Intensidad de la radiación solar sobre una superficie plana inclinada

Se define la orientación del vector unitario n perpendicular a la placa, del mismo modo que con el vector unitario S. Forma un ángulo γ con la dirección Norte (positivo en el sentido de las agujas del reloj, hacia el Este), le llamaremos acimut de la placa. La placa inclinada forma un ángulo β con el plano horizontal (E,N), el vector n forma un ángulo de 90-β con el plano horizontal. El vector n se expresa de forma similar al vector S.

S=cosαs·sinγsE+cosαs·cosγsN+sinαsZ

n=cos(90-β)·sinγ E+cos(90-β)·cosγ N+sin(90-β) Z=sinβ·sinγ E+sinβ·cosγ N+cosβ Z

La intensidad de la radiación sobre la placa vale

I=I0·cosθ

Donde I0 es la intensidad incidente sobre una placa normal a la dirección de la luz solar. θ es el ánulo de incidencia de la radicación solar sobre la placa, es decir, el ángulo entre S y n. (véase la ley de la reflexión).

Efectuando el producto escalar entre estos dos vectores unitarios calculamos el coseno del ángulo θ.

S·n=cosθ=cosαs·sinγs·sinβ·sinγ+cosαs·cosγs·sinβ·cosγ+sinαs·cosβ

Teniendo en cuenta las tres relaciones encontradas en la página anterior:

cosαs·sinγs=-sinω·cosδ
cosαs·cosγs=cosλ·sinδ-sinλ·cosω·cosδ
sinαs=cosλ·cosω·cosδ+sinλ·sinδ

Expresamos cosθ en términos de los ángulos δ (declinación), λ (latitud), ω (ángulo horario).

cosθ=-sinω·cosδ·sinβ·sinγ+cosλ·sinδ·sinβ·cosγ-sinλ·cosω·cosδ·sinβ·cosγ+cosλ·cosδ·cosω·cosβ+sinλ·sinδ·cosβ

Ejemplo: Una placa inclinada 45° apunta 10° hacia el sur-oeste y está situada en un punto de latitud 35°N. Calcular el ángulo incidente θ 2h después del mediodía el 15 de junio.

Datos: latitud λ=35°, ángulo horario, ω=30°, orientación de la placa γ=190°, ángulo de inclinación de la placa β=45°

Según hemos visto, la declinación solar δ se calcula mediante la siguiente fórmula

δ=0.006918-0.399912·cos(x)+0.070257·sin(x)-0.006758·cos(2x)+0.000907·sin(2x)-0.002697·cos(3x)
+0.001480·sin(3x).

x = 2 π 365 ( N 1 + h 12 24 )

Declinación el 15 de junio, N=15+151=166, h=14 (Día 166, hora 14) por lo que δ=23.28°

Poniendo todos los datos en la fórmula obtenemos cosθ=0.7698, que corresponde a un ángulo θ=39.67°

Escribimos un script para realizar este cálculo y otros similares

latitud=input('Latitud: ');
inclina=input('Inclinación de la placa: ');
acimut=input('Orientación placa (0-360), 90° Este, 180° Sur: ');
N=input('Numero de día: ');
h=input('Hora (0-24), las 12 es mediodía: ');

x=2*pi*(N-1-(h-12)/24)/365;
delta=(0.006918-0.399912*cos(x)+0.070257*sin(x)-0.006758*cos(2*x)
+0.000907*sin(2*x)
-0.002697*cos(3*x)+0.001480*sin(3*x));
%convierte la hora en ángulo horario -180° son las 0 h, 
%180° son las 24 h
w=(h-12)*pi/12; 
gamma=acimut*pi/180; 
lambda=latitud*pi/180;
beta=inclina*pi/180; %inclinación d ela placa
cos_ang=-sin(w)*cos(delta)*sin(beta)*sin(gamma)+
cos(lambda)*sin(beta)*sin(delta)*cos(gamma)
-sin(lambda)*cos(w)*cos(delta)*sin(beta)*cos(gamma)+
cos(lambda)*cos(delta)*cos(w)*cos(beta)
+sin(lambda)*sin(delta)*cos(beta);
fprintf('El coseno del ángulo es: %1.4f\n',cos_ang)
Latitud: 35
Inclinación de la placa: 45
Orientación placa (0-360), 90º Este, 180º Sur: 190
Numero de día: 166
Hora (0-24), las 12 es mediodía: 14
El coseno del ángulo es: 0.7698

Referencia

Sproul A. B. Derivation of solar geometric relationship using vector analysis. Renewable Energy. 32 (2007) 1187-1205.