Dinámica de la partícula

1.-Una bola de 2 kg cuelga de una cuerda (de masa despreciable) del techo de un ascensor. Calcular la tensión de cuerda en cada uno de los casos siguientes: (tomar g=10 m/s²)

Cuando acelera hacia arriba a razón de 3 m/s²
Cuando se mueve con velocidad constante.
Cuando frena disminuyendo su velocidad a razón de 3 m/s².
Cuando se rompe el cable que sostiene al ascensor y este cae libremente.

Solución

2.-Los vagones A, B, C de la figura tienen masas de 10, 15, y 20 kg respectivamente. Se aplica en C una fuerza F de 50 N. Calcular:

La aceleración del sistema.
Las tensiones de las cuerdas que unen los vagones A y B, B y C

Solución

3.-Dos bloques de masas m₁ y m₂ está en contacto y pueden deslizar sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se aplica una fuerza F al bloque de masa m₁. Calcular la fuerza que ejerce un bloque sobre el otro.

Solución

4.-Dos pesas de 3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea (ambas de masa despreciable). Tómese g=10 m/s². Calcular

La aceleración de los pesos
La tensión de la cuerda.

Solución

5.-Hallar, en el problema de la figura:

La aceleración del sistema
La tensión de la cuerda.

Tómese g=10 m/s². Suponer que los cuerpos deslizan sin fricción. La polea tiene masa despreciable

Solución

6.-Determinar las aceleraciones de los cuerpos de masa m₁ y m₂

Las cuerdas son inextensibles y de masa despreciable, las poleas son ideales y no hay rozamiento entre el cuerpo de masa m₁ y el plano horizontal

Masatsugu Suzuki. Lecture Notes of General Physics I and II Calculus Based

Solución

Como vemos en la figura, la longitud de la cuerda que pasa por la polea móvil, es x_p+(x_p-x₁)=constante, 2x_p-x₁=constante.

la velocidad del cuerpo de masa m₁ es el doble que la velocidad de la polea móvil
La velocidad del cuerpo de masa m₂ es la misma que la velocidad de la polea móvil

La relación de aceleraciones es 2a₂=a₁

$\begin{array}{l} {\begin{cases} T_{1} = m_{1} a_{1} \\ T_{2} = 2 T_{1} \\ m_{2} g - T_{2} = m_{2} a_{2} \end{cases} \\ a_{2} = \frac{m_{2}}{4 m_{1} + m_{2}} g, a_{1} = \frac{2 m_{2}}{4 m_{1} + m_{2}} g \end{array}$

7.-En el sistema de la figura, se pide determinar el valor de la fuerza F que actúa sobre el bloque de masa M para que los cuerpos de masa m₁ y m₂ permanezcan en reposo sobre el bloque que desliza sobre un plano horizontal.

Las cuerdas son inextensibles y de masa despreciable, las poleas son ideales y no hay rozamiento

Masatsugu Suzuki. Lecture Notes of General Physics I and II Calculus Based

Solución

Fuerzas sobre los cuerpos

Movimiento del primer cuerpo, masa m₁

${\begin{cases} N_{1} = m_{1} g \\ T = m_{1} a \end{cases}$

Movimiento del segundo cuerpo, masa m₂

${\begin{cases} T = m_{2} g \\ N_{3} = m_{2} a \end{cases}$

Movimiento del bloque, masa M

${\begin{cases} F - N_{3} - T = M a \\ N_{1} + T + M g = N_{2} \end{cases}$

Resultados

$\begin{array}{l} N_{2} = M g + m_{1} g + m_{2} g \\ a = \frac{m_{2}}{m_{1}} g \\ N_{3} = \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} g \\ F = (m_{1} + m_{2} + M) a = (m_{1} + m_{2} + M) \frac{m_{2}}{m_{1}} g \end{array}$

8.-Un bloque de 750 kg es empujado hacia arriba por una pista inclinada 15º respecto de la horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0.4 y 0.3 respectivamente. Determinar la fuerza necesaria,

para iniciar la subida del bloque por la pista.
para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante, una vez que este se ha iniciado.

(Tómese g=9.8 m/s²)

Solución

9.-Un bloque de 2 kg desliza a lo largo de un plano inclinado 30° con la horizontal. El coeficiente cinético es μ_k=0.9. Calcular y dibujar la fuerza paralela al plano inclinado que es necesario para mover el bloque con velocidad constante:

hacia arriba .
hacia abajo

Solución

10.-La fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque vale μ_kmg en una de las siguientes situaciones (μ_k es el coeficiente dinámico de rozamiento).

Razónese la respuesta

Cuando se ejerce una fuerza F, y el bloque se desplaza con velocidad constante
Cuando se ejerce una fuerza F, y el bloque está a punto de empezar a moverse
Cuando se ejerce una fuerza F, y el bloque está en reposo
Cuando se ejerce una fuerza F, y el bloque se mueve con aceleración
Cuando no actúa la fuerza F, y el bloque está en movimiento
Cuando no actúa la fuerza F, y el bloque está en reposo

Solución

11.-Una camión transporta una caja de 200 kg. En un momento dado la aceleración del camión es de a=1.5 m/s². ¿Cuál será el coeficiente estático mínimo μ_s para que el cajón permanezca sobre la plataforma y no deslice hacia atrás y se caiga del camión?

Solución

12.-Un bloque de 20 kg está situado sobre un plano horizontal en reposo. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y el plano vale 0.6 y el cinético 0.5, respectivamente. Se aplica una fuerza F=100 N formando un ángulo de 30° con la horizontal.

¿Permanecerá en reposo o deslizará el cuerpo?. Razona la respuesta

Solución

13.-Un cuerpo de masa m=10 kg descansa en un plano inclinado de ángulo θ=20°. El coeficiente estático es μ_s=0.2 y el cinético μ_k=0.17. Determinar el estado del cuerpo en dos casos.

Se aplica una fuerza horizontal F=50 N.
Se aplica una fuerza horizontal F=10 N.

¿Permanecerá en reposo o deslizará?. Razona la respuesta

Solución

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:

El peso, mg
La reacción del plano inclinado, N
la fuerza aplicada, F
La fuerza de rozamiento, F_r

En la figura de la derecha, se sustituyen las fuerzas por sus componentes a lo largo del plano inclinado y en la dirección perpendicular al plano inclinado.

Se aplica una fuerza horizontal F=50 N.

La reacción del plano inclinado, N=mgcosθ+Fsinθ=109.2 N

El máximo valor de la fuerza de rozamiento, μ_sN=21.8 N

Supongamos que el cuerpo desliza hacia arriba, la fuerza de rozamiento valdrá la diferencia entre las componentes a lo largo del plano inclinado de la fuerza aplicada F y del peso, F_r=Fcosθ-mgsinθ=13.5 N que es menor que la máxima. El cuerpo permenecerá en equilibrio, en reposo sobre el plano inclinado

Se aplica una fuerza horizontal F=10 N.

Supongamos que el cuerpo desliza hacia arriba como en el caso anterior, la fuerza de rozamiento valdrá la diferencia entre las componentes a lo largo del plano inclinado de la fuerza aplicada F y del peso, F_r=Fcosθ-mgsinθ=-24.1 N de sentido contario al supuesto.

Como 24.1>21.8, El cuerpo deslizará hacia abajo a lo largo del plano inclinado y la fuerza de rozamiento valdrá F_r=μ_kN=16.2 N en el sentido indicado en la figura

14.-Un bloque de masa m cae deslizando con velocidad constante a lo largo de un plano inclinado de 30°

Calcular el coeficiente cinético de rozamiento entre el plano inclinado y el bloque
Si se lazan hacia arriba con velocidad inicial v₀=2.5 m/s, calcular la distancia que recorrerá a lo largo del plano inclinado hasta pararse
Una vez que el bloque se detiene, ¿deslizará hacia abajo?. Justifica la respuesta

Solución

Las fuerzas sobre el bloque cuando desliza a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, son

el peso, mg
La reacción del plano inclinado, N
La fuerza de rozamiento entre las dos superficies en contacto que se opone al movimiento del bloque

Sustituimos el peso por la acción simultánea de sus componentes: en una fuerza paralela al plano, mgsin30 y otra perpendicular al plano inclinado, mgcos30

Hay equilibrio en sentido perpendicular al plano, N=mgcos30,

Si se mueve con velocidad constante, la aceleración a=0

mgsin30-F_r=0, F_r=μ_kN

El resultado es, μ_k=tan30°

Desliza a lo largo del plano inclinado, hacia arriba

Cuando se mueve hacia arriba la fuerza de rozamiento cambia de sentido

La ecuación del movimiento es, ma=-mgsin30-μ_kmgcos30

La aceleración es, a=-2gsin30=-g

Calculamos el desplazamiento hasta que se detiene

v=v₀+at, x=v₀t+at²/2

Cuando v=0, en el instante t=0.255 s,el bloque se ha desplazado x=0.319 m a lo largo del plano inclinado

Una vez que se detiene, no desliza hacia abajo, ya que el coeficiente estático es mayor que el coeficiente cinético, μ_k=tan30. Para empezar a deslizar hacia abajo, la pendiente del plano inclinado θ debería ser mayor que 30°

mgsinθ≥μ_smgcosθ

tanθ≥μ_s

15.-Un bloque de masa m₂ puede deslizar sin rozamiento sobre un plano horizontal. Se coloca un bloque de masa m₁ sobre dicho bloque. El coeficiente estático entre los dos bloques es μ_s. ¿Cuál será la máxima fuerza F que podemos aplicar sobre el bloque inferior para que el otro bloque de masa m₁ no deslice?

Solución

16.-Sobre un tablero inclinado un ángulo de 30º se colocan dos cuerpos A y B, de masa 4 y 3 kg, respectivamente. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado es 0.1, y entre el bloque B y dicho plano 0.2.

¿Cómo deslizarán los cuerpos, juntos o separados?.
Hállese la aceleración de cada cuerpo y la reacción en la superficie de contacto entre ambos (si la hubiere).

Tómese g=10 m/s²

Solución

Supongamos que los bloques van separados.

Se descompone la fuerza peso, en la dirección del plano y perpendicularmente al mismo.

${\begin{cases} 3 \cdot 10 \cdot \sin 30 - F_{r} = 3 a \\ N = 3 \cdot 10 \cdot \cos 30 \\ F_{r} = 0.2 \cdot N \end{cases}} a = 3.27 {m/s}^{2} {\begin{cases} 4 \cdot 10 \cdot \sin 30 - F_{r}^{'} = 3 a \\ N' = 4 \cdot 10 \cdot \cos 30 \\ F_{r}^{'} = 0.1 \cdot N' \end{cases}} a' = 4.13 {m/s}^{2}$

Como a’>a van juntos

En la figura de la izquierda, T es la fuerza que ejerce el bloque segundo sobre el primero. En la figura de la derecha, T es la fuerza que ejerce el bloque primero sobre el segundo. Ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario (tercera ley de Newton)

$\begin{array}{l} {\begin{cases} 3 \cdot 10 \cdot \sin 30 + T - F_{r} = 3 a \\ 4 \cdot 10 \cdot \sin 30 - T - F_{r}^{'} = 4 a \\ F_{r} = 0.2 \cdot N \\ F_{r}^{'} = 0.1 \cdot N' \end{cases} \\ a = 3.76 {m/s}^{2} T = 1.48 N \end{array}$

17.-Un bloque de 4 kg asciende a lo largo de un plano inclinado 30º, al serle aplicada una fuerza F que hace 15º, tal como se indica en la figura. Sabiendo que el bloque, parte del reposo, en la base del plano inclinado, y alcanza una velocidad de 6 m/s después de recorrer 10 m a lo largo del plano.

Determinar el valor de la fuerza F.

El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado es 0.2, tómese g=9.8 m/s²

Solución

18.-Un bloque de 4 kg asciende a lo largo de un plano inclinado 30º, al serle aplicada una fuerza F horizontal, tal como se indica en la figura. Sabiendo que el bloque, parte del reposo, en la base del plano inclinado, y alcanza una velocidad de 6 m/s después de recorrer 10 m a lo largo del plano.

Determinar el valor de la fuerza F.
En dicha posición x=10 m se deja de aplicar la fuerza F, determinar el desplazamiento total del móvil a lo largo del plano hasta que se para.

El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado es 0.2, tómese g=9.8 m/s²

Solución

Se aplica la fuerza F

La aceleración del cuerpo es

${\begin{cases} 6 = a \cdot t \\ 10 = \frac{1}{2} a t^{2} \end{cases}} a = 1.8 {m/s}^{2}$

Se descompone la fuerza peso y la fuerza F en la dirección del plano y perpendicularmente al mismo.

${\begin{cases} F \cdot \cos 30 - 4 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 - F_{r} = 4 \cdot 1.8 \\ N = F \cdot \sin 30 + 4 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ F_{r} = 0.2 \cdot N \end{cases}} F = 43.85 N$

Se deja de aplicar la fuerza F

Se descompone la fuerza peso en la dirección del plano y perpendicularmente al mismo.

${\begin{cases} - 4 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 - F_{r}^{'} = 4 \cdot a' \\ N' = 4 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ F_{r}^{'} = 0.2 \cdot N \end{cases}} a' = - 6.60 {m/s}^{2}$

La velocidad del bloque en la posición x=10 m es v₀=6 m/s. Se detiene en la posición

$\begin{array}{l} v = 6 + a' t \\ x = 10 + 6 \cdot t + \frac{1}{2} a' t^{2} \\ v = 0 \to x = 12.73 m \end{array}$

19.-Dos cuerpos A y B de masas 20 y 5 kg respectivamente, que están unidos mediante una cuerda de 1 m de longitud, deslizan a lo largo de un plano inclinado 30º respecto de la horizontal. Ambos cuerpos parten inicialmente del reposo, encontrándose el cuerpo B 5 m por encima de la horizontal. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento dinámico entre los cuerpos A y B y el plano son 0.2 y 0.4 respectivamente, calcular:

La aceleración de ambos cuerpos.
La tensión de la cuerda.
La velocidad con que cada cuerpo llega a la base del plano inclinado.

Tómese g=9.8 m/s²

Solución

Se descompone la fuerza peso en la dirección del plano y perpendicularmente al mismo.

$\begin{array}{l} {\begin{cases} 20 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 - T - F_{r} = 20 a \\ N = 20 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ F_{r} = 0.2 \cdot N \end{cases} {\begin{cases} 5 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 + T - F_{r}^{'} = 5 a \\ N' = 5 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ F_{r}^{'} = 0.4 \cdot N \end{cases} \\ a = 2.86 {m/s}^{2} T = 6.79 N \\ {\begin{cases} 9= \frac{1}{2} a t^{2} \\ v_{A} = a \cdot t \end{cases} {\begin{cases} 10= \frac{1}{2} a t^{2} \\ v_{B} = a \cdot t \end{cases} \\ v_{A} = 7.18 m/s v_{A} = 7.57 m/s \end{array}$

20.-Determinar la aceleración de los bloques. El coeficiente de rozamiento entre las superficies en contacto es μ=0.2. La polea tiene masa despreciable.

Tómese g=9.8 m/s²

Solución

Las fuerzas sobre cada uno de los bloques se dibujan en las figuras. Hay dos fuerzas que un bloque ejerce sobre el otro: La reacción N₁ y la fuerza de rozamiento en la superficie de contacto F_r1.

$\begin{array}{l} {\begin{cases} T - F_{r 1} = 2 a \\ N_{1} = 2 \cdot 9.8 \\ F_{r 1} = 0.2 N_{1} \end{cases} {\begin{cases} 30 - T - F_{r 1} - F_{r 2} = 5 a \\ N_{2} = N_{1} + 5 \cdot 9.8 \\ F_{r 2} = 0.2 \cdot N_{2} \end{cases} \\ a = 1.20 {m/s}^{2} \end{array}$

21.-Sea un plano inclinado de ángulo θ. Se proporciona una velocidad v₀ a un objeto de masa m en la base del plano inclinado, tardando un tiempo t₁ en detenerse, recorriendo una distancia d a lo largo del plano.

El objeto regresa, a la posición de partida empleando un tiempo t₂, alcanzando una velocidad v<v₀ en la base del plano inclinado debido al rozamiento.

Si el coeficiente cinético vale μ, calcular el ángulo θ del plano inclinado para la relación de tiempos (hacia arriba y hacia abajo) sea t₁/t₂=μ.

Physics Challenges for Teachers and Students. A Slippery Slope. The Physics Teacher. Vol. 40, October 2002. pp. 444

Solución

Las fuerzas sobre el cuerpo son:

El peso, mg
La reacción del plano, N
La fuerza F_r de rozamiento que se opone al movimiento del cuerpo

Para que el cuerpo se mueva hacia abajo, la componente del peso mgsinθ tiene que ser mayor o igual que el máximo valor de la fuerza de rozamiento μ_sN=μ_smgcosθ. El ángulo θ del plano inclinado deberá cumplir, tanθ≥μ_s

Supongamos que los coeficientes estático μ_s y cinético μ_k son iguales

Movimiento hacia arriba

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del cuerpo en la dirección del plano inclinado hacia arriba.

ma₁=-mgsinθ-F_r,
F_r=μN=μmgcosθ

La aceleración a₁, vale

a₁=-g(sinθ+μcosθ)

El tiempo t₁ que emplea el cuerpo en ascender,

$\begin{array}{l} {\begin{cases} 0 = v_{0} + a_{1} t_{1} \\ d = v_{0} t_{1} + \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} \end{cases} \\ t_{1} = \sqrt{- \frac{2 d}{a_{1}}} = \sqrt{\frac{2 d}{g (\sin θ + μ \cos θ)}} \end{array}$

Movimiento hacia abajo

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del cuerpo en la dirección del plano inclinado hacia abajo.

ma₂=mgsinθ-F_r,
F_r=μN=μmgcosθ

La aceleración a₂, vale

a₂=g(sinθ-μcosθ)

El tiempo t₂, es

$\begin{array}{l} {\begin{cases} v = a_{2} t_{2} \\ d = \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2} \end{cases} \\ t_{2} = \sqrt{\frac{2 d}{a_{2}}} = \sqrt{\frac{2 d}{g (\sin θ - μ \cos θ)}} \end{array}$

Sabiendo que t₁/t₂=μ, el ángulo θ que forma el plano inclinado con la horizontal, es

$\begin{array}{l} \frac{t_{1}}{t_{2}} = μ = \sqrt{\frac{g (\sin θ - μ \cos θ)}{g (\sin θ + μ \cos θ)}} \\ μ^{2} = \frac{\tan θ - μ}{\tan θ + μ} \\ \tan θ = \frac{μ (μ^{2} + 1)}{1 - μ^{2}} \end{array}$

Se cumple que tanθ≥μ

22.-Dos cuerpos de masas m y 4m unidos por una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable descansan sobre la plataforma de masa m que puede deslizar sobre un plano horizontal sin rozamiento.

Los cuerpos pueden deslizar sobre la plataforma móvil con rozamiento. Para ambos bloques el coeficiente estático es μ_s=0.16 y el cinético es μ_k=0.10.

Se aplica una fuerza horizontal F a la polea y la aceleración de la plataforma es 0.2g m/s². Calcular el valor de la fuerza F y las aceleraciones de cada uno de los cuerpos.

Physics Challenge for Teachers and Students. Cart before the horse. The Physics Teacher. Vo. 49, (2011). pp. 458

Solución

Dibujamos las fuerzas sobre cada uno de los tres cuerpos y las aceleraciones

Las ecuaciones del movimiento son

el bloque de masa 4m,

${\begin{cases} \frac{F}{2} - F_{1} = 4 m a_{1} \\ N_{1} = 4 m g \end{cases}$

El máximo valor de la fuerza de rozamiento es F₁=μ_sN₁=0.64mg. Cuando el cuerpo desliza, F₁=μ_kN₁=0.4mg.

el bloque de masa m,

${\begin{cases} \frac{F}{2} - F_{2} = m a_{2} \\ N_{2} = m g \end{cases}$

El máximo valor de la fuerza de rozamiento es F₂=μ_sN₂=0.16mg. Cuando el cuerpo desliza, F₂=μ_kN₂=0.1mg.

la plataforma de masa m,

$F_{1} + F_{2} = m \cdot 0.2 g$

Vamos a suponer que

El cuerpo de masa 4m desliza,

Entonces, F₁=μ_kN₁=0.4mg.

De la tercera ecuación del movimiento (de la plataforma), obtenemos F₂=-0.2mg, lo que no es posible

El cuerpo de masa 4m permanece en reposo sobre la plataforma, su aceleración es a₁=0.2g

Las ecuaciones del movimiento de los tres cuerpos son

${\begin{cases} \frac{F}{2} - F_{1} = 0.8 m g \\ \frac{F}{2} - F_{2} = m a_{2} \\ F_{1} + F_{2} = 0.2 m g \end{cases}$

El cuerpo de masa m, permanece en reposo sobre la plataforma, su aceleración a₂=0.2g

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, F, F₁, F₂, obteniendo

F=1.2mg, F₁=-0.2mg, F₂=0.4mg

El segundo resultado no es posible, por lo que el cuerpo de masa m desliza sobre la plataforma y por tanto, F₂=0.1mg

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones

${\begin{cases} \frac{F}{2} - F_{1} = 0.8 m g \\ \frac{F}{2} - 0.1 m g = m a_{2} \\ F_{1} + 0.1 m g = 0.2 m g \end{cases}$

El resultado es, F=1.8mg, F₁=0.1mg, a₂=0.8g y a₁=0.2g

F₁ es menor que el valor máximo de la fuerza de rozamiento 0.64mg

23.-Sea un sistema formado por tres cuerpos de masas m, 2m y 3m, respectivamente. Los cuerpos de masas 2m y m están unidos por una cuerda que pasa a través de una polea, de masa despreciabe y sin rozamiento.

Determinar el valor mínimo del coeficiente estático μ_s entre la superficie del cuerpo de masa 3m y el plano horizontal para que éste permanezca en reposo, cuando se suelta el cuerpo de masa m.

Los coeficientes estático μ_s y cinético μ_k de la fuerza de rozamiento entre las superficie del cuerpo de masa 3m y el cuerpo de masa 2m se proporcionan en la figura

Physics Challenge for Teachers and Students. November 2017 Challenge. 'The new block on the block' The Physcis Teacher, Vol 55, November 2017. pp. 508

Solución

Dibujamos los vectores fuerza sobre cada uno de los cuerpos

Fuerzas sobre el cuerpo de masa m

Peso, mg
La tensión de la cuerda, T

La ecuación del movimiento

$m g - T = m a$

Fuerzas sobre elcuerpo de masa 2m

Peso, 2mg
La tensión de la cuerda, T
Fuerza de rozamiento F₂, en la superficie de contacto con el cuerpo de masa 3m

La ecuación del movimiento

$T - F_{2} = 2 m a$

Si la aceleración fuese nula, a=0, F₂=T=mg.

El valor máximo de la fuerza de rozamiento es F_m=μ_sN₂=0.4·2mg=0.8mg

Como F₂ es mayor que F_m el cuerpo desliza y la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es, F₂=μ_kN₂=0.35·2mg=0.7mg

Las ecuaciones del movimiento son

${\begin{cases} m g - T = m a \\ T - μ_{k} N_{2} = 2 m a \\ N_{2} = 2 m g \end{cases}$

Despejamos la aceleración a=0.1g m/s² y la tensión de la cuerda T=0.9mg N

Fuerzas sobre el cuerpo de masa 3m

Peso, 3mg
La tensión de la cuerda, T que actúa en la polea (horizontal y vertical)
La fuerza N₂ que ejerce el cuerpo de masa 2m
La fuerza F₂=μ_kN₂ que ejerce el cuerpo de masa 2m
La fuerza de rozamiento F₃, con el plano horizontal
La fuerza N₃ que ejerce el plano horizontal sobre dicho cuerpo

Equilibrio

${\begin{cases} N_{3} = N_{2} + T + 3 m g \\ F_{3} + T = F_{2} \end{cases}$

N₃=5.9mg y F₃=-0.2mg, en el sentido contrario al indicado en la figura.

Para que el cuerpo de masa 3m permanezca en reposo, se tiene que cumplir

$| F_{3} | \leq μ_{s} N_{3}$

μ_s≥0.2/5.9=0.03. Este es el coeficiente estático mínimo para que el cuerpo permenezca en reposo

24.-Una cuña de masa m y ángulo θ, se coloca sobre el plano horizontal. Un cuerpo de masa m se sitúa sobre la cuña. El cuerpo de la misma masa m que la cuña, está atado a una cuerda que pasa por una polea y se fija a una pared vertical, de modo que la cuerda es horizontal entre la pared y la polea, y paralela al plano inclinado entre la polea y el cuerpo, tal como se muestra en la figura.

Cuando se suelta el cuerpo empieza a deslizar a lo largo de la cuña. Supondremos que no hay rozamiento entre las superficies de los cuerpos en contacto.

Physics Challenge for Teachers and Students. Solution to October 2012 Challenge. The Physcis Teacher, Vol 50, October 2012. pp. 441

Solución

Las fuerzas sobre el cuerpo de masa m son

El peso, mg
La reacción de la cuña, N (fuerza que ejerce la cuña sobre el cuerpo)
La tensión de la cuerda, T

Las fuerzas sobre la cuña son

El peso, mg
La reacción de la superficie horizontal, N'
La fuerza que ejerce el cuerpo sobre la cuña, N (igual y opuesta a la reacción, N, tercera ley de Newton)
Las fuerzas que ejerce la tensión T de la cuerda sobre la polea de masa despreciable

La posición de la cuña es x en el instante t (véase la primera figura).

La posición del bloque es

horizontal: x'=x+(L-x)cosθ=Lcosθ+x(1-cosθ)
vertical: y'=H-(L-x)sinθ=H-Lsinθ+xsinθ

Sea $a = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ , la aceleración de la cuña, la aceleración del cuerpo tiene dos componentes (horizontal y vertical)

$\begin{array}{l} a_{x}^{'} = \frac{d^{2} x'}{d t^{2}} = a (1 - \cos θ) \\ a_{y}^{'} = \frac{d^{2} y'}{d t^{2}} = a \sin θ \end{array}$

Aplicamos la segunda ley de Newton al cuerpo de masa m

$\begin{array}{l} {\begin{cases} N \sin θ - T \cos θ = m a_{x}^{'} \\ N \cos θ + T \sin θ - m g = m a_{y}^{'} \end{cases} \\ {\begin{cases} N \sin θ - T \cos θ = m a (1 - \cos θ) \\ N \cos θ + T \sin θ - m g = m a \sin θ \end{cases} \end{array}$

La cuña está en equilibrio en sentido perpendicular al plano horizontal. La segunda ley de Newton en la dirección horizontal es

Tcosθ-T-Nsinθ=ma

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, T, N y a. De las dos primeras despejamos T y N en función de a

N=mgcosθ+masinθ, T=mgsinθ-macosθ+ma

De la tercera ecuación, despejamos la aceleración a de la cuña

$a = - \frac{g \sin θ}{3 - 2 \cos θ}$

La cuña se mueve hacia la izquierda. Representamos la aceleración a de la cuña en función del ángulo θ

f=@(x) 9.8*sin(x)./(3-2*cos(x)); %aceleración
fplot(f,[0,pi/2])
th_max=acos(2/3); %máximo
line([th_max,th_max],[0,f(th_max)],'lineStyle','--')
grid on
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12', '\pi/2'})
xlabel('\theta')
ylabel('a')
title('aceleración de la cuña')

Derivamos la aceleración a respecto del ángulo θ e igualamos a cero. La aceleración de la cuña presenta un máximo para cosθ=2/3, para el ángulo 48.2° y su valor es de 4.4 m/s²

>> th_max*180/pi
ans =   48.1897
>> f(th_max)
ans =    4.3827

Comprobamos que la reacción N se hace cero, es decir, el bloque deja de estar en contacto con la cuña a partir de cierto ángulo θ.

En el sistema de tres ecuaciones

${\begin{cases} N \sin θ - T \cos θ = m a (1 - \cos θ) \\ N \cos θ + T \sin θ - m g = m a \sin θ \\ T \cos θ - T - N \sin θ = m a \end{cases}$

hacemos N=0

${\begin{cases} - T \cos θ = m a (1 - \cos θ) \\ T \sin θ - m g = m a \sin θ \\ T \cos θ - T = m a \end{cases}$

Despejamos la tensión T en la tercera ecuación y sustituimos en la primera

$\begin{array}{l} T = - \frac{m a}{1 - \cos θ} \\ \frac{m a}{1 - \cos θ} \cos θ = m a (1 - \cos θ) \\ \cos^{2} θ - 3 \cos θ + 1 = 0 \\ \cos θ = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

θ=67.5°, aproximadamente

25.-Calcular la aceleración de los cuerpos m₁, m₂ y m₃ de la figura.

Solución

Ecuaciones del movimiento

$\begin{array}{l} {\begin{cases} T = m_{1} a \\ m_{2} g - \frac{T}{2} = m_{2} (a - a') \\ m_{3} g - \frac{T}{2} = m_{3} (a + a') \end{cases} \\ a = \frac{4 m_{2} m_{3}}{4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{1}} g a' = \frac{(m_{1} m_{3} - m_{2} m_{1})}{4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{1}} g \end{array}$

La aceleración de cada uno de los cuerpos es

$\begin{array}{l} a_{1} = a = \frac{4 m_{2} m_{3}}{4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{1}} g \\ a_{2} = a - a' = \frac{4 m_{2} m_{3} - m_{1} m_{3} + m_{2} m_{1}}{4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{1}} g \\ a_{3} = a + a' = \frac{4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3} - m_{2} m_{1}}{4 m_{2} m_{3} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{1}} g \end{array}$

26.-Calcular las aceleraciones de los cuerpos de masa m₁ y m₂. Sobre el eje de la polea izquierda cuelga un cuerpo de masa m.

Todas las poleas tienen masas despreciables, no hay rozamiento. Las cuerdas son inextensibles y de masa despreciable.

Physics Challenge for Teachers and Students. Tackle this!. The Physics Teacher. Vol. 59, October 2021 pp. 583
Solution to the October, 2021. The Physics Teacher, 59, A733 (2021)

Solución

Como las poleas no tienen masa y no hay rozamiento, las tensiones en las distintas porciones de la cuerda son las mismas e iguales a T, tal como se indica con las flechas rojas de la figura.

Las ecuaciones del movimiento los cuerpos son

$\begin{array}{l} m \frac{d^{2} y_{0}}{d t^{2}} = m g + 2 T - T \\ m_{1} \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}} = m_{1} g - T \\ m_{2} \frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}} = m_{2} g - 2 T \end{array}} {\begin{cases} \frac{d^{2} y_{0}}{d t^{2}} = g + \frac{T}{m} \\ \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}} = g - \frac{T}{m_{1}} \\ \frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}} = g - 2 \frac{T}{m_{2}} \end{cases}$

La suma de las porciones de cuerda, más las enrolladas en las poleas πr es la longitud total de la cuerda que es constante

(y₁-y₀)+y₀+(y₂-y₀)+y₂=y₁+2y₂-y₀=cte

La relación entre aceleraciones es

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} y_{0}}{d t^{2}} = \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}} + 2 \frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}} \\ T = \frac{2 g}{\frac{1}{m} + \frac{1}{m_{1}} + \frac{4}{m_{2}}} = \frac{2 m m_{1} m_{2}}{m_{1} m_{2} + m m_{2} + 4 m m_{1}} g \end{array}$

Las aceleraciones de los cuerpos de masa m, m₁ y m₂ son

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} y_{0}}{d t^{2}} = \frac{3 m_{1} m_{2} + m m_{2} + 4 m m_{1}}{m_{1} m_{2} + m m_{2} + 4 m m_{1}} g \\ \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}} = \frac{m_{1} m_{2} - m m_{2} + 4 m m_{1}}{m_{1} m_{2} + m m_{2} + 4 m m_{1}} g \\ \frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}} = \frac{m_{1} m_{2} + m m_{2}}{m_{1} m_{2} + m m_{2} + 4 m m_{1}} g \end{array}$