Trabajo

1.-Para alargar un muelle es necesario aplicar una fuerza proporcional al desplazamiento F=kx. Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.

Solución

2.-Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba en un plano inclinado de 20° con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, una fuerza paralela al plano de 100 N favoreciendo el movimiento, una fuerza de fricción de 10 N que se opone al movimiento. El cuerpo se traslada de A a B, 20 m a lo largo del plano inclinado. Calcular:

El valor de las fuerzas que faltan.
El trabajo de cada fuerza y el trabajo total.
La resultante y el trabajo de la resultante.

Solución

3.-Un automóvil sube por una carretera de 3° de inclinación con una velocidad constante de 45 km/h. La masa del automóvil es de 1600 kg. Despreciar las fuerzas de fricción.

¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor?
¿Cuál es el trabajo que ha efectuado en 10 s?

Solución

4.-Hallar la velocidad con que sale una bala después de haber atravesado una tabla de 7 cm de grosor y que opone una resistencia constante de 1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa de 15 g.

Solución

El trabajo de la fuerza que actúa sobre la bala es igual a la variación de energía cinética, W=1600·0.07·cos180=-112 J

$W = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

Sabiendo que v₀=450 m/s y m=0.015 kg, obtenemos la velocidad final de la bala, v=433.1 m/s

Aplicando dinámica, calculamos la aceleración de la bala en el interior de la tabla a=-1600/0.015=-106666.7 m/s²

Utilizando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

$\begin{array}{l} v = v_{0} + a t \\ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} \end{array}$

con x=0.07 y v₀=450 m/s, obtenemos el tiempo t=0.000158 s que tarda la bala en atravesar la tabla y la velocidad final v=433.1 m/s

5.-En la figura, se muestra la gráfica de la fuerza aplicada a un móvil de 2 kg de masa en función del desplazamiento. Sabiendo que su velocidad inicial (en x=0) es de 5 m/s, calcular su velocidad en las posiciones x = 4, 11, 17, 21.

Solución

El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética

$W = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}$

El trabajo es el área bajo la curva fuerza-desplazamiento.

$\begin{array}{l} W_{1} = \frac{4 \cdot 11}{2} = 22 W_{1} = \frac{1}{2} 2 v^{2} - \frac{1}{2} 2 \cdot 5^{2} v = \sqrt{47} m/s \\ W_{2} = \frac{4 \cdot 11}{2} + 7 \cdot 11 = 99 W_{2} = \frac{1}{2} 2 v^{2} - \frac{1}{2} 2 \cdot 5^{2} v = \sqrt{146} m/s \\ W_{3} = \frac{4 \cdot 11}{2} + 7 \cdot 11 + \frac{6 \cdot 11}{2} = 132 W_{3} = \frac{1}{2} 2 v^{2} - \frac{1}{2} 2 \cdot 5^{2} v = \sqrt{157} m/s \\ W_{4} = \frac{4 \cdot 11}{2} + 7 \cdot 11 + \frac{6 \cdot 11}{2} - 12 = 120 W_{4} = \frac{1}{2} 2 v^{2} - \frac{1}{2} 2 \cdot 5^{2} v = \sqrt{145} m/s \end{array}$

6.-Una fuerza F=3x²+2x-5 N (la posición x en m) se aplica a un cuerpo de 10 kg de masa.

Calcular el trabajo realizado por la fuerza entre x=2 y x=5m.
Sabiendo que la velocidad del bloque en el punto x=2 m es de 5 m/s, calcular la velocidad del bloque en el punto x=5 m.

Solución

7.-Una partícula de masa m=2 kg se mueve a lo largo del eje X, está sometida a una fuerza que varía con la posición x tal como se muestra en la figura. Si la velocidad inicial cuando pasa por el origen x=0 es de 3 m/s. Calcular su velocidad cuando pasa por x=8 m

Solución

8.-Sobre una partícula actúa una fuerza $\vec{F} = 2 x^{2} \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} N$ . Hallar el trabajo realizado por dicha fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA de la figura. El camino AB es una porción de la parábola y=x²/3.

Solución

Trabajo infinitesimal

$\vec{F} \cdot \vec{d r} = (2 x^{2} \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j}) \cdot (d x \hat{i} + d y \hat{j}) = 2 x^{2} d x + 3 y^{2} d y$

Camino AB

$\begin{array}{l} y = \frac{x^{2}}{3} d y = \frac{2}{3} x \cdot d x \\ \vec{F} \cdot \vec{d r} = (2 x^{2} + \frac{2}{9} x^{5}) d x \\ W_{A B} = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{0}^{3} (2 x^{2} + \frac{2}{9} x^{5}) d x = 45 J \end{array}$

Camino BC

$\begin{array}{l} y = 3 d y = 0 \\ \vec{F} \cdot \vec{d r} = 2 x^{2} d x \\ W_{B C} = \int_{B}^{C} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{3}^{0} 2 x^{2} d x = - 18 J \end{array}$

Camino CA

$\begin{array}{l} x = 0 d x = 0 \\ \vec{F} \cdot \vec{d r} = 3 y^{2} d y \\ W_{C A} = \int_{C}^{A} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{3}^{0} 3 y^{2} d y = - 27 J \end{array}$

Total

$\oint^{} \vec{F} \cdot \vec{d r} = 45 - 18 - 27 = 0$

9.-Hallar el trabajo de la fuerza $\vec{F} = 6 x y \hat{i} + 3 x^{2} \hat{j} N$ a lo largo del camino ABA. El camino AB es el tramo de parábola y=-2x²+6x, El camino BA es la recta que une el punto B de coordenadas (2,4) con el origen.

Solución

Trabajo infinitesimal

$\vec{F} \cdot \vec{d r} = (6 x y \hat{i} + 3 x^{2} \hat{j}) \cdot (d x \cdot \hat{i} + d y \cdot \hat{j}) = 6 x y d x + 3 x^{2} d y$

Camino AB

$\begin{array}{l} y = - 2 x^{2} + 6 x d y = (- 4 x + 6) \cdot d x \\ \vec{F} \cdot \vec{d r} = (- 24 x^{3} + 54 x^{2}) d x \\ W_{A B} = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{0}^{2} (- 24 x^{3} + 54 x^{2}) d x = 48 J \end{array}$

Camino BA

$\begin{array}{l} y = 2 x d y = 2 \cdot d x \\ \vec{F} \cdot \vec{d r} = 18 x^{2} d x \\ W_{B A} = \int_{B}^{A} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{2}^{0} 18 x^{2} d x = - 48 J \end{array}$

Total

$\oint^{} \vec{F} \cdot \vec{d r} = 48 - 48 = 0$

10.-Sobre una partícula actúa una fuerza $\vec{F} = 2 x^{2} \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j} N$ . Hallar el trabajo realizado por dicha fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA

Solución

Trabajo infinitesimal

$\vec{F} \cdot \vec{d r} = (2 x^{2} \hat{i} + 3 y^{2} \hat{j}) \cdot (d x \cdot \hat{i} + d y \cdot \hat{j}) = 2 x^{2} d x + 3 y^{2} d y$

Camino AB

$\begin{array}{l} y = x d y = d x \\ \vec{F} \cdot \vec{d r} = 5 x^{2} d x \\ W_{A B} = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{0}^{3} 5 x^{2} d x = 45 J \end{array}$

Camino BC

$\begin{array}{l} y = 3 d y = 0 \\ \vec{F} \cdot \vec{d r} = 2 x^{2} d x \\ W_{B C} = \int_{B}^{C} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{3}^{0} 2 x^{2} d x = - 18 J \end{array}$

Camino CA

$\begin{array}{l} x = 0 d x = 0 \\ \vec{F} \cdot \vec{d r} = 3 y^{2} d y \\ W_{C A} = \int_{C}^{A} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{3}^{0} 3 y^{2} d y = - 27 J \end{array}$

Total

$\oint^{} \vec{F} \cdot \vec{d r} = 45 - 18 - 27 = 0$

11.-Una cuerda está atada a un bloque de masa que desliza sin rozamiento a lo largo de un plano horizontal. La cuerda pasa por una polea de masa despreciable a una altura h=1.20 m sobre el bloque. La tensión de la cuerda es constante T=25 N.

Calcular el trabajo de la tensión T cuando el bloque se desplaza desde x₁=3 m a x₂=1 m.

Masatsugu Sei Suzuki. Lecture Notes of General Physics I and II. Calculus Based

Solución

$\begin{array}{l} W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \vec{T} \cdot \vec{d r} = - \int_{x_{1}}^{x_{2}} T \cos θ \cdot d x = - T \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + h^{2}}} \cdot d x = {- T \frac{1}{2} \frac{\sqrt{x^{2} + h^{2}}}{\frac{1}{2}} |}_{x_{1}}^{x_{2}} = \\ T (\sqrt{x_{1}^{2} + h^{2}} - \sqrt{x_{2}^{2} + h^{2}}) \end{array}$

El trabajo vale W=41.7262 J

12.- Un péndulo de masa m y longitud l se desplaza lentamente desde la posición θ=0 a la posición θ=θ₀ aplicando una fuerza horizontal F.

Calcular el valor de dicha fuerza F cuando la posición del péndulo es θ
Calcular el trabajo de dicha fuerza, de la tensión de la cuerda y del peso

Masatsugu Sei Suzuki. Lecture Notes of General Physics I and II. Calculus Based

Solución

Cuando la posición del péndulo es θ. En la situación de equilibrio

$\begin{array}{l} {\begin{cases} T \cos θ = m g \\ T \sin θ = F \end{cases} \\ F = m g \tan θ \end{array}$

El trabajo de la tensión de la cuerda es nulo ya que la fuerza $\vec{T}$ y el desplazamiento $\vec{d r}$ son perpendiculares

El trabajo de la fuerza $\vec{F}$ es

$\begin{array}{l} W_{F} = \int_{0}^{θ_{0}} \vec{F} \cdot \vec{d r} = \int_{0}^{θ_{0}} F \cdot d s \cos θ = \int_{0}^{θ_{0}} m g \tan θ \cdot (l \cdot d θ) \cos θ = m g l \int_{0}^{θ_{0}} \sin θ \cdot d θ = \\ m g l {(- \cos θ) |}_{0}^{θ_{0}} = m g l (1 - \cos θ_{0}) \end{array}$

ds es un arco de circunferencia de radio l. Por tanto, ds=l·dθ

El trabajo del peso es

$\begin{array}{l} W_{g} = \int_{0}^{θ_{0}} m g \hat{j} \cdot \vec{d r} = \int_{0}^{θ_{0}} m g \cdot d s \cos (\frac{π}{2} + θ) = - m g \int_{0}^{θ_{0}} (l \cdot d θ) \sin θ = - m g l \int_{0}^{θ_{0}} \sin θ \cdot d θ = \\ m g l {(\cos θ) |}_{0}^{θ_{0}} = - m g l (1 - \cos θ_{0}) \end{array}$

El trabajo total es nulo ya que la fuerza neta es cero

$F \hat{i} - m g \hat{j} + \vec{T} = 0$