Impulso, momento de una fuerza, momento angular

Impulso

1.-Una partícula de masa m=2 kg se mueve a lo largo del eje X, está sometida a una fuerza que varía con el tiempo t tal como se muestra en la figura. Si la velocidad inicial de la partícula en el instante t=0 es de 3 m/s.

Calcular su velocidad en el instante t=8 s.

Solución

2.-En esta gráfica está representada la fuerza aplicada a un móvil de 2 kg de masa en función del tiempo. Si la velocidad inicial del móvil (t=0) es de 5 m/s, calcular:

La velocidad del móvil en los instantes t = 4, 11, 17, 21 s.

Solución

La variación de momento lineal es igual al impulso

$m v - m v_{0} = \int_{t_{0}}^{t} F \cdot d t$

El impulso es el área bajo la curva fuerza-tiempo

$\begin{array}{l} I_{1} = \frac{4 \cdot 11}{2} = 22 I_{1} = 2 \cdot v - 2 \cdot 5 v = 16 m/s \\ I_{2} = \frac{4 \cdot 11}{2} + 7 \cdot 11 = 99 I_{2} = 2 \cdot v - 2 \cdot 5 v = 54.5 m/s \\ I_{3} = \frac{4 \cdot 11}{2} + 7 \cdot 11 + \frac{6 \cdot 11}{2} = 132 I_{3} = 2 \cdot v - 2 \cdot 5 v = 71 m/s \\ I_{4} = \frac{4 \cdot 11}{2} + 7 \cdot 11 + \frac{6 \cdot 11}{2} - 4 \cdot 3 = 120 I_{4} = 2 \cdot v - 2 \cdot 5 v = 65 m/s \end{array}$

3.-Se aplica a un móvil de masa 2 kg una fuerza que cambia con el tiempo t de la forma F(t)=3t²-2t-1 N. Si la velocidad del móvil en el instante t=0 es 3 m/s. Calcular la velocidad del móvil en el instante t=4 s.

Solución

4.-Una pieza de madera de masa M y altura h=0.1 m descansa sobre un plano horizontal. Una bala de masa m=0.01 kg se dispara verticalmente con velocidad v₀=120 m/s y atraviesa la pieza. La bala sale con una velocidad menor de v=115 m/s.

Determinar la masa mínima M que impide que la pieza de madera se eleve por encima del plano horizontal.

Physics Challenges for Teachers and Students. Shooting the Breeze. The Physics Teacher. Vol. 40, November 2002, pp. 507

Solución

El cambio de velocidad de la bala es Δv=v-v₀.

El tiempo que tarda en atravesar la pieza es

$\begin{array}{l} {\begin{cases} v = v_{0} + a t \\ h = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} \end{cases} \\ t = \frac{2 h}{v + v_{0}} \end{array}$

El bloque ejerce una fuerza F que sobre la bala que hace que disminuya su velocidad

$F = m a = m \frac{Δ v}{t} = m \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 h}$

El impulso F·t es igual a la variación de momento lineal m·Δv

Las fuerzas sobre el bloque son F (de sentido contrario por la tercera ley de Newton) y el peso Mg. El mínimo valor de M se obtiene cuando el peso del bloque se iguala a la fuerza F

$M g = m \frac{v_{0}^{2} - v^{2}}{2 d}$

Con los datos del problema, M=5.99≈6 kg

5.-Una ametralladora dispara 120 balas por minuto de 0.1 kg a una velocidad de 1000 m/s. Calcular la fuerza media que el soldado ejerce sobre la ametralladora.

Solución

En la figura de la izquierda, se han representado seis disparos. Durante un tiempo muy corto, el impulso (área de la fuerza que ejerce la ametralladora sobre la bala en un disparo, en color rojo) es igual al cambio de momento lineal de la bala mv.

Cuando se han efectuado n·Δt disparos, siendo n es el número de disparos efectuados en la unidad de tiempo, el cambio de momento lineal es Δp=(nΔt)·(mv). El área sombreada de color rojo en este tiempo es la misma que la sombreada en color azul en el mismo tiempo. El impulso es <F>·Δt, donde <F> es la fuerza media.

$\begin{array}{l} < F > Δ t = Δ p = (n Δ t) (m v) \\ < F > = n (m v) = \frac{120}{60} \cdot 0.1 \cdot 1000 = 200 N \end{array}$

en cada segundo, ó 120 disparos por minuto

6.-Supongamos que se deja caer bolitas 300 bolitas por minuto de 0.1 kg cada una desde una altura de 1.25 m sobre el platillo de una balanza electrónica. ¿Cuál será la lectura de la balanza?

Suponiendo que el choque es elástico
Si las bolitas quedan pegadas al platillo (choque completamente inelástico)

Solución

La velocidad de cada bolita al chocar con el platillo es

${\begin{array}{l} h = \frac{1}{2} g t^{2} \\ v = g t \end{array}} v = \sqrt{2 g h}$

con h=1.25, tomando g=10 m/s², v=5 m/s

El cambio de momento lineal en cada choque elástico es mv-m(-v)=2mv

El cambio de momento lineal de nΔt choques, siendo n el número de choques en la unidad de tiempo, es Δp=(nΔt)·(2mv). El impulso de la fuerza media <F> que ejerce la balanza es <F>Δt=Δp

$< F > = \frac{Δ p}{Δ t} = n (2 m v) = \frac{300}{60} (2 \cdot 0.1 \cdot 5) = 5 N$

El cambio de momento lineal en cada choque inelástico es 0-m(-v)=mv

El cambio de momento lineal de nΔt choques, siendo n el número de choques en la unidad de tiempo, Δp=(nΔt)·(mv). El impulso de la fuerza media <F> que ejerce la balanza es <F>Δt=Δp

$< F > = \frac{Δ p}{Δ t} = n (m v) = \frac{300}{60} (0.1 \cdot 5) = 2.5 N$

Como las bolitas quedan pegadas a la balanza, a esta fuerza hemos de sumar el peso de las bolitas que caen en el tiempo t, (n·t)(mg). Donde n es el número de bolitas que caen en la unidad de tiempo y mg es el peso de cada bolita.

$F = 2.5 + \frac{300}{60} 0.1 \cdot 10 \cdot t = 2.5 + 5 \cdot t N$

Momento de una fuerza respecto de un punto

7.-Hallar la resultante y el momento de cada fuerza respecto del origen O.

Solución

Resultante

$\begin{array}{l} {\begin{cases} \vec{F_{1}} = - 6 \sin 60 \cdot \hat{i} + 6 \cos 60 \cdot \hat{j} \\ \vec{F_{2}} = 5 \cos 45 \cdot \hat{i} - 5 \sin 45 \cdot \hat{j} \end{cases} \\ \begin{array}{l} \vec{R} = (- 3 \sqrt{3} + \frac{5}{2} \sqrt{2}) \hat{i} + (3 - \frac{5}{2} \sqrt{2}) \hat{j} \end{array} \end{array}$

Momento de cada fuerza

La dirección de la fuerza pasa por el origen, el brazo d=0

$\vec{M_{1}} {\begin{cases} Módulo 5 \cdot d \\ Dirección \\ Sentido \end{cases}} = 0 \hat{k}$

Brazo de la fuerza, tan φ=1/3 $d = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} \cos (60 - φ) = 2.37$

$\vec{M_{2}} {\begin{cases} Módulo 5 \cdot d \\ Dirección, eje Z \\ Sentido, - \end{cases}} = - 14.20 \hat{k} N·m$

8.-Calcular la resultante

el momento de cada una las fuerzas respecto del punto O
el momento total.

Solución

$\begin{array}{l} \vec{F_{1}} = 4 \cos 45 \cdot \hat{i} + 4 \sin 45 \cdot \hat{j} \\ \vec{F_{2}} = - 5 \sin 30 \hat{\cdot i} - 5 \cos 30 \cdot \hat{j} \\ \vec{F_{3}} = - 2 \cdot \hat{i} \\ \vec{R} = (2 \sqrt{2} - \frac{9}{2}) \hat{i} + (2 \sqrt{2} - \frac{5}{2} \sqrt{3}) \hat{j} N \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{M_{1}} {4 \cdot 0} = 0 \\ \vec{M_{2}} {\begin{cases} 5 \cdot \sqrt{13 \cdot} \sin (30 + 33.7) \\ eje Z \\ (+) \end{cases}} = 16.2 \hat{k} N·m \\ \vec{M_{3}} {\begin{cases} 2.3 \\ eje Z \\ (-) \end{cases}} = - 6 \hat{k} N·m \\ \vec{M} = \vec{M_{1}} + \vec{M_{2}} + \vec{M_{3}} = 10.2 \hat{k} N·m \end{array}$

Momento angular

9.-Se dispara una bala de 200 g mediante un dispositivo desde la posición x=50 cm, y=0, con velocidad de 100 m/s, haciendo un ángulo de 30º con el eje X.

Hallar el momento angular de la bala respecto al origen, en el instante del lanzamiento.

Solución

10.-Calcular el vector momento angular respecto del origen O de la partícula de 2 kg que se mueve con velocidad de 10 m/s, en la dirección que se muestra en la figura.

Solución

11.-Hallar el momento angular (módulo, dirección y sentido) de una partícula de masa m=2 kg que describe un movimiento circular en el plano XY, de 40 cm de radio, con una velocidad angular de 60 r.p.m.

Solución

12.-Una partícula de masa m está unida al extremo de una cuerda. La partícula se mueve sin rozamiento sobre un plano horizontal. La cuerda pasa a través de un agujero en el plano y se tira del otro extremo libre, la partícula describe una trayectoria circular de radio r=R

Se tira lentamente de la cuerda hasta que el radio de la circunferencia se reduzca a la mitad r=R/2.

Calcular el trabajo de la fuerza F

Sidney B. Cahn, Boris E. Nadgorny. A guide to physics problems, part 1. Mechanics, Relativity, and Electrodynamics.. Kluwer Academic Publishers, 2004. Problem 1.9

Solución

Dinámica del movimiento circular uniforme

$F = m \frac{v^{2}}{r}$

La fuerza F es central, pasa por el centro de la trayectoria, el momento de la fuerza, $\vec{r} \times \vec{F} = 0$ , el momento angular permanece constante

$\vec{r} \times \vec{F} = \frac{d \vec{L}}{d t}$

El módulo del momento angular $\vec{L} = \vec{r} \times m \vec{v}$ es L=mvr. La dirección es vertical (perpendicular al plano de la trayectoria) y sentido el indicado en la figura

La fuerza es inversamente proporcional al cubo del radio r

$F = m \frac{v^{2}}{r} = \frac{L^{2}}{m r^{3}}$

El trabajo de la fuerza F es

$W = - \int_{R}^{R / 2} F \cdot d r = - \int_{R}^{R / 2} \frac{L^{2}}{m r^{3}} d r = - \frac{L^{2}}{m} {(- \frac{1}{2 r^{2}}) |}_{R}^{R / 2} = \frac{L^{2}}{2 m} (\frac{4}{R^{2}} - \frac{1}{R^{2}}) = \frac{1}{2} \frac{3 L^{2}}{m R^{2}}$

La variación de la energía cinética de la partícula es

$\begin{array}{l} E = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r^{2}} \\ E_{0} = \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m R^{2}}, E_{1} = \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m {(\frac{R}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \frac{4 L^{2}}{m R^{2}} \\ Δ E = E_{1} - E_{0} = \frac{1}{2} \frac{3 L^{2}}{m R^{2}} \end{array}$