Conservación de la energía

1.-El péndulo de un reloj está formado por una varilla de 500 g y 40 cm de longitud y una lenteja de forma esférica de 200 g de masa y 5 cm de radio, tal como se indica en la figura. El punto de suspensión O está a 10 cm del extremo de la varilla. Calcular:

La distancia al centro de masas medida desde O.
El momento de inercia respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por O.
El péndulo se desvía 60º de la posición de equilibrio. Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio.

Solución

Posición del centro de masas

$b = \frac{0.5 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.35}{0.5 + 0.2} = 0.17 m$

Momento de inercia respecto de un eje que pasa por O.

$I = (\frac{1}{12} 0.5 \cdot {0.4}^{2} + 0.5 \cdot {0.1}^{2}) + (\frac{2}{5} 0.2 \cdot {0.05}^{2} + 0.2 \cdot {0.35}^{2}) = 0.036 {kg·m}^{2}$

Principio de conservación de la energía

$0.7 \cdot 9.8 \cdot (b - b \cos 60) = \frac{1}{2} I ω^{2} ω = 5.69 rad/s$

2.-Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de una de las esferas, y es desviado 65º de la posición de equilibrio estable.

Determinar la velocidad angular del péndulo cuando, una vez soltado, retorna a la posición de equilibrio estable

Solución

Posición del centro de masas respecto de O.

Por simetría b=0.12

Momento de inercia respecto de un eje que pasa por O.

$\begin{array}{l} I = \frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + (\frac{1}{12} 0.2 \cdot {0.4}^{2} + 0.2 \cdot {0.12}^{2}) + (\frac{2}{5} 0.5 \cdot {0.05}^{2} + 0.5 \cdot {0.24}^{2}) \\ = 0.0353 {kg·m}^{2} \end{array}$

Principio de conservación de la energía

$1.2 \cdot 9.8 \cdot (b - b \cos 65) = \frac{1}{2} I ω^{2} ω = 6.79 rad/s$

3.-Un sólido está formado por tres barras iguales de longitud L=2 m y de masa M=20 kg en forma de triángulo equilátero, tal como se muestra en la figura.

Hallar la posición de su centro de masa.
El sistema puede girar alrededor de un eje perpendicular al plano que las contiene y que pasa por O. Calcular la aceleración angular del sistema en el instante inicial. La velocidad angular de la barra cuando ha girado hasta que se encuentra en la posición horizontal.

Solución

Posición del centro de masas

Por simetría x_c=0

$y_{c} = \frac{20 (L / 2) \cdot \sin 60 + 20 (L / 2) \cdot \sin 60 + 20 \cdot 0}{20 + 20 + 20} = \frac{\sqrt{3}}{3} m$

El c.m. es el punto de intersección de las medianas

$y_{c} = \frac{L}{2} \tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pasa por O.

$\begin{array}{l} I = 2 (\frac{1}{12} 20 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 1^{2}) + (\frac{1}{12} 20 \cdot 2^{2} + 20 \cdot h^{2}) = 120 {kg·m}^{2} \\ h = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} \end{array}$

Momento del peso=momento de inercia×aceleración angular

$\begin{array}{l} m g d = I α 60 \cdot 9.8 \cdot (h - y_{c}) = 120 α \\ 60 \cdot 9.8 \cdot (\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 120 α α = 5.66 rad/s \end{array}$

Conservación de la energía

$m g d = \frac{1}{2} I ω^{2} ω = 3.36 rad/s$

4.-Un sólido homogéneo en forma de medio disco de masa M y radio R, descansa sobre el plano horizontal. Calcular la posición del centro de masas y_cm

Calcular el momento de inercia del medio disco

respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro O
respecto de un eje paralelo que pasa por el centro de masas
respecto de un eje paralelo que pasa por el punto de contacto P

Calcular el impulso L que tenemos que aplicar en el extremo del disco, para que su centro de masa se eleve justamente d por encima del plano horizontal. Siendo d la distancia entre dicho extremo y el centro de masas.

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2010, Q6

Solución

Situamos el origen en el centro de la semicircunferencia y los ejes X e Y tal como se muestra en la figura

Por simetría el centro de masas estará en el eje Y, x_cm=0

Sea σ la densidad superficial (masa por unidad de área) de la placa semicircular. Consideremos una franja, de anchura dy, y de longitud 2x paralela al eje X, marcada en color rojo en la figura. Su masa es dm=σ(2x·dy)

$y_{c m} = \frac{\int y d m}{\int d m} = \frac{\int_{0}^{R} y (σ 2 \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y)}{\int_{0}^{R} σ 2 \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y} = \frac{σ \int_{0}^{R} (\sqrt{R^{2} - y^{2}}) 2 y \cdot d y}{σ \frac{1}{2} π R^{2}} = \frac{\frac{2}{3} R^{3}}{\frac{1}{2} π R^{2}} = \frac{4 R}{3 π}$

La integral de numerador es inmediata, la del denominador es el área de un semicírculo, que se puede calcular, expresando y en coordenadas polares y=Rsinθ, dy=Rcosθ·dθ

$\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y = \int_{0}^{π / 2} 2 R^{2} \cos^{2} θ \cdot d θ = R^{2} \int_{0}^{π / 2} (1 + \cos (2 θ)) d θ = \frac{1}{2} π R^{2}$

Momento de inercia de un disco alrededor de un eje perpendicular a su plano y que pasa por el centro O

Tomamos un elemento diferencial de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es medio anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud πx y anchura dx, cuya masa es

$d m = \frac{M}{\frac{π R^{2}}{2}} π x d x = \frac{2 M}{R^{2}} x d x$

El momento de inercia del disco es

$I_{O} = \int_{0}^{R} x^{2} d m = \int_{0}^{R} \frac{2 M}{R^{2}} x^{3} d x = \frac{1}{2} M R^{2}$

Aplicando Steiner, el momento de inercia respecto del centro de masas es

$\begin{array}{l} I_{O} = I_{c m} + M y_{c m}^{2} \\ \frac{1}{2} M R^{2} = I_{c m} + M {(\frac{4}{3 π} R)}^{2} \\ I_{c m} = (\frac{9 π^{2} - 32}{18 π^{2}}) M R^{2} \end{array}$

Aplicando Steiner, el momento de inercia respecto del punto P de contacto con el plano horizontal es

$\begin{array}{l} I_{P} = I_{c m} + M {(R - y_{c m})}^{2} \\ I_{P} = (\frac{9 π^{2} - 32}{18 π^{2}}) M R^{2} + M {(R - \frac{4}{3 π} R)}^{2} \\ I_{P} = (\frac{3}{2} - \frac{8}{3 π}) M R^{2} \end{array}$

El impulso angular LR respecto del punto P de contacto, produce un cambio en la velocidad angular del sólido. Sabiendo que parte del reposo

$\begin{array}{l} L R = I_{P} ω \\ ω = \frac{L R}{I_{P}} \end{array}$

Por el punto de contacto P pasa el eje instantáneo de rotación

Después de aplicar el impulso la energía se conserva. La energía en la situación inicial

$E_{i} = \frac{1}{2} I_{P} ω^{2} + M g (R - y_{c m})$

El segundo término, es la energía potencial del centro de masas

En la situación final, ω=0, solamente hay energía potencial correspondiente a la altura máxima d del centro de masas

$E_{f} = M g d = M g \sqrt{R^{2} + y_{c m}^{2}}$

Despejamos el impulso L

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} I_{P} {(\frac{L R}{I_{P}})}^{2} + M g (R - \frac{4}{3 π} R) = M g \sqrt{R^{2} + {(\frac{4}{3 π} R)}^{2}} \\ \frac{1}{2} \frac{L^{2} R^{2}}{(\frac{3}{2} - \frac{8}{3 π}) M R^{2}} = M g R (\frac{\sqrt{9 π^{2} + 16}}{3 π} - \frac{3 π - 4}{3 π}) \\ L^{2} = 0.6652 M^{2} g R \end{array}$

L es el impulso necesario para alcanzar la posición final de equilibrio inestable