Conservación del momento angular

1.-Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema.

Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

La velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla.
Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

Solución

Conservación del momento angular

$\begin{array}{l} I_{1} = \frac{1}{12} 3 \cdot 2^{2} + 2 (\frac{2}{5} 6 \cdot {0.2}^{2} + 6 \cdot {0.5}^{2}) ω_{1} = \frac{120 \cdot 2 π}{60} = 4 π rad/s \\ I_{2} = \frac{1}{12} 3 \cdot 2^{2} + 2 (\frac{2}{5} 6 \cdot {0.2}^{2} + 6 \cdot 1^{2}) \\ I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2} ω_{2} = 1.27 π rad/s \end{array}$

Variación de la energía cinética

$\begin{array}{l} E_{k 1} = \frac{1}{2} I_{1} ω_{1}^{2} = 330.99 J \\ E_{k 2} = \frac{1}{2} I_{2} ω_{2}^{2} = 105.20 J \end{array}$

2.-Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.

¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?.
Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía.

Solución

Conservación del momento angular

$\begin{array}{l} I_{1} = \frac{1}{2} 10 \cdot {1.3}^{2} + 2 (25 \cdot {1.3}^{2}) ω_{1} = \frac{5 \cdot 2 π}{60} = \frac{π}{6} rad/s \\ I_{2} = \frac{1}{2} 10 \cdot {1.3}^{2} + 2 (25 \cdot {0.7}^{2}) \\ I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2} ω_{2} = 1.48 rad/s \end{array}$

Variación de la energía cinética

$Δ E = E_{k 2} - E_{k 1} = \frac{1}{2} I_{2} ω_{2}^{2} - \frac{1}{2} I_{1} ω_{1}^{2} = 23.20 J$

La fuerza necesaria para que un niñoe describa un movimiento circular de radio r es F=mω²r, cuando la plataforma gira con velocidad angular ω. El trabajo de la fuerza F cuando el niño pasa de la posición inicial (en el borde) a la posición final (hacia el centro) incrementa la energía cinética de rotación.

3.-Un niño de 25 kg está agachado sobre la tabla de un columpio desviado 30º de la vertical. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. del niño es 2 m.

Calcular la velocidad angular ω₁ con la que llega a la posición de equilibrio.
En esta posición, el niño se levanta rápidamente quedándose de pié sobre el columpio, con lo que eleva su centro de masa 30 cm. Como consecuencia su velocidad angular se incrementa. Calcular la velocidad angular ω₂,
Calcula la máxima desviación θ, del niño cuando está de pié sobre el columpio.
¿Cuánto vale la tensión de la cuerda cuando pasa por la posición θ/2?.

Solución

Conservación de la energía

$25 \cdot 9.8 (2 - 2 \cdot \cos 30) = \frac{1}{2} 25 v_{1}^{2} v_{1} = 2.29 m/s ω_{1} = 1.15 rad/s$

Conservación del momento angular

$25 \cdot 2^{2} ω_{1} = 25 \cdot {1.7}^{2} ω_{2} ω_{2} = 1.60 rad/s$

Conservación de la energía

$\frac{1}{2} 25 \cdot {(1.7 \cdot ω_{2})}^{2} = 25 \cdot 9.8 \cdot (1.7 - 1.7 \cdot \cos θ) θ = 38.6 º$

Tensión de la cuerda para θ/2

La velocidad de la partícula para θ/2

$\frac{1}{2} 25 \cdot {(1.7 \cdot ω_{2})}^{2} = \frac{1}{2} 25 \cdot v_{3}^{2} + 25 \cdot 9.8 \cdot (1.7 - 1.7 \cdot \cos \frac{θ}{2}) v_{3} = 2.32 m/s$

Las fuerzas sobre la partícula son:

La tensión, T
El peso, mg

Dinámica del movimiento circular uniforme

$T - 25 \cdot 9.8 \cos \frac{θ}{2} = 25 \frac{v_{3}^{2}}{1.7} T = 310.6 N$

4.-Un cubo de madera de 2 kg y 20 cm de arista, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está sujeto a una barra rígida de longitud 2 m y masa 300 g fijada a la superficie por un extremo en el punto O y por el otro al centro del cubo. Una bala de masa 50 g y velocidad 200m/s se incrusta en el cubo a la altura de su centro de masa (en la dirección perpendicular al cubo, tal como se muestra en la figura)

¿Cuál es la velocidad angular del sistema después del choque?.
¿Se conserva la energía en esta colisión?.

Momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el cm del cubo: $I = \frac{1}{6} m a^{2}$ y de la varilla $I = \frac{1}{12} m L^{2}$

Solución

Conservación del momento angular

Momento angular de la partícula respecto de un eje que pasa por O.

L=mvd

Momento angular del sólido en rotación alrededor de un eje que pasa por O

L=Iω

Igualamos el momento angular inicial al final

$\begin{array}{l} 0.05 \cdot 200 \cdot 2 = (I_{c u b o} + I_{var i l l a} + I_{b a l a}) ω \\ \begin{array}{l} 0.05 \cdot 200 \cdot 2 = {(\frac{1}{6} 2 \cdot {0.2}^{2} + 2 \cdot 2^{2}) + (\frac{1}{12} 0.3 \cdot 2^{2} + 0.3 \cdot 1^{2}) + 0.05 \cdot 2^{2}} ω \\ ω = 2.32 rad/s \end{array} \end{array}$

Energía inicial y final

$\begin{array}{l} E_{k i} = \frac{1}{2} 0.05 \cdot 200^{2} = 1000 J \\ E_{k f} = \frac{1}{2} I_{O} \cdot ω^{2} = 23.22 J \end{array}$

5.-Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200 g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura. Calcular:

La velocidad angular del disco después del disparo
El sentido en que gira.
La variación de energía

Solución

El momento angular de la partícula es

$\vec{L} = \vec{r} \times m \vec{v}$

Su módulo es L=rmvsin60=mvd=0.2·20·0.5·sin60

d es el brazo del momento lineal

La dirección es perpendicular al plano de la pantalla y sentido hacia dentro

$L_{1} = - \sqrt{3}$

Momento angular del disco

$L_{2} = I ω = (\frac{1}{2} 10 \cdot {0.5}^{2}) ω = \frac{5}{4} ω$

Aplicamos el principio de conservación del momento angular.

El momento angular inicial es cero
El momento angular final es la suma del momento angular del disco y de la partícula que se lanza.

$- \sqrt{3} + \frac{5}{4} ω = 0 ω = \frac{4 \sqrt{3}}{5} rad/s$

Variación de energía

$Δ E = E_{k 2} - E_{k 1} = \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = 41.2 J$

6.-Obtener la fórmula del momento de inercia de una puerta de masa M, altura b y anchura a, respecto a un eje que pase a lo largo de su lado b.

Una puerta de masa M, se encuentra en reposo y es golpeada por una bola de masilla de masa m, tal como se muestra en la figura. La velocidad de la bola de masilla es v, y su dirección inicial es horizontal, formando un ángulo θ con la normal a la cara de la puerta, impactando a una distancia D del eje de la misma. Después de la colisión la bola se queda pegada a la puerta. Obtener:

La expresión de la velocidad de la puerta después de la colisión.
La variación de energía cinética del sistema (puerta más bola de masilla).

Datos m = 1.1 kg, M = 35 kg, a = 73 cm, b = 190 cm, D = 62 cm, θ = 22º, v = 27 m/s.

Solución

Área del elemento diferencial b·dx. Masa dm contenida en dicho elemento

$\begin{array}{l} d m = \frac{M}{a \cdot b} b \cdot d x = \frac{M}{a} d x \\ I = \int x^{2} d m = \int_{0}^{a} x^{2} \frac{M}{a} d x = \frac{1}{3} M a^{2} \end{array}$

Momento angular inicial de la bola

L_i=mv·D·cosθ

Momento angular final de la puerta y la bola pegada

$L_{f} = (\frac{1}{3} M a^{2} + m D^{2}) ω$

Aplicamos el principio de conservación del momento angular

$\begin{array}{l} L_{i} = L_{f} \\ ω = \frac{m v D \cos θ}{\frac{1}{3} M a^{2} + m D^{2}} ω = 2.57 rad/s \end{array}$

Variación de energía

$Δ E = E_{k f} - E_{k i} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} M a^{2} + m D^{2}) ω^{2} - \frac{1}{2} m v^{2} = 379 J$

7.-Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.

Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque y la energía perdida en el mismo.

Solución

Momento de inercia del péndulo respecto de un eje que pasa por el extremo de la varilla.

$I_{O} = (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.2}^{2} + 0.2 \cdot {0.1}^{2}) + (\frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + 0.5 \cdot {0.25}^{2}) = 0.034 {kgm}^{2}$

Principio de conservación del momento angular

0.1·50·0.25=I_Oω+0.1·40·0.25, ω=7.24 rad/s

Posición del centro de masa respecto del extremo O de la varilla

$x_{c} = \frac{0.2 \cdot 0.1 + 0.5 \cdot 0.25}{0.2 + 0.5} = 0.21 m$

Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del péndulo se transforma en energía potencial de su c.m.

$0.7 \cdot 9.8 \cdot (x_{c} - x_{c} \cos θ) = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} θ = 68.7 º$

Energía perdida en el choque

$Δ E = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} + \frac{1}{2} 0.1 \cdot 40^{2} - \frac{1}{2} 0.1 \cdot 50^{2} = - 44.09 J$

8.-Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm por debajo de su extremo superior. La varilla puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al plano del papel, que pasa por O.

Determinar la velocidad angular del sistema varilla-bala inmediatamente después del choque.
Calcular el máximo desplazamiento angular del sistema varilla-bala.

Solución

El momento angular de la partícula es

$\vec{L} = \vec{r} \times m \vec{v}$

Su módulo es L =mvd=0.1·25·0.35·cos30

d es el brazo del momento lineal

Momento de inercia del péndulo y de la bala incrustada respecto de un eje que pasa por el extremo O de la varilla

$I_{o} = (\frac{1}{12} 0.9 \cdot {0.45}^{2} + 0.9 \cdot {0.225}^{2}) + 0.1 \cdot {0.35}^{2} = 0.073 {kgm}^{2}$

Principio de conservación del momento angular

mvd=I_oω, ω=10.38 rad/s

Posición del centro de masa respecto del extremo O de la varilla

$x_{c} = \frac{0.9 \cdot 0.225 + 0.1 \cdot 0.35}{0.9 + 0.1} = 0.2375 m$

Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del sistema formado por el péndulo y la bala se transforma en energía potencial de c.m. del sistema.

$1.0 \cdot 9.8 \cdot (x_{c} - x_{c} \cos θ) = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} θ = 133.6 º$

9.-Una bala de 100 g que lleva una velocidad de 12.5 m/s choca con el centro del disco de un péndulo, tal como se muestra en la figura. Después del choque, la bala queda empotrada en el centro del disco. El péndulo que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por O, está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de 500 g de masa y 5 cm de radio.

Calcular la velocidad angular del sistema inmediatamente después del choque.
Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque, y la energía perdida en el mismo.

Solución

El momento angular de la partícula es

Su módulo es L =mvd=0.1·12.5·0.25·cos30

d es el brazo del momento lineal

Momento de inercia del péndulo y de la bala incrustada respecto de un eje que pasa por el extremo O de la varilla

$I_{o} = (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.2}^{2} + 0.2 \cdot {0.1}^{2}) + (\frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + 0.5 \cdot {0.25}^{2}) + 0.1 \cdot {0.25}^{2}$

Principio de conservación del momento angular

mvd=I_oω, ω=6.634 rad/s

Energía perdida en el choque

$Δ E = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} - \frac{1}{2} 0.1 \cdot {12.5}^{2} = - 6.91 J$

Posición del centro de masa respecto del extremo O de la varilla

$x_{c} = \frac{0.5 \cdot 0.25 + 0.1 \cdot 0.25 + 0.2 \cdot 0.1}{0.5 + 0.1 + 0.2}$

Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del sistema formado por el péndulo y la bala se transforma en energía potencial de c.m. del sistema.

$0.8 \cdot 9.8 \cdot (x_{c} - x_{c} \cos θ) = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} θ = 62.5 º$

10.-Disparamos una bala de 50 g con velocidad v contra un péndulo compuesto por una esfera y una barra, como indica la figura. Características de la barra: 40 cm de longitud, 200 g de masa; características de la esfera: 5 cm de radio y 500 g de masa. La barra está fijada por un punto O situado a 8 cm de su extremo.

Si la bala se incrusta en el péndulo, calcular el valor mínimo de v para que el péndulo dé una vuelta completa.
Si la bala atraviesa el péndulo y sale con velocidad v/2, calcular el ángulo de desviación máxima al que llegará el péndulo.

Solución

Principio de conservación del momento angular

Momento angular de la bala

L=0.05·v·0.37

Momento de inercia del sistema formado por la varilla, la esfera y la bala incrustada en su centro.

$I_{o} = (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.4}^{2} + 0.2 \cdot {0.12}^{2}) + (\frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + 0.5 \cdot {0.37}^{2}) + 0.05 \cdot {0.37}^{2} = 0.0745 {kgm}^{2}$

0.05·v·0.37=I_o·ω

Posición del centro de masa respecto de O

$x_{c} = \frac{0.2 \cdot 0.12 + 0.5 \cdot 0.37 + 0.0.5 \cdot 0.37}{0.2 + 0.5 + 0.05} = 0.303 m$

Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del sistema formado por el péndulo y la bala se transforma en energía potencial de c.m. del sistema.

$0.75 \cdot 9.8 \cdot 2 x_{c} = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} ω = 10.47 rad/s$

De la conservación del momento angular, v=46.04 m/s

Principio de conservación del momento angular

Momento angular de la bala

L=0.05·v·0.37

Momento angular de la bala y del sistema formado por la varilla y la esfera

$I_{o} = (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.4}^{2} + 0.2 \cdot {0.12}^{2}) + (\frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + 0.5 \cdot {0.37}^{2}) = 0.0745 {kgm}^{2}$

0.05·v·0.37=I_o·ω+0.05(v/2)·0.37

como v=46.04 m/s, ω=5.72 rad/s

Posición del c.m. del sistema formado por la varilla y la esfera

$x_{c} = \frac{0.2 \cdot 0.12 + 0.5 \cdot 0.37}{0.2 + 0.5} = 0.3 m$

Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del sistema formado por la varilla y la esfera se transforma en energía potencial de c.m. del sistema.

$0.7 \cdot 9.8 \cdot (x_{c} - x_{c} \cos θ) = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} θ = 66.1 º$

11.-Un péndulo está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de forma cilíndrica 500 g de masa y 5 cm de radio. En el centro de la lenteja hay un dispositivo que lanza una partícula de 100 g con una velocidad de 12.5 m/s haciendo un ángulo de 30º con la horizontal tal como se muestra en la figura.

Calcular la velocidad angular del péndulo inmediatamente después del disparo de la partícula.
Calcular el máximo desplazamiento angular del péndulo

Solución

El momento angular inicial es cero

El momento angular de la partícula es

$\vec{L} = \vec{r} \times m \vec{v}$

Su módulo es L =mvd=0.1·12.5·0.45·cos30

d es el brazo del momento lineal

Su sentido es el de las agujas del reloj (-)

Momento de inercia del péndulo respecto de un eje que pasa por el extremo O de la varilla

$I_{o} = (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.4}^{2} + 0.2 \cdot {0.2}^{2}) + (\frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + 0.5 \cdot {0.45}^{2})$

Principio de conservación del momento angular

-mvd+I_oω=0, ω=4.33 rad/s

Posición del centro de masa respecto del extremo O de la varilla del péndulo

$x_{c} = \frac{0.2 \cdot 0.2 + 0.5 \cdot 0.45}{0.2 + 0.5} = 0.38 m$

Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del péndulo se transforma en energía potencial de su c.m..

$0.7 \cdot 9.8 \cdot (x_{c} - x_{c} \cos θ) = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} θ = 53.5 º$

12.-Un sólido rígido en rotación en el plano horizontal con velocidad angular constante de 120 rpm, está formado por una varilla delgada de 2 kg de masa y 80 cm de longitud y dos esferas iguales de 6 kg y 10 cm de radio, tal como se muestra en la figura. Se dispara una bala de 300 g con velocidad v haciendo 30º con la horizontal. La bala se incrusta en el centro de la esfera.

Cuál debe ser la velocidad v para que el sistema se pare después del choque.

Solución

El momento angular de la bala es

$\vec{L} = \vec{r} \times m \vec{v}$

Su módulo es L =mvd=0.3·v·0.3·cos30

d es el brazo del momento lineal

Su sentido es contrario al de las agujas del reloj (+)

Momento de inercia del sólido de un eje que pasa por O

$I_{o} = (\frac{1}{12} 2 \cdot {0.8}^{2}) + 2 (\frac{2}{5} 6 \cdot {0.1}^{2} + 6 \cdot {0.3}^{2}) = 1.23 {kgm}^{2}$

Momento angular del sólido en rotación I_oω, con ω=4π rad/s

Su sentido es el de las agujas del reloj (-)

El momento angular final es cero

Principio de conservación del momento angular

mvd-I_oω=0, v=199 m/s

13.-Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior. Sobre el centro de la esfera inferior incide una bala de 50 g y 10 m/s de velocidad que queda alojada en el centro de la esfera. Calcular

Desplazamiento angular máximo del péndulo

Solución

El momento angular de la partícula es

$\vec{L} = \vec{r} \times m \vec{v}$

Su módulo es L =mvd=0.05·10·0.24·cos30

d es el brazo del momento lineal

Momento de inercia del sistema formado por el péndulo y la bala incrustada respecto de un eje que pasa por O

$I_{o} = (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.4}^{2} + 0.2 \cdot {0.12}^{2}) + \frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + (\frac{2}{5} 0.4 \cdot {0.04}^{2} + 0.4 \cdot {0.24}^{2}) + 0.05 \cdot {0.24}^{2} = 0.0322 {kgm}^{2}$

Principio de conservación del momento angular

mvd=I_oω=0, ω=3.225 rad/s

Posición del centro de masa respecto de O

$x_{c} = \frac{0.2 \cdot 0.12 + 0.4 \cdot 0.24 + 0.05 \cdot 0.24}{0.5 + 0.2 + 0.4 + 0.05} = 0.115 m$

Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del sistema formado por el péndulo y la bala se transforma en energía potencial de su c.m..

$1.15 \cdot 9.8 \cdot (x_{c} - x_{c} \cos θ) = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} θ = 29.5 º$

14.-Una varilla de masa M y longitud l se colca sobre una superficie lisa (sin rozamiento). Una partícula de masa m y velocidad v, choca con la varilla elásticamente a una distancia d de su centro. Si la partícula se detiene después del choque, calcular d.

Dato: El momento de inercia de la varilla de masa M y longitud l respecto de un eje perpendicular que pasa por el c.m. es Ml²/12

Solución

Sistema aislado formado por dos cuerpos que interaccionan, el momento lineal se conserva

$\begin{array}{l} \vec{F_{e x t}} = \frac{d \vec{P}}{d t} \\ \vec{F_{e x t}} = 0, \vec{P} = cte \\ m v = M v_{c m} \end{array}$

El momento de las fuerzas exteriores es cero y el momento angular respecto del c.m. se mantiene constante

$\begin{array}{l} \vec{M_{e x t}} = \frac{d \vec{L}}{d t} \\ \vec{M_{e x t}} = 0, \vec{L} = cte \\ m v d = I ω \end{array}$

Si el choque es elástico la energía se conserva

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{1}{2} M v_{c m}^{2}$

Despejamos d en el sistema de tres ecuaciones

$d = \frac{l}{2} \sqrt{\frac{1}{3} (\frac{M}{m} - 1)}$

16.-Una bala y un disco están en situados en un plano horizontal sin rozamiento. Se dispara una bala de m=0.5 kg con velocidad de u=1 m/s a lo largo de una dirección que dista x=0.3 m del centro de un disco en reposo de M=1.5 kg de masa y R=0.5 m de radio (figura de la izquierda). La bala se incrusta en el disco tal como se muestra en la figura de la derecha.

Determinar la posición h del centro de masa del conjunto, bala-disco.
Formular la ecuación que describe el principio de conservación del momento lineal del sistema aislado formado por la bala y el disco.
Formular la ecuación que describe el principio de conservación del momento angular del sistema respecto del centro de masas.
Despejar la velocidad del centro de masas V_c y la velocidad angular de rotación ω alrededor del c.m.
Determinar la energía perdida en la colisión

Solución

La bala y el disco constituyen un sistema aislado

$\begin{array}{l} \vec{F_{e x t}} = m \frac{d \vec{v_{c m}}}{d t} \vec{M_{e x t}} = \frac{d \vec{L}}{d t} \\ \vec{F_{e x t}} = 0 \vec{v_{c m}} = cte \\ \vec{M_{e x t}} = 0 \vec{L} = cte \end{array}$

La posición h del centro de masas del sistema formado por el disco y la bala medido desde el centro del disco es

$h = \frac{m}{M + m} x = \frac{0.5}{1.5 + 0.5} 0.3 = 0.075 m$

Principio de conservación del momento lineal

Si la masa de la bala es m y su velocidad es u y el disco de masa M está inicialmente en reposo.

mu=(M+m)V_c

Donde V_c=0.25 m/s es la velocidad del centro de masas que ahora no coincide con el centro del disco, sino que está situado a una distancia h de su centro

Principo de conservación del momento angular

El momento angular inicial es m(x-h)u

El momento angular final del sistema formado por el disco y la bala incrustada describiendo un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es

$(I_{o} + M h^{2} + m {(x - h)}^{2}) ω$

I_o+Mh² es el momento de inercia del disco respecto de un eje que pasa por el c.m. (teorema de Steiner), el otro término es el momento de inercia de la bala.

Igualando el momento angular inicial al final, despejamos la velocidad angular de rotación

$\begin{array}{l} m (x - h) u = (I_{o} + M h^{2} + m {(x - h)}^{2}) ω \\ ω = \frac{m x}{I_{o} (1 + \frac{m}{M}) + m x^{2}} u \end{array}$

La velocidad angular de rotación ω del sistema formado por el disco y la bala respecto de un eje que pasa por el c.m. vale

$\begin{array}{l} I_{o} = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} 1.5 \cdot {0.5}^{2} = 0.1875 {kgm}^{2} \\ ω = \frac{m x}{I_{o} (1 + \frac{m}{M}) + m x^{2}} u = \frac{0.5 \cdot 0.3}{0.1875 (1 + \frac{0.5}{1.5}) + 0.5 \cdot {0.3}^{2}} 1.0 = 0.508 rad/s \end{array}$

Balance energético de la colisión

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} m u^{2} + Q = \frac{1}{2} (M + m) V_{c}^{2} + \frac{1}{2} (I_{o} + M h^{2} + m {(x - h)}^{2}) ω^{2} \\ \frac{1}{2} 0.5 \cdot {1.0}^{2} + Q = \frac{1}{2} (1.5 + 0.5) \cdot {0.25}^{2} + \frac{1}{2} (0.187 + 1.5 \cdot {0.075}^{2} + 0.5 \cdot {0.225}^{2}) {0.508}^{2} \\ Q = - 0.159 J \end{array}$

16.-Sea un disco de masa M y radio R que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Un pequeño ratón de masa m camina por el borde del disco con velocidad constante v medida en el disco.

Calcular la velocidad angular ω de rotación del disco.

Solución

Sea O el centro del disco, P el punto donde se encuentra el ratoncito y c.m. la posición del centro de masas del sistema. Las fuerzas que actúan (peso y reacción) son perpendiculares al plano horizontal y son iguales y opuestas. Por tanto, el c.m. que inicialmente estaba en reposo, sigue sin moverse, y el momento angular respecto del c.m. es constante

$\begin{array}{l} \vec{F_{e x t}} = m \frac{d \vec{v_{c m}}}{d t} \vec{M_{e x t}} = \frac{d \vec{L}}{d t} \\ \vec{F_{e x t}} = 0 \vec{v_{c m}} = cte \\ \vec{M_{e x t}} = 0 \vec{L} = cte \end{array}$

Calculamos la posición del centro de masas del sistema. Denominamos x a la distancia entre el centro del masas y el centro del disco y situamos el origen en el centro de masas c.m., se cumple que

-Mx+m(R-x)=0, x=mR/(m+M)

Si v es la velocidad del ratoncito respecto del disco, v+ω(R-x) será su velocidad respecto al observador inercial. El momento angular del ratoncito respecto al c.m. es

$m (R - x) (v + ω (R - x)) = m \frac{M R}{m + M} (v + \frac{M R}{m + M} ω)$

El momento angular del disco respecto a un eje perpendicular que pasa por el c.m. es

$(\frac{1}{2} M R^{2} + M x^{2}) ω = (\frac{1}{2} M R^{2} + M \frac{m^{2} R^{2}}{{(m + M)}^{2}}) ω$

La suma de ambos momentos angulares deberá ser igual al momento angular inicial que es cero. Despejamos la velocidad angular ω

$\begin{array}{l} m \frac{M R}{m + M} (v + \frac{M R}{m + M} ω) + (\frac{1}{2} M R^{2} + M \frac{m^{2} R^{2}}{{(m + M)}^{2}}) ω = 0 \\ ω = - \frac{2 m}{3 m + M} \frac{v}{R} \end{array}$

La velocidad angular ω es de sentido contrario a v, a fin de que el momento angular total del sistema sea cero

17.-Una varilla de longitud l y masa m puede girar alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por su extremo O. Inicialmente está en posición horizontal tal como se muestra en la figura.

Se suelta y su extremo inferior choca con un cuerpo de masa m que puede deslizar sobre un plano horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento es μ_k

Calcular la velocidad angular ω de la varilla inmediatamente antes del choque
La velocidad v₀ del bloque inmediatamente después del choque, sabiendo que se ha desplazado s a lo largo del plano horizontal hasta que se detiene
La velocidad angular ω₁ de la varilla inmediatamente después del choque
El desplazamiento angular θ₁ de la varilla después del choque
La energía perdida en la colisión

CHENG Tao，ZHAO Shi-hua，SONG Yan-qi，WANG Yun，YANG Ji-wang，ZHANG Fei. Discussion on an example of rigid body. College Physics. Volume 32, Issue 3, 20 March 2013

Solución

Aplicamos el principio de conservación de la energía al movimiento de caída de la varilla

La energía potencial del centro de masas se convierte en energía cinética de rotación. El centro de masa desciende una altura l/2.

$\begin{array}{l} m g \frac{l}{2} = \frac{1}{2} I_{o} ω^{2}, I_{O} = \frac{1}{12} m l^{2} + m {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{1}{3} m l^{2} \\ ω = \sqrt{\frac{3 g}{l}} \end{array}$

En la colisión entre la varilla y el cuerpo, aplicamos la conservación del momento angular (no tenemos en cuanta la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano, en el momento del choque). El momento angular respecto a O es

$\begin{array}{l} (\frac{1}{3} m l^{2}) ω = m v_{0} l + (\frac{1}{3} m l^{2}) ω_{1} \\ ω_{1} = \frac{l ω - 3 v_{0}}{l} \end{array}$

Después del choque, el cuerpo desliza a lo largo del plano horizontal

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: el peso, la reacción del plano horizontal y la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del cuerpo

${\begin{cases} N = m g \\ F_{r} = μ_{k} N \end{cases}$

Las ecuaciones del movimiento son

${\begin{cases} a = - \frac{F_{r}}{m} = - μ_{k} g \\ v = v_{0} + a t \\ s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} \end{cases}$

El cuerpo se detiene cuando se ha desplazado s

$\begin{array}{l} v = 0, t = \frac{v_{0}}{μ_{k} g} \\ s = \frac{1}{2} \frac{v_{0}^{2}}{μ_{k} g} \end{array}$

La velocidad del cuerpo inmediatamente después del choque es

$v_{0} = \sqrt{2 μ_{k} g s}$

La velocidad de la varilla inmediatamente después del choque es

$ω_{1} = \frac{\sqrt{3 g l} - 3 \sqrt{2 μ_{k} g s}}{l}$

Aplicamos el principio de conservación de la energía al movimiento de la varilla después del choque

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m l^{2}) ω_{1}^{2} = m g h, h = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos θ_{1} \\ h = \frac{1}{6} l^{2} \frac{ω_{1}^{2}}{g} = \frac{1}{6} l^{2} \frac{3 g l + 18 μ_{k} g s - 6 \sqrt{6 g^{2} μ_{k} s}}{g l^{2}} = \frac{l}{2} + 3 μ_{k} s - \sqrt{6 μ_{k} s} \end{array}$

La energía perdida en la colisión es

$\begin{array}{l} Δ E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m l^{2}) ω_{1}^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m l^{2}) ω^{2} \\ Δ E = \frac{1}{2} m (2 μ_{k} g s) + \frac{1}{6} m l^{2} {(\frac{\sqrt{3 g l} - 3 \sqrt{2 μ_{k} g s}}{l})}^{2} - \frac{1}{6} m l^{2} \frac{3 g}{l} \\ Δ E = m μ_{k} g s + m \frac{3 g l + 18 μ_{k} g s - 6 g \sqrt{6 μ_{k} l s}}{6} - \frac{1}{2} m g l \\ Δ E = m g (4 μ_{k} s - \sqrt{6 μ_{k} l s}) \end{array}$

En una colisión, ΔE≤0, Se tiene que cumplir que

$\begin{array}{l} 4 μ_{k} s \leq \sqrt{6 μ_{k} l s} \\ 8 μ_{k} s \leq 3 l \end{array}$