Conservación de la energía

1.-El péndulo de un reloj está formado por una varilla de 500 g y 40 cm de longitud y una lenteja de forma esférica de 200 g de masa y 5 cm de radio, tal como se indica en la figura. El punto de suspensión O está a 10 cm del extremo de la varilla. Calcular:

La distancia al centro de masas medida desde O.
El momento de inercia respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por O.
El péndulo se desvía 60º de la posición de equilibrio. Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio.

Solución

Posición del centro de masas

$b = \frac{0.5 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.35}{0.5 + 0.2} = 0.17 m$

Momento de inercia respecto de un eje que pasa por O.

$I = (\frac{1}{12} 0.5 \cdot {0.4}^{2} + 0.5 \cdot {0.1}^{2}) + (\frac{2}{5} 0.2 \cdot {0.05}^{2} + 0.2 \cdot {0.35}^{2}) = 0.036 {kg·m}^{2}$

Principio de conservación de la energía

$0.7 \cdot 9.8 \cdot (b - b \cos 60) = \frac{1}{2} I ω^{2} ω = 5.69 rad/s$

2.-Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de una de las esferas, y es desviado 65º de la posición de equilibrio estable.

Determinar la velocidad angular del péndulo cuando, una vez soltado, retorna a la posición de equilibrio estable

Solución

Posición del centro de masas respecto de O.

Por simetría b=0.12

Momento de inercia respecto de un eje que pasa por O.

$\begin{array}{l} I = \frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.4}^{2} + 0.2 \cdot {0.12}^{2}) + (\frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + 0.5 \cdot {0.24}^{2}) \\ = 0.0353 {kg·m}^{2} \end{array}$

Principio de conservación de la energía

$1.2 \cdot 9.8 \cdot (b - b \cos 65) = \frac{1}{2} I ω^{2} ω = 6.79 rad/s$

3.-Un sólido está formado por tres barras iguales de longitud L=2 m y de masa M=20 kg en forma de triángulo equilátero, tal como se muestra en la figura.

Hallar la posición de su centro de masa.
El sistema puede girar alrededor de un eje perpendicular al plano que las contiene y que pasa por O. Calcular la aceleración angular del sistema en el instante inicial. La velocidad angular de la barra cuando ha girado hasta que se encuentra en la posición horizontal.

Solución

Posición del centro de masas

Por simetría x_c=0

$y_{c} = \frac{20 (L / 2) \cdot \sin 60 + 20 (L / 2) \cdot \sin 60 + 20 \cdot 0}{20 + 20 + 20} = \frac{\sqrt{3}}{3} m$

El c.m. es el punto de intersección de las medianas

$y_{c} = \frac{L}{2} \tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pasa por O.

$\begin{array}{l} I = 2 (\frac{1}{12} 20 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 1^{2}) + (\frac{1}{12} 20 \cdot 2^{2} + 20 \cdot h^{2}) = 120 {kg·m}^{2} \\ h = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} \end{array}$

Momento del peso=momento de inercia×aceleración angular

$\begin{array}{l} m g d = I α 60 \cdot 9.8 \cdot (h - y_{c}) = 120 α \\ 60 \cdot 9.8 \cdot (\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 120 α α = 5.66 rad/s \end{array}$

Conservación de la energía

$m g d = \frac{1}{2} I ω^{2} ω = 3.36 rad/s$