Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Composición de movimientos La rueda de Maxwell Equilibrio rotación-traslación(I) Ferza sobre una rueda Rodando por un plano inclinado Equilibrio rotación-traslación(II) Deformaciones de la rueda y el plano Desplazando el plano sobre el que se apoya la rueda Choque frontal de dos esferas.
Movimiento de una esfera en un plano horizontal Choque de dos bolas de billar |
Movimiento
de la bola con sobregiro Movimiento de la bola con contragiro |
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| En esta página, se estudia el movimiento de una bola de billar sobre la superficie plana de un tapiz sometida a un impacto o percusión localizada en un punto del plano vertical que pasa por el centro de la bola. Supondremos que el tiempo de impacto es muy pequeño. La fuerza de la colisión con el taco determina la velocidad inicial de traslación de la bola. Por otro lado, el taco genera un momento que produce una velocidad inicial de rotación alrededor del centro de la bola de billar.
Movimiento de la bola con sobregiroEn la figura, observamos todas las fuerzas que actúan sobre la bola de billar cuando el taco golpea la bola a una altura h por encima del tapiz.
La fuerza de rozamiento RA se opone a la velocidad en el punto A, puede estar en el sentido indicado o en sentido contrario según que la velocidad de A sea negativa o positiva. La fuerza F que actúa en B se puede descomponer en otras dos, una componente en la dirección radial NB y otra en la dirección tangencial RB. Ambas están relacionadas RB=mBNB con mB=tanf Donde mB es el coeficiente dinámico de rozamiento entre el taco y la bola, el cual puede ser modificado a voluntad por el jugador con la tiza. Conociendo las fuerzas que actúan sobre la bola y el tiempo t que actúan sobre la misma podemos determinar la velocidad inicial de traslación V0 del c.m. y la velocidad inicial de rotación w0. Las ecuaciones del impulso lineal y del impulso angular se escriben
Donde RB=F·senf . Vamos a suponer que durante el breve intervalo de tiempo t que dura el impacto, se puede despreciar el rozamiento RA de la bola con el tapiz, frente a la componente horizontal F·senF de la fuerza que ejerce el taco, con tal que el rozamiento RB del taco y la bola sea suficientemente grande y el golpe no sea demasiado alto hà 2r. Bajo estas condiciones las ecuaciones del impulso lineal y angular se convierten en
El impulso de la fuerza F es la cantidad desconocida que eliminamos de ambas ecuaciones. Para una esfera de masa m y radio r, el momento de inercia Ic=2mr2/5. La relación entre las velocidades iniciales de traslación del c.m.V0 y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. w0 es
Teniendo en cuenta que mB=tgf , F =f
+q , y que la altura h y el ángulo q están relacionados por
donde hemos puesto b =cosq para simplificar la expresión final. La velocidad inicial del punto de contacto A entre la bola y el tapiz se puede obtener sumando la velocidad correspondiente al movimiento de traslación con la velocidad correspondiente al movimiento de rotación
Esta velocidad es positiva (negativa) según que mB sea menor (mayor) que el parámetro kβ definido por Una vez establecidas las condiciones iniciales del movimiento con sobregiro, veamos el movimiento en ausencia de la fuerza F de impacto del taco con la bola. Consideremos estos dos casos: La velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz es negativaLa fuerza de rozamiento RA será positiva.
La velocidad del c.m. crece y la velocidad de rotación decrece
La velocidad del punto de contacto A viene dada por VA=vc-w r y llegará un momento que se anule a partir del cual la bola de billar rodará sin deslizar con velocidad constante.
La velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz es positivaLa fuerza de rozamiento RA será negativa
La velocidad del c.m. decrece y la velocidad de rotación crece
La velocidad del punto de contacto A viene dada por VA=vc-w r y llegará un momento que se anule a partir del cual la bola de billar rodará sin deslizar con velocidad constante.
EjemploComo vemos en las fórmulas la velocidad final de la bola, no depende directamente del
radio de la bola sino de un parámetro adimensional
Datos fijados en el programa interactivo
Datos introducidos por el usuario.
En este caso b =0.4, y mB>kb =0.43 Estamos en el caso que (VA)0 es negativa. El tiempo que tarda en rodar sin deslizar es de 0.043 s. Y la velocidad final constante del c.m. es de 1.08 m/s.
Datos introducidos por el usuario
En este caso b =0.4, y mB<kb =0.43 Estamos en el caso que (VA)0 es positiva. El tiempo que tarda en rodar sin deslizar es de 0.040 s. Y la velocidad final constante del c.m. es de 0.92 m/s.
Movimiento de la bola con contragiroEl planteamiento es similar al movimiento de la bola con sobregiro. Sin embargo, hay algunas diferencias
La velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapiz es siempre positiva
Aplicando las ecuaciones del impulso lineal y del impulso angular y suponiendo que la fuerza de rozamiento RA es pequeño frente a la componente horizontal de la fuerza de impacto durante el breve periodo t que dura el contacto del taco con la bola, obtenemos la relación entre la velocidad inicial del c.m. y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
y a continuación, la velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz
ahora el parámetro b vale Estas ecuaciones son válidas salvo en el caso de que los golpes muy bajos hà 0. Una vez establecidas las condiciones iniciales del movimiento con contragiro, veamos el movimiento en ausencia de la fuerza F de impacto del taco con la bola. Se anula la velocidad angular
La velocidad del c.m. decrece y la velocidad de rotación también decrece
Aquí surgen dos posibilidades que vc se anule antes que w o bien, que w se anule antes que vc. Normalmente, se anula w antes que vc de modo que la bola no retrocede. La velocidad angular se hace cero w =0 en el instante
en dicho instante la velocidad del c.m. es
Se establece el movimiento de rodar sin deslizarEn el momento en que se anula la velocidad angular de rotación, la velocidad del centro de masas y la velocidad del punto de contacto A de la bola con el tapiz se igualan. A partir de ese instante, la fricción RA entre la bola y el tapiz hace que aparezca una velocidad angular de rotación.
Para t>t1 las velocidades de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. serán, respectivamente
Como vc disminuye y w aumenta llegará un momento en el que la velocidad del punto de contacto A, VA=vc-w r se anule, en dicho instante la rueda comienza a rodar sin deslizar con velocidad constante
EjemploLa fórmula la velocidad final de la bola, no depende directamente del
radio r de la bola sino de un parámetro adimensional
Datos fijados en el programa interactivo
Datos introducidos por el usuario.
En este caso b =0.6 La velocidad angular de rotación se hace cero en el instante 0.156 s. La velocidad de traslación es de 0.69 m/s. Luego, vuelve a incrementarse la velocidad angular de rotación (pero en sentido contrario) hasta que la velocidad del punto A de contacto de la bola con el tapiz se hace cero y la bola rueda sin deslizar. El tiempo total que transcurre es de 0.257 s y el c.m. alcanza una velocidad constante de 0.50 m/s.
Impacto en el centro de la bola
El momento de dicha fuerza F respecto del c.m. es cero, por tanto la bola no tiene velocidad angular inicial. De la ecuación del impulso lineal obtendríamos la velocidad V0 del c.m. de la bola si conociéramos la fuerza F y el tiempo t que actúa sobre la misma.
La bola se mueve con una velocidad inicial de traslación V0, la fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la bola y el tapiz hace que esta gire y por tanto disminuya la velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapiz.
La velocidad del c.m. disminuye y la velocidad angular de rotación aumenta.
Al cabo de un cierto tiempo t, la velocidad del punto A se hace cero, y la bola rueda sin deslizar con velocidad constante.
vA es cero en el instante
En dicho instante la velocidad constante del c.m. es EjemploDatos fijados en el programa interactivo
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La velocidad del punto de contacto A de la bola con el suelo se hace cero en el instante t=0.145 s. A partir de este instante, la bola rueda sin deslizar con velocidad constante vc=0.71 m/s.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Observar el movimiento de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. de la bola de billar Una flecha nos muestra la velocidad del punto de contacto de la bola de billar con el tapete. Cuando la velocidad de este punto es cero, la bola de billar rueda sin deslizar con velocidad constante. |
Jiménez F. Mecánica del billar I: Movimiento de la bola sobre el tapiz. Revista Española de Física. V-3, nº 1, 1989, págs. 31-41
Percusión en una
bola de billar
. La siguiente expresión relaciona las velocidades iniciales
de traslación y rotación de la bola de billar 
.
, ya que h es menor que r.
, 