Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Composición de movimientos La rueda de Maxwell Equilibrio rotación-traslación(I) Fuerza sobre una rueda
Equilibrio rotación-traslación(II) Deformaciones de la rueda y el plano Desplazando el plano sobre el que se apoya la rueda Choque frontal de dos esferas. Percusión en una bola de billar Movimiento de una esfera en un plano horizontal Choque de dos bolas de billar |
Movimiento
de rodar sin deslizar Movimiento de rodar deslizando Velocidad final del c.m. del cuerpo en función de la altura h |
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| Estudiamos en esta página el movimiento de un cuerpo (cilindro, aro o esfera) a lo largo de un plano inclinado. Este ejemplo, nos permite mostrar en otro contexto el papel que juega la fuerza de rozamiento. Las principales dificultades asociadas al papel de la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar se refieren a:
Movimiento de rodar sin deslizarEcuaciones de la dinámicaExaminaremos el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado.
Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al plano inclinado. Las ecuaciones del movimiento son la siguientes:
Si conocemos el ángulo de inclinación q y el momento de inercia Ic del cuerpo que rueda, calculamos ac y el valor de la fuerza de rozamiento Fr.
Expresamos el momento de inercia Ic=k·mR2 donde k es un factor geométrico 2/5 para la esfera, 1/2 para el cilindro y 1 para el aro.
Si deseamos calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una longitud x a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo, empleamos las ecuaciones de la del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es
Siendo h la altura de partida del cuerpo referida a la posición final, h=x·senq
Balance de energía
La energía cinética de un cuerpo que rueda es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y la energía cinética de rotación alrededor del c.m.
El trabajo total de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda es la suma del trabajo en el movimiento de traslación más el trabajo en el movimiento de rotación W=Wt+Wr
Como vemos la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar produce dos trabajos de la misma magnitud pero de signos opuestos. Esta es la razón por la que no tenemos que incluir el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifica su energía cinética (de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.)
La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es la misma que hemos calculado a partir de la dinámica.
El cuadrado de la velocidad del c.m. vc es proporcional a la altura inicial h. Podremos comprobar esta relación en el applet al final de esta página.
Movimiento de rodar con deslizamientoCuando un cuerpo rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento Fr es desconocida y se calcula resolviendo las ecuaciones del movimiento, tal como hemos visto en el apartado movimiento de rodar sin deslizar
Para que haya movimiento de rodar sin deslizar se tiene que cumplir que Fr£ µs·N Donde µs es el coeficiente de rozamiento estático que depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, la rueda y el carril, y N la reacción del plano inclinado N=mg·cosq . El cuerpo rueda por el plano inclinado sin deslizar hasta un determinado ángulo límite, aquél en el que se cumple que
Ecuaciones de la dinámicaSi no se cumple esta condición el cuerpo rueda y desliza, la fuerza de rozamiento toma el valor f=µk·N. Donde µk es el coeficiente de rozamiento dinámico. Las ecuaciones del movimiento del centro de masa del cuerpo son ahora:
Despejamos ac y a
Se deja de cumplir la condición de rodar sin deslizar ac=a R. La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado después de haber recorrido una distancia x, o haber descendido una altura h.
La velocidad angular w del cuerpo después de haber girado un ángulo f es
Balance energéticoLa energía inicial del cuerpo es la energía potencial mgh La energía final del cuerpo es la suma de la energía cinética de traslación del c.m., más la energía cinética de rotación alrededor del c.m.
Trabajo Wr de la fuerza de rozamiento f=µk·mg·cosq
El trabajo total es
El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía del cuerpo, y es igual a la diferencia entre la energía final e inicial del cuerpo, Wr=Ef-Ei
Se anula el trabajo de la fuerza de rozamiento correspondiente al movimiento de rotación f·R·f con la energía cinética de rotación. Obtenemos la misma expresión para la velocidad del c.m. vc que la deducida a partir de las ecuaciones de la dinámica.
Velocidad final del c.m. del cuerpo en función de la altura h
El ángulo crítico se calcula mediante la fórmula
Ejemplo:
El ángulo crítico θc =24.2º En la figura, se representa en el eje horizontal las alturas h de partida del cuerpo h=x·senθ. En el eje vertical, los cuadrados de la velocidad del c.m. del cuerpo.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
Se pulsa el botón titulado Empieza. Cuando el cuerpo llega al final del plano inclinado, se guarda la velocidad final del cuerpo y la altura inicial sobre la base del plano inclinado, en el control área de texto situado a la izquierda del applet, Cuando se pulsa el botón titulado Gráfica, se representa los resultados experimentales:
Podemos observar en la gráfica que cuando el cuerpo rueda sin deslizar, los puntos (altura inicial, cuadrado de la velocidad del c.m.) se ajustan a una línea recta. Cuando el cuerpo baja deslizando, dichos puntos se desvían de la recta. En la parte derecha del applet, se representa en un diagrama en forma de tarta la energía potencial, la energía cinética de rotación y la energía cinética de traslación del c.m.
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Basta, Di Gennaro, Piccciarelli. A desktop apparatus for studying rolling motion. Phys. Educ. 34 (6) November 1999, pp. 371-375
Carvalho P. S., Sampaio e Sousa A. An inexpensive technique to measure coefficients of friction with rolling solids. The Physcis Teacher, Vol 43, November 2005, pp. 548-550
Rodando por
un plano inclinado
