Dinámica de rotación

1.-Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento de M= -2·t Nm. Determinar

la aceleración angular en función del tiempo
la velocidad angular en función del tiempo
el ángulo girado en función del tiempo.
El momento angular inicial y en el instante t=18 s.
Representar el momento M en función del tiempo. Comprobar que el impulso angular $\int_{0}^{t} M \cdot d t$ (área) es igual a la variación de momento angular.
La velocidad, aceleración tangencial y normal de un punto de la periferia del disco en dicho instante. Representar estas magnitudes.

Solución

Momento de inercia

$I = \frac{1}{2} 100 \cdot {0.6}^{2} = 18 {kgm}^{2}$

Ecuación de la dinámica de rotación

I·α=M, α=-t/9 rad/s² la aceleración angular no es constante

Calculamos la velocidad angular ω y el desplazamiento angular θ.

$\begin{array}{l} ω - ω_{0} = \int_{t_{0}}^{t} α \cdot d t ω - 175 = \int_{0}^{t} (\frac{- t}{9}) \cdot d t ω = 175 - \frac{t^{2}}{18} rad/s \\ θ - θ_{0} = \int_{t_{0}}^{t} ω \cdot d t θ = \int_{0}^{t} (175 - \frac{t^{2}}{18}) \cdot d t θ = 175 t - \frac{t^{3}}{54} rad \end{array}$

Momento angular, L=Iω

t=0, ω=175, L=3150 kgm²/s

t=18, ω=157, L=2826 kgm²/s

Impulso angular

$L - L_{0} = \int_{t_{0}}^{t} M \cdot d t L - 3150 = \int_{0}^{t} (- 2 t) \cdot d t L = 3150 - t^{2} {kg·m}^{2} /s$

En el instante t=18 s, L=2826 kgm²/s

La representación del momento M en función del tiempo t es una recta. El ´rea del triángulo de la figura es

$\frac{- 18 \cdot 36}{2} = - 324$

que es el impulso angular, igual a la diferencia entre el momento angular final e inicial

Para t=18 s

Aceleración tangencial, a_t=α·R=(-18/9)·0.6=-1.2 m/s²
Aceleración normal, a_n=ω²·R=1572·0.6=14789.6 m/s²

En la figura, se representa la velocidad, tangente a la trayectoria circular, la aceleración tangencial de signo contrario a la velocidad, y la aceleración normal dirigida hacia el centro. Estas dos componentes de la aceleración no están dibujadas a escala.

2.-Un disco de masa 2 kg y radio 4 m, puede girar alrededor del eje Z (perpendicular al plano horizontal XY) cuando se le aplican las fuerzas que se indican en la figura. Calcular

la fuerza sobre el eje
La aceleración angular del disco. ¿En qué sentido gira?
La velocidad angular del disco y el ángulo girado al cabo de 30 s, si ha partido del reposo
Comprobar que el trabajo realizado por las fuerzas es igual a la energía cinética en dicho instante.

Dato: Fórmula del momento de inercia del disco I=mr²/2

Solución

Fuerza sobre el eje, la resultante de las fuerzas que aplicamos al disco

$\begin{array}{l} {\begin{cases} \vec{F_{1}} = - 6 \sin 60 \cdot \hat{i} + 6 \cos 60 \cdot \hat{j} \\ \vec{F_{2}} = 5 \cos 50 \cdot \hat{i} + 5 \sin 50 \cdot \hat{j} \\ \vec{F_{3}} = 4 \cos 30 \cdot \hat{i} - 4 \sin 30 \cdot \hat{j} \end{cases} \\ \begin{array}{l} \vec{R} = 1.48 \hat{i} + 4.83 \hat{j} N \end{array} \end{array}$

Momentos respecto del eje de rotación

$\begin{array}{l} \tan φ = \frac{1}{3} d = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} \cos (60 + φ) = 0.63 \\ \vec{M_{1}} {\begin{cases} Módulo : 6 d \\ Dirección: eje Z \\ Sentido : - \end{cases}} = - 3.8 \hat{k} N·m \\ \vec{M_{2}} = 0 \\ \begin{array}{l} d = 2 \sqrt{2} \sin 15 = 0.73 \\ \vec{M_{3}} {\begin{cases} Módulo : 4 d \\ Dirección: eje Z \\ Sentido : + \end{cases}} = 2.93 \hat{k} N·m \end{array} \\ \vec{M} = \vec{M_{1}} + \vec{M_{2}} + \vec{M_{3}} = - 0.876 \hat{k} N·m \end{array}$

Momento de inercia I=16 kg·m²

La aceleración angular es α=M/I=0.055 rad/s², sentido de las agujas del reloj

Velocidad angular de rotación, ω=α·t=1.64 rad/s

Ángulo girado

$θ = \frac{1}{2} α t^{2} = 24.63 rad$

Trabajo en el movimiento de rotación, W=M·θ=21.56 J. Variación de la energía cinética de rotación

$\frac{1}{2} I ω^{2} = 21.52 J$

3.-Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable.

¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?
¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?
¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?.Calcular el trabajo realizado durante 10 s

Solución

4.-El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar:

La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo.
La velocidad angular de la polea en ese instante.
Las tensiones de la cuerda.
El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.

(Resolver el problema por dinámica y aplicando el balance energético)

Solución

Escribimos las ecuaciones del movimiento

Del movimiento cada uno de los bloques
Del movimiento de rotación del disco

$\begin{array}{l} 30 \cdot 9.8 - T_{1} = 30 \cdot a \\ T_{2} - 20 \cdot 9.8 = 20 \cdot a \\ T_{1} \cdot 0.1 - T_{2} \cdot 0.1 = (\frac{1}{2} 5 \cdot {0.1}^{2}) α \end{array}$

La relación entre la aceleración de los bloques a y la aceleración angular α del disco es

a=α·0.1

Resolviendo el sistema de ecuaciones, a=1.87 m/s²

Si el bloque de 30 kg cae 2 m partiendo del reposo.

$\begin{array}{l} 2 = \frac{1}{2} a t^{2} \\ v = a \cdot t \end{array}} v = 2.73 m/s$

Balance energético

En la figura se compara la situación inicial y la final y aplicamos el principio de conservación de la energía

$30 \cdot 9.8 \cdot 2 = 20 \cdot 9.8 \cdot 2 + \frac{1}{2} 20 v^{2} + \frac{1}{2} 30 v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 5 \cdot {0.1}^{2}) ω^{2}$

Relacionamos la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω del disco, v=ω·0.1

El resultado es v=2.73 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

5.-Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg que está unido mediante una cuerda, que pasa a través de una polea de 15 kg a otro cuerpo de 200 kg. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el plano horizontal vale 0.1, calcular.

La aceleración de los cuerpos
Las tensiones de la cuerda
La velocidad de los cuerpos sabiendo que el de 200 kg ha descendido 2 m partiendo del reposo. (emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado)

Solución

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los tres cuerpos

$\begin{array}{l} 200 \cdot 9.8 - T_{2} = 200 a \\ T_{2} R - T_{1} R = (\frac{1}{2} 15 R^{2}) α \\ {\begin{cases} N = 50 \cdot 9.8 \\ F_{r} = 0.1 \cdot N \\ T_{1} - F_{r} = 50 a \end{cases} \end{array}$

Relación entre la aceleración a de los bloques y la aceleración angular α del disco

a=α·R

El sistema de ecuaciones se reduce a

$\begin{array}{l} 1960 - T_{2} = 200 a \\ T_{2} - T_{1} = 7.5 a \\ T_{1} - 49 = 50 a \end{array}} a = 7.42 {m/s}^{2}$

Si el cuerpo de 200 kg desciende 2 m partiendo del reposo

$\begin{array}{l} 2 = \frac{1}{2} a t^{2} \\ v = a t \end{array}} v = 5.45 m/s$

Balance energético

Trabajo de la fuerza de rozamiento

W=-F_r·2=-49·2=-98 J

$W = \frac{1}{2} 50 v^{2} + \frac{1}{2} 200 v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 15 R^{2}) ω^{2} - 200 \cdot 9.8 \cdot 2$

Relación entre la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω del disco

v=ω·R

El resultado es v=5.45 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

6.-Dos cuerpos de 3 y 2 kg están unidos por una cuerda que pasa por una polea en forma de disco (I=MR²/2) de 0.5 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre un plano horizontal y otro inclinado 60º. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los planos inclinados son 0.1 y 0.3 respectivamente. Calcular:

La aceleración del sistema
Las tensiones de la cuerda

La velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos inclinados respectivos, partiendo del reposo. Emplear dos procedimientos de cálculo (cinemática y balance energético) para este apartado, comprobando que se obtienen los mismos resultados

Solución

Movimiento del cuerpo 1

$\begin{array}{l} N = 2 \cdot 9.8 \cdot \cos 60 \\ F_{r} = 0.3 \cdot N \\ 2 \cdot 9.8 \cdot \sin 60 - T_{1} - F_{r} = 2 a \end{array}$

Movimiento del cuerpo 2

$\begin{array}{l} N' = 3 \cdot 9.8 \\ F'_{r} = 0.1 \cdot N' \\ T_{2} - F'_{r} = 3 a \end{array}$

Movimiento de la polea

$T_{1} 0.2 - T_{2} 0.2 = \frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.2}^{2} α$

Relación entre aceleraciones: la aceleración a de los bloques es la aceleración tangencial de un punto del borde del disco que es igual a la aceleración angular por el radio, a=α·0.2
Las ecuaciones a resolver son las siguientes:

$\begin{array}{l} 14.034 - T_{1} = 2 a \\ T_{2} - 2.94 = 3 a \\ T_{1} - T_{2} = 0.25 a \end{array}$

La aceleración vale a=2.1132 m/s²

Cuando los bloques se desplazan 5 m partiendo del reposo, la velocidad que adquieren es

$\begin{array}{l} 5 = \frac{1}{2} a t^{2} \\ v = a t \end{array}} v = 4.597 m/s$

Balance energético

Trabajo de las fuerzas de rozamiento

W=F_r·5+F’_r·5=14.7+14.7=29.4 J

Energía cinética que adquieren los cuerpos: dos bloques y un disco.

$\frac{1}{2} 2 v^{2} + \frac{1}{2} 3 v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.2}^{2}) ω^{2} = \frac{1}{2} 2 v^{2} + \frac{1}{2} 3 v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.2}^{2}) {(\frac{v}{0.2})}^{2} = 2.625 v^{2}$

Cambio de energía potencial del bloque de 2 kg, el otro bloque no cambia de altura

2·9.8·h=2·9.8·5·sin60

Balance energético: 2·9.8·5·sin60-29.4=2.625v²

v=4.597 m/s

7.-Una esfera hueca de masa M=6 kg y radio R=8 cm puede rotar alrededor de un eje vertical.

Una cuerda sin masa está enrollada alrededor del plano ecuatorial de la esfera, pasa por una polea de momento de inercia I=3·10^-3 kg·m² y radio r=5 cm y está atada al final a un bloque de masa m=0.6 kg. No hay fricción en el eje de la polea y la cuerda no resbala.

¿Cuál es la velocidad del bloque cuando ha descendido 80 cm?

Resolverlo dinámica y por balance energético. I (esfera hueca)=2/3 MR²

Solución

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos

$\begin{array}{l} T_{1} \cdot 0.08 = (\frac{2}{3} 6 \cdot {0.08}^{2}) α_{2} \\ T_{2} \cdot 0.05 - T_{1} \cdot 0.05 = 3 \cdot 10^{- 3} α_{1} \\ 0.6 \cdot 9.8 - T_{2} = 0.6 \cdot a \end{array}$

Relación entre la aceleración a del bloque y las aceleraciones angulares de la esfera y de la polea

a=α₁·0.05= α₂·0.08

Resolviendo el sistema de ecuaciones, a=1.013 m/s²

Si el cuerpo de 0.6 kg desciende 0.8 m partiendo del reposo

$\begin{array}{l} 0.8 = \frac{1}{2} a t^{2} \\ v = a t \end{array}} v = 1.273 m/s$

Balance energético

Principio de conservación de la energía

$0.6 \cdot 9.8 \cdot 0.8 = \frac{1}{2} 0.6 \cdot v^{2} + \frac{1}{2} 3 \cdot 10^{- 3} ω_{1}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 6 \cdot {0.08}^{2}) ω_{2}^{2}$

Relación entre la velocidad v del bloque y las velocidades angulares de la esfera y de la polea

v=ω₁·0.05= ω₂·0.08

El resultado es v=1.273 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

8.-Dos cuerpos de 3 y 5 kg están unidos por una cuerda que pasa por una polea en forma de disco de 2 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre planos inclinados de 30º y 45º. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los planos inclinados son 0.3 y 0.1 respectivamente. Calcular:

La aceleración del sistema,
Las tensiones de la cuerda,
La velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos inclinados respectivos, partiendo del reposo. (Emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado, comprobando que se obtienen los mismos resultados).

Solución

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos

$\begin{array}{l} {\begin{cases} N_{2} = 3 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ F_{2} = μ_{2} N_{2} = 0.3 \cdot 3 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ T_{2} - F_{2} - 3 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 = 3 a \end{cases} \\ {\begin{cases} N_{1} = 5 \cdot 9.8 \cdot \cos 45 \\ F_{1} = μ_{1} N_{1} = 0.1 \cdot 5 \cdot 9.8 \cdot \cos 45 \\ 5 \cdot 9.8 \cdot \sin 45 - T_{1} - F_{1} = 5 a \end{cases} \\ T_{1} r - T_{2} r = (\frac{1}{2} 2 r^{2}) α \end{array}$

Relación entre la aceleración a de los bloques y la aceleración angular α de la polea

a=α·r

El sistema de ecuaciones se reduce a

$\begin{array}{l} 31.18 - T_{1} = 5 a \\ T_{2} - 22.34 = 3 a \\ T_{1} - T_{2} = a \end{array}} a = 0.983 {m/s}^{2}$

Si el cuerpo de 5 kg desliza 5 m partiendo del reposo

$\begin{array}{l} 5 = \frac{1}{2} a t^{2} \\ v = a t \end{array}} v = 3.13 m/s$

Balance energético

Trabajo de la fuerzas de rozamiento

W=-F₁·5-F₂·5=-55.52 J

$W = \frac{1}{2} 3 v^{2} + \frac{1}{2} 5 v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 2 r^{2}) ω^{2} + 3 \cdot 9.8 \cdot 5 \cdot \sin 30 - 5 \cdot 9.8 \cdot 5 \cdot \sin 45$

Relación entre la velocidad v de los bloques y la velocidad angular ω de la polea

v=ω·r

El resultado es v=3.13 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

9.-Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace girar mediante una cuerda que pasa a través de una polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De la cuerda cuelga un bloque de 3 kg, tal como se muestra en la figura. El disco gira alrededor de un eje vertical en cuyo extremo hay una varilla de 0.75 kg masa y de 20 cm de longitud perpendicular al eje y en cuyos extremos se han fijado dos esferas iguales de 2 kg de masa y 5 cm de radio. Se suelta el bloque y el dispositivo comienza a girar. Calcular:

El momento de inercia del dispositivo.
La aceleración del bloque.
La velocidad del bloque cuando ha descendido 2 m partiendo del reposo (resolver este apartado por energías).

Solución

Momento de inercia del dispositivo

$I = \frac{1}{2} 0.2 \cdot {0.1}^{2} + \frac{1}{12} 0.75 \cdot {0.2}^{2} + 2 (\frac{2}{5} 2 \cdot {0.05}^{2} + 2 \cdot {0.1}^{2}) = 0.0475 {kg·m}^{2}$

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos

$\begin{array}{l} T_{2} \cdot 0.1 = I α_{2} \\ T_{1} \cdot 0.07 - T_{2} \cdot 0.07 = (\frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.07}^{2}) α_{1} \\ 3 \cdot 9.8 - T_{1} = 3 \cdot a \end{array}$

Relación entre la aceleración a del bloque y las aceleraciones angulares del disco y de la polea

a=α₁·0.07= α₂·0.1

El sistema de ecuaciones se reduce a

$\begin{array}{l} T_{2} = 4.75 a \\ T_{1} - T_{2} = 0.25 a \\ 29.4 - T_{1} = 3 a \end{array}} a = 3.675 {m/s}^{2}$

Si el cuerpo de 3 kg desciende 2 m partiendo del reposo

$\begin{array}{l} 2 = \frac{1}{2} a t^{2} \\ v = a t \end{array}} v = 3.83 m/s$

Balance energético

Principio de conservación de la energía

$3 \cdot 9.8 \cdot 2 = \frac{1}{2} 3 \cdot v^{2} + \frac{1}{2} I ω_{2}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.07}^{2}) ω_{1}^{2}$

Relación entre la velocidad v del bloque y las velocidades angulares del disco y de la polea

v=ω₁·0.07= ω₂·0.1

El resultado es v=3.83 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

10.-El sistema de la figura consta de una polea formada por dos discos coaxiales soldados de masas 550 y 300 g y radios 8 y 6 cm, respectivamente.

Dos masas de 600 y 500 g cuelgan del borde de cada disco. Calcular:

¿En qué sentido gira?
La tensión de cada cuerda
La aceleración de cada masa
La velocidad de cada cuerpo cuando uno de ellos (¿cuál?) haya descendido 3 m partiendo del reposo (emplea dos procedimientos de cálculo).

Solución

Como 0.5·9.8·0.06>0.6·9.8·0.06, gira en el sentido de las agujas del reloj.

Momento de inercia de los discos soldados

$I = \frac{1}{2} 0.55 \cdot {0.08}^{2} + \frac{1}{2} 0.3 \cdot {0.06}^{2} = 0.0023 {kg·m}^{2}$

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos

$\begin{array}{l} 0.5 \cdot 9.8 - T_{2} = 0.5 \cdot a_{2} \\ T_{2} \cdot 0.08 - T_{1} \cdot 0.06 = I α \\ T_{1} - 0.6 \cdot 9.8 = 0.6 \cdot a_{1} \end{array}$

Relación entre las aceleraciones de los bloques y la aceleración angular de los discos a₁=α·0.06

a₂= α·0.08

Resolvemos el sistema de ecuaciones, α=5.12 rad/s², a₁=0.307 m/s², a₂=0.409 m/s²

Balance energético

Si el cuerpo de 0.5 kg desciende 3 m partiendo del reposo

$\begin{array}{l} 3 = \frac{1}{2} a_{2} t^{2} \\ v_{2} = a_{2} t \end{array}} v_{2} = 1.567 m/s$

Cuando el cuerpo de 0.5 kg desciende h₂=3 m el cuerpo de 0.6 kg asciende h₁

$θ = \frac{h_{1}}{0.06} = \frac{h_{2}}{0.08} h_{1} = 2.25 m$

Conservación de la energía

$0.5 \cdot 9.8 \cdot 3 = \frac{1}{2} 0.5 \cdot v_{2}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{1}{2} 0.6 \cdot v_{1}^{2}$

Relación entre las velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v₁=ω·0.06

v₂= ω·0.08

El resultado es v₂=1.567 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

11.-Sobre un plano horizontal y que presenta una resistencia al deslizamiento de coeficiente μ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido a una cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por un disco 5 kg y 0.3 m de radio que tiene una hendidura de 0.1 m tal como se ve en la figura. De la cuerda enrollada en la hendidura pende un bloque de 10 kg de peso. Calcular:

Las tensiones de las cuerdas
La aceleración de cada cuerpo
El bloque de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo, calcular la velocidad de cada uno de los bloques (resolver este apartado relacionado trabajos y energías).

Solución

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos

$\begin{array}{l} {\begin{cases} T_{1} - F_{r} = 3 a_{1} \\ N = 3 \cdot 9.8 \\ F_{r} = 0.2 \cdot N = 5.88 \end{cases} \\ T_{2} \cdot 0.1 - T_{1} \cdot 0.3 = (\frac{1}{2} 5 \cdot {0.3}^{2}) α \\ 10 \cdot 9.8 - T_{2} = 10 \cdot a_{2} \end{array}$

Relación entre las aceleraciones de los bloques y la aceleración angular de los discos a₁=α·0.3

a₂= α·0.1

Resolvemos el sistema de ecuaciones, α=13.51 rad/s², a₁=4.05 m/s², a₂=1.35 m/s²

Si el cuerpo de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo

$\begin{array}{l} 2 = \frac{1}{2} a_{2} t^{2} \\ v_{2} = a_{2} t \end{array}} v_{2} = 2.32 m/s$

Balance energético

Cuando el cuerpo de 10 kg desciende x₂=2 m el cuerpo de 3 kg se desplaza x₁

$θ = \frac{x_{1}}{0.3} = \frac{x_{2}}{0.1} x_{1} = 6 m$

Trabajo de la fuerza de rozamiento

W=-F_r·x₁=-5.88·6=-35.28 J

Balance energético

$W = \frac{1}{2} 10 \cdot v_{2}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{1}{2} 3 \cdot v_{1}^{2} - 10 \cdot 9.8 \cdot 2$

Relación entre las velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v₁=ω·0.3

v₂= ω·0.1

El resultado es ω=23.24 rad/s, v₁=6.97 m/s, v₂=2.32 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

12.-Sobre un plano inclinado 30º y que ofrece una resistencia al deslizamiento de coeficiente μ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido a una cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por dos discos acoplados de 1 kg y 0.5 kg y de radios 0.3 m y 0.1 m respectivamente. De la cuerda enrollada al disco pequeño pende un bloque de 10 kg de peso. Calcular:

Las tensiones de las cuerdas
La aceleración de cada cuerpo
La velocidad de cada cuerpo si el bloque de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos distintos para este apartado).

Solución

Momento de inercia de los discos soldados

$I = \frac{1}{2} 1 \cdot {0.3}^{2} + \frac{1}{2} 0.5 \cdot {0.1}^{2} = 0.0475 {kg·m}^{2}$

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos

$\begin{array}{l} {\begin{cases} T_{1} - F_{r} - 3 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 = 3 a_{1} \\ N = 3 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ F_{r} = 0.2 \cdot N \end{cases} \\ T_{2} \cdot 0.1 - T_{1} \cdot 0.3 = I α \\ 10 \cdot 9.8 - T_{2} = 10 \cdot a_{2} \end{array}$

Relación entre las aceleraciones de los bloques y la aceleración angular de los discos a₁=α·0.3

a₂= α·0.1

Resolvemos el sistema de ecuaciones: α=9.25 rad/s², a₁=2.77 m/s², a₂=0.92 m/s²

Si el cuerpo de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo

$\begin{array}{l} 2 = \frac{1}{2} a_{2} t^{2} \\ v_{2} = a_{2} t \end{array}} v_{2} = 1.92 m/s$

Balance energético

Cuando el cuerpo de 10 kg desciende x₂=2 m el cuerpo de 3 kg se desplaza x₁

$θ = \frac{x_{1}}{0.3} = \frac{x_{2}}{0.1} x_{1} = 6 m$

Trabajo de la fuerza de rozamiento

W=-F_r·x₁=-0.2·3·9.8·cos30·6=-30.55 J

$W = \frac{1}{2} 10 \cdot v_{2}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{1}{2} 3 \cdot v_{1}^{2} + 3 \cdot 9.8 \cdot 6 \cdot \sin 30 - 10 \cdot 9.8 \cdot 2$

Relación entre las velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v₁=ω·0.3

v₂= ω·0.1

El resultado es ω=19.24 rad/s, v₁=5.77 m/s, v₂=1.92 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

13.-Dos cuerpos de 3 y 5 kg están unidos a una polea en forma de disco de m=2 kg de masa y R=20 cm de radio que tiene una hendidura de 10 cm de radio (de masa despreciable), tal como se muestra en la figura. Ambos deslizan sobre planos inclinados de 30° y 60°. Los coeficientes cinéticos entre los cuerpos y los planos inclinados son 0.3 y 0.1 respectivamente.

Calcular las aceleraciones de los bloques.
Calcular la velocidad de cada uno de los bloques, cuando el bloque de 5 kg se desplaza 3 m a lo largo del plano inclinado 60°, partiendo del reposo. Utilizar el procedimiento de balance de energía.

(Tómese g=9.8 m/s², Momento de inercia del disco, mR²/2)

Solución

Relación entre aceleraciones: a₁=α·0.1, a₂=α·0.2

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} T_{1} - 3 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 - F_{1} = 3 a_{1} \\ N_{1} = 3 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ F_{1} = 0.3 \cdot N_{1} \end{array}} T_{1} - 22.34 = 0.3 α \\ \begin{array}{l} 5 \cdot 9.8 \cdot \sin 60 - T_{2} - F_{2} = 5 a_{2} \\ N_{2} = 5 \cdot 9.8 \cdot \cos 60 \\ F_{2} = 0.1 \cdot N_{2} \end{array}} 39.98 - T_{2} = α \\ T_{2} \cdot 0.2 - T_{1} \cdot 0.1 = (\frac{1}{2} 2 \cdot {0.2}^{2}) α} T_{2} \cdot 0.2 - T_{1} \cdot 0.1 = 0.04 α \\ α = 21.34 {rad/s}^{2} a_{1} = 2.13 {m/s}^{2} a_{2} = 4.27 {m/s}^{2} \end{array}$

Cuando el bloque de 5kg se desplaza hacia abajo 3 m, el bloque de 3 kg se desplaza hacia arriba 1.5 m.

$θ = \frac{3}{0.2} = \frac{x_{1}}{0.1} x_{1} = 1.5 m$

Las velocidades de los bloques y la velocidad angular de la polea están relacionadas;v₁=ω·0.1, v₂=ω·0.2

Inicialmente los bloques y la polea parten del reposo. El bloque de 5 kg, disminuye su energía potencial en 5·9.8·sin60=127.31 y aumenta su energía cinética en

$\frac{1}{2} 5 v_{2}^{2} = \frac{1}{2} 5 {(ω \cdot 0.2)}^{2} = 0.1 ω^{2}$

El bloque de 3 kg aumenta su energía potencial en 3·9.8·1.5·sin30=22.05 y su energía cinética en

$\frac{1}{2} 3 v_{1}^{2} = \frac{1}{2} 3 {(ω \cdot 0.1)}^{2} = 0.015 ω^{2}$

El disco incrementa su energía cinética de rotación

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} 2 \cdot {0.2}^{2}) ω^{2} = 0.02 ω^{2}$

Debido al rozamiento entre los bloques y los planos se pierde energía entre la situación inicial y final. El primer bloque se desplaza 1.5 m y el segundo 3 m.

W=-F₁·1.5-F₂·3=-7.64·3-2.45·1.5=-18.81

Balance energético

-18.81=(0.1ω²+0.015ω²+0.02ω²+22.05)-127.31

ω=25.31 rad/s, v₂= ω·0.2=5.06 m/s

Comprobación. La aceleración del bloque de 5 kg es a₂=4.27 m/s². Cuando se desplaza 3 m partiendo del reposo su velocidad v₂ es

$\begin{array}{l} v_{2} = a_{2} t \\ x_{2} = \frac{1}{2} a_{2} t^{2} \end{array}} v_{2} = \sqrt{2 a_{2} x_{2}} = 5.06 m/s$

14.- Sea un disco de masa M=2 kg y radio R=20 cm, (momento de inercia I=MR²/2) el borde del disco está unido mediante una cuerda a un bloque de masa m=5 kg, que desliza sobre un plano inclinado de 30°. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es μ=0.2.

El disco tiene un eje (de masa despreciable) sobre el que actúa una zapata que ejerce una fuerza de frenado cuyo momento es 1.2 N·m.

Calcula la aceleración del bloque
Calcula la velocidad del bloque cuando se ha desplazado 2 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo, utilizando el trabajo y la energía.

Solución

El bloque se desplaza con aceleración a, a lo largo del plano inclinado. El disco gira con aceleración angular α. La aceleración a es la misma que la aceleración tangencial de un punto del borde del disco, a=0.2α

Las ecuaciones del movimiento del bloque y del disco son

$\begin{array}{l} {\begin{cases} 5 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 - T - F_{r} = 5 a \\ N = 5 \cdot 9.8 \cdot \cos 30 \\ F_{r} = 0.2 N \end{cases} \\ T \cdot 0.2 - 1.2 = (\frac{1}{2} 2 \cdot {0.2}^{2}) α \end{array}$

Despejamos la aceleración a del sistema de dos ecuaciones

${\begin{cases} 5 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 - T - 0.2 \cdot 5 \cdot 9.8 \cdot \cos 30_{r} = 5 a \\ T \cdot 0.2 - 1.2 = (\frac{1}{2} 2 \cdot {0.2}^{2}) \frac{a}{0.2} \end{cases}$

El bloque se desplaza 2 m a lo largo del plano inclinado, con aceleración, a=1.67 m/s²

$\begin{array}{l} v = a t \\ 2 = \frac{1}{2} a t^{2} \end{array}} v = 2.58 m/s$

Balance energético

El bloque se desplaza 2 m a lo largo del plano inclinado, su energía potencial disminuye 5·9.8·2·sin30=49 J, y su energía cinética aumenta en 5·v²/2.
El disco gira con velocidad angular ω, su energía cinética aumenta en $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} 2 \cdot {0.2}^{2}) ω^{2} = 0.02 ω^{2}$
El trabajo de la fuerza de rozamiento F_r que se desplaza, 2 m es W₁=-(0.2·5·9.8·cos30)·2=-16.974 J
El trabajo de la fuerza de frenado, cuyo momento es M_r=1.2, y el ángulo girado es θ=2/0.2, es W₂=-M_rθ=-1.2·10=-12 J
Teniendo en cuenta la relación entre velocidad del bloque v y la angular del disco, ω=v/0.2, el balance energético se escribe

2.5v²+0.02(v/0.2)²=49-16.974-12

v=2.58 m/s

15.- Un cilindro hueco de masa m y radio R (momento de inercia mR²) gira en el sentido de las agujas del reloj. Está colocado en una esquina tal como se muestra en la figura.

Entre el suelo y el cilindro y entre la pared y el cilindro hay rozamiento, el coeficiente cinético μ es el mismo. Calcular la aceleración angular (negativa) de rotación del cilindro.

Physics Challenges for Teachers and Students. The Spin Doctor. The Physics Teacher. Vol. 39, November 2001. pp. 510

Solución

En la figura se dibujan las fuerzas sobre el cilindro en rotación, en el sentido indicado por la flecha

N₂ y N₁ son las reacciones (fuerzas que ejercen el plano horizontal y vertical) sobre el cilindro.

Las fuerzas de rozamiento en el punto de contacto del cilindro con el suelo y con la pared vertical, valen F₁=μ·N₁, F₂=μ·N₂, de sentido contrario a la velocidad

El equilibrio en la dirección horizontal y vertical

$\begin{array}{l} {\begin{cases} F_{2} = N_{1} \\ N_{2} + F_{1} = m g \end{cases} \\ {\begin{cases} μ N_{2} = N_{1} \\ N_{2} + μ N_{1} = m g \end{cases} \\ N_{2} = \frac{1}{μ^{2} + 1} m g, N_{1} = \frac{μ}{μ^{2} + 1} m g \end{array}$

La ecuación de la dinámica de rotación

$\begin{array}{l} I \cdot α = - F_{2} R - F_{1} R \\ (m R^{2}) α = - μ N_{2} R - μ N_{1} R \\ α = - \frac{g}{R} \frac{μ^{2} + μ}{μ^{2} + 1} \end{array}$

16.- Una varilla uniforme de longitud 4l y de masa m puede girar libremente alrededor de un eje horizontal que pasa por O, que dista l de un extremo. Cuando la varilla está en posición horizontal su velocidad angular es ω. Calcular

La aceleración del centro de masa en ese instante
Las componentes de la fuerza, F_x y F_y, en el eje O de la varilla en dicho instante
La velocidad angular ω₁ de la varilla cuando se mueve a la posición vertical
Las componentes de la fuerza, F_x y F_y, en el eje O de la varilla en dicho instante
la velocidad angular mínima que hemos de proporcionar a la varilla para que se mueva a la posición vertical con el c.m. hacia arriba

Indian National Physics Olympiad. Homi Bhabha Centre for Science Eduaction. Solved papers NSEP & INPhO, 2016-2018, Ejemplo 25, enunciado, 166, solución, 181-182

Solución

Momento de inercia de la varilla respecto de O. Aplicando el teorema de Steiner

$I_{O} = \frac{1}{12} m {(4 l)}^{2} + m l^{2} = \frac{7}{3} m l^{2}$

Ecuación de la dinámica de rotación

$\begin{array}{l} m g l = I_{O} α \\ α = \frac{3}{7} \frac{g}{l} \end{array}$

La aceleración del centro de masas es a_c=α·l=3g/7

Fuerza sobre la varilla en el eje de rotación

El centro de masas de la varilla describe un movimiento circular de radio l. Por tanto, la aceleración del c.m. tiene dos componentes:

la aceleración tangencial, a_t=a_c
la aceleración normal, a_n

$\begin{array}{l} a_{t} = α l = \frac{3}{7} g \\ a_{n} = ω^{2} l \end{array}$

Las ecuaciones del movimiento en la dirección tangencial y en la normal, son

$\begin{array}{l} {\begin{cases} m g - F_{y} = m a_{t} \\ F_{x} = m a_{n} \end{cases} \\ F_{x} = m ω^{2} l \\ F_{y} = m g - m \frac{3}{7} g = \frac{4}{7} m g \end{array}$

Conservación de la energía, calculamos la velocidad angular de la varilla cuando se mueve a la posición vertical. Tomamos el nivel cero de energía potencial en el punto O

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} I_{O} ω_{1}^{2} - m g l = \frac{1}{2} I_{O} ω^{2} \\ ω_{1}^{2} = ω^{2} + \frac{6}{7} \frac{g}{l} \end{array}$

Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme para calcular la fuerza F_y en el eje de rotación

$\begin{array}{l} F_{y} - m g = m ω_{1}^{2} l \\ F_{y} = m g + m (ω^{2} + \frac{6}{7} \frac{g}{l}) l = \frac{13}{7} m g + m ω^{2} l \end{array}$

La velocidad angular mínima para que la varilla se mueva a la posición vertical invertida con el c.m. hacia arriba, es

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} I_{O} ω_{2}^{2} = m g l \\ ω_{2}^{2} = \frac{6}{7} \frac{g}{l} \end{array}$