Movimiento de una esfera sobre u plano horizontal

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Sólido rígido

Movimiento general
de un sólido rígido
Composición de
movimientos
La rueda de Maxwell
Equilibrio 
rotación-traslación(I)
Fuerza sobre una 
rueda
Rodando por
un plano inclinado
Equilibrio 
rotación-traslación(II)
Deformaciones de
la rueda y el plano
Desplazando el 
plano sobre el que 
se apoya la rueda
Choque frontal de
dos esferas.
Percusión en una
bola de billar
marca.gif (847 bytes)Movimiento de una 
 esfera en un
 plano horizontal
Choque de dos 
bolas de billar
Ecuaciones del movimiento

Trayectoria del centro de masas de la esfera

Movimiento de rodar sin deslizar

Actividades

Referencias

 

En esta página, vamos a estudiar la trayectoria seguida por una bola esférica de masa m y radio R que se pone a rodar sobre una pista horizontal. La velocidad inicial V0, del centro de masas y la velocidad angular de rotación ω0 pueden tener cualquier valor y orientación en dicho plano.

 

Ecuaciones del movimiento

Descomponemos el movimiento de la bola en el plano, en dos movimientos.

  • A largo del eje X, el c.m. se mueve con velocidad Vx y la bola gira con velocidad angular ωy alrededor de un eje paralelo al eje Y que pasa por su c.m.

  • A largo del eje Y, el c.m. se mueve con velocidad Vy y la bola gira con velocidad angular ωx, alrededor de un eje paralelo al eje X que pasa por su c.m

Calculamos las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal

vx=Vxy·R
vy=Vyx·R
         (1)

Las fuerzas sobre la bola son

  • El peso mg

  • La reacción del plano N=mg

  • La fuerza de rozamiento en el punto de contacto P, que se opone al la velocidad de dicho punto

Las dos primeras fuerzas no contribuyen al movimiento del cuerpo

  • La componente Fx se opone al movimiento de traslación del c.m. y favorece el movimiento de rotación

  • La componente Fy se opone al movimiento de traslación del c.m. y al movimiento de rotación

Ecuación del movimiento de traslación del centro de masas

Ecuación de la dinámica de rotación

Para una esfera la fórmula del momento de inercia es Ic=2mR2/5

Trayectoria del centro de masas de la esfera

Derivando las ecuaciones (1) respecto del tiempo t

que se convierten en

La solución de esta ecuación diferencial es

vy=c·vx

donde c es una constante que determinaremos más adelante

La primera ecuación diferencial se escribe

Como la aceleración a lo largo del eje X es constante, la velocidad vx vale

donde v0x es la componente X de la velocidad inicial del punto de contacto P.

La segunda ecuación diferencial se convierte en

Como la aceleración a lo largo del eje Y es constante, la velocidad vy vale

donde v0y es la componente Y de la velocidad inicial del punto de contacto P.

Como vy=c·vx, la constante c vale

Las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal son:

En el instante

las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy) se hacen cero, y la bola comienza a rodar sin deslizar.

Conocidas las expresiones de las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy), calculamos las componentes de la velocidad de traslación del c.m.(Vx, Vy).

El movimiento de traslación del c.m. es la composición de dos movimientos uniformemente acerados. La componentes de la velocidad del c.m. son

Si la bola parte del origen en el instante t=0, la posición del c.m. en función del tiempo es

Las componentes de la velocidad angular de rotación de la bola son

Si en el instante t=0, las componentes de la velocidad angular de rotación ω, son ω0x y ω0y.

Las componentes la velocidad inicial del punto de contacto P valen (1)

v0x=V0x0y·R
v0y=V0y0x·R
 

 

Movimiento de rodar sin deslizar

En el instante

las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la bola con el plano horizontal (vx, vy) se hacen cero, y la bola comienza a rodar sin deslizar.

La velocidad del c.m. de la bola en este instante es

Las componentes de la velocidad angular de rotación en este instante son

Ya que rx=-Vry y ry=Vry. El vector velocidad angular ω, es perpendicular al vector velocidad de traslación del c.m. V, ya que el producto escalar ω·V=0. La relación ente sus módulos es V=R·ω

La posición del c.m. de la bola en este instante es

El c.m. de la bola sigue un movimiento rectilíneo uniforme cuya dirección es la de la velocidad del c.m.V en dicho instante. La posición del c.m. de la bola en el instante t>tr es

x=xr+Vrx·(t-tr)
y=yr+Vry·
(t-tr)

Ejemplo :

  • Velocidad inicial del c.m:  V0x=1.0, V0y=1.0

  • Velocidad inicial angular de rotación: R·ω0x=2.0, R·ω0y=2.0

  • Coeficiente de rozamiento: μ=0.03

Velocidad inicial del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal

v0x=1.0-2.0=-1.0
v0y
=1.0+2.0=3.0

La velocidad del punto P de contacto de la bola con el plano horizontal se hace cero en el instante

  • La posición del c.m. de la esfera para t<tr es

  • La velocidad del c.m. de la esfera en función del tiempo es

  • La velocidad angular de rotación de la esfera en función del tiempo es

En el instante tr=3.07 la velocidad del punto P se hace cero, y la esfera rueda sin deslizar

  • La posición del c.m. de la esfera es

x=3.51, y=1.76

  • La velocidad del c.m. de la esfera es

Vx=1.286, Vy=0.143

  • La velocidad angular de rotación es

R·ωx=-0.143, R·ωy=1.286

Comprobación

La velocidad del punto P es cero

vx=1.286-1.286=0
vy=
0.143+(-0.143)=0

El vector velocidad angular ω y el vector V son perpendiculares. El producto escalar

V·ωR=(1.286i+0.143j)·(-0.143i+1.286j)=1.286·(-0.143)+0.143·1.286=0

La relación entre módulos es V=ω·R

A partir del instante t=3.07, el c.m. de la esfera sigue un movimiento rectilíneo con velocidad constante V, la velocidad angular de rotación ω permanece constante. la posición del centro de la esfera en función del tiempo es

x=3.51+1.286 (t-3.07)
y
=1.76+0.143 (t-3.07)

Balance energético

  • La energía inicial es

  • La energía final es

Se ha perdido a causa del rozamiento Ef-Ei=-0.629·m

Disminuye un poco la energía cinética de traslación en comparación con la energía cinética de rotación.

 

Actividades

Se introduce

  • Las componentes de la velocidad de traslación del c.m., en los controles de edición titulados Vx y Vy, valores positivos.

  • Las componentes de la velocidad angular de rotación, en los controles de edición titulados R·ωx y y, valores positivos o negativos. R es el radio de la esfera.

  • El coeficiente de rozamiento μ, en el control de edición titulado Coef. rozamiento

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa la trayectoria del c.m. de la esfera.

Se dibujan los vectores

  • Velocidad de traslación del c.m. V, en color azul

  • Velocidad angular de rotación, ω·R, en color rojo

  • Velocidad del punto P de contacto de la esfera con el plano horizontal v, en color negro

La velocidad del punto P va disminuyendo hasta que se hace cero, en el instante tr.

Los vectores velocidad angular de rotación ωR, y velocidad de traslación del c.m. V, van cambiando de módulo y dirección hasta que sus direcciones se hacen perpendiculares y sus módulos se igualan.

La dirección del vector V es tangente a la trayectoria.

A partir del instante tr, el c.m. sigue una trayectoria rectilínea, los vectores V, y ωR no cambian de módulo ni de dirección.

En la parte superior derecha del applet, observamos los cambios energéticos:

  • En color rojo, la energía cinética de rotación

  • En color azul, la energía cinética de traslación del c.m.

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Hopkins D. C., Patterson J. D. Bowling frames: Paths of a bowling ball. Am. J. Phys. 45 (3) March 1977, pp. 263-266