la velocidad angular de rotación de la bola son
Si en el instante t=0, las componentes de la velocidad angular de rotación ω, son ω0x y ω0y.
Las componentes la velocidad inicial del punto de contacto P valen (1)
Movimiento de rodar sin deslizarEn el instante
las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy) se hacen cero, y la bola comienza a rodar sin deslizar. La velocidad del c.m. de la bola en este instante es
Las componentes de la velocidad angular de rotación en este instante son
Ya que Rωrx=-Vry y Rωry=Vry. El vector velocidad angular ω, es perpendicular al vector velocidad de traslación del c.m. V, ya que el producto escalar ω·V=0. La relación ente sus módulos es V=R·ω
La posición del c.m. de la bola en este instante es
El c.m. de la bola sigue un movimiento rectilíneo uniforme cuya dirección es la de la velocidad del c.m.V en dicho instante. La posición del c.m. de la bola en el instante t>tr es x=xr+Vrx·(t-tr) Ejemplo :
Velocidad inicial del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal v0x=1.0-2.0=-1.0 La velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal se hace cero en el instante
En el instante tr=3.07 la velocidad del punto P se hace cero, y la esfera rueda sin deslizar
Comprobación La velocidad del punto P es cero vx=1.286-1.286=0 El vector velocidad angular ω y el vector V son perpendiculares. El producto escalar V·ωR=(1.286i+0.143j)·(-0.143i+1.286j)=1.286·(-0.143)+0.143·1.286=0 La relación entre módulos es V=ω·R A partir del instante t=3.07, el c.m. de la esfera sigue un movimiento rectilíneo con velocidad constante V, la velocidad angular de rotación ω permanece constante. la posición del centro de la esfera en función del tiempo es x=3.51+1.286 (t-3.07) Balance energético
Se ha perdido a causa del rozamiento Ef-Ei=-0.629·m Disminuye un poco la energía cinética de traslación en comparación con la energía cinética de rotación.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa la trayectoria del c.m. de la esfera. Se dibujan los vectores
La velocidad del punto P va disminuyendo hasta que se hace cero, en el instante tr. Los vectores velocidad angular de rotación ωR, y velocidad de traslación del c.m. V, van cambiando de módulo y dirección hasta que sus direcciones se hacen perpendiculares y sus módulos se igualan. La dirección del vector V es tangente a la trayectoria. A partir del instante tr, el c.m. sigue una trayectoria rectilínea, los vectores V, y ωR no cambian de módulo ni de dirección. En la parte superior derecha del applet, observamos los cambios energéticos:
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Hopkins D. C., Patterson J. D. Bowling frames: Paths of a bowling ball. Am. J. Phys. 45 (3) March 1977, pp. 263-266
Movimiento de una
esfera en un
plano horizontal
