Centro de masas

1.-Sea un pieza en forma de círculo de radio b al que le falta un círculo de radio a, tal como se muestra en la figura. La masa de la pieza es M. Calcular la posición de su centro de masas.

Solución

Situamos el origen en el centro del círculo de radio b y los ejes X e Y tal como se muestra en la figura

Por simetría, el centro de masas está en el eje Y, x_cm=0

Sabiendo que la masa de la pieza es M, calculamos la masa m_a del círculo de radio a y la masa m_b del círculo de radio b

$\begin{array}{l} m_{b} = M \frac{π b^{2}}{π b^{2} - π a^{2}} = M \frac{b^{2}}{b^{2} - a^{2}} \\ m_{a} = M \frac{π a^{2}}{π b^{2} - π a^{2}} = M \frac{a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \end{array}$

El centro de masas del círculo de radio b está en el origen y_b=0
El centro de masas del círculo de radio a está en y_a=b-a
El centro de masas de la pieza está en

$y_{c m} = \frac{m_{b} y_{b} - m_{a} y_{a}}{m_{b} - m_{a}} = \frac{m_{a}}{M} y_{a} = \frac{a^{2}}{b^{2} - a^{2}} (b - a) = \frac{a^{2}}{b + a}$

2.-Hallar la posición del c. m. del triángulo de la figura.

Solución

Ecuación de la recta (hipotenusa) $y = - \frac{a}{b} x + a$

Elemento diferencial de área, dA=y·dx

$\begin{array}{l} x_{c m} = \frac{\int x \cdot d A}{\int d A} = \frac{1}{3} b \\ \int x \cdot d A = \int x (y \cdot d x) = \int_{0}^{b} x (- \frac{a}{b} x + a) d x = \frac{1}{6} a b^{2} \\ \int d A = \int y \cdot d x = \int_{0}^{b} (- \frac{a}{b} x + a) d x = \frac{1}{2} a b \end{array}$

Elemento diferencial de área, dA=x·dy

$\begin{array}{l} y_{c m} = \frac{\int y \cdot d A}{\int d A} = \frac{1}{3} a \\ \int y \cdot d A = \int y (x \cdot d y) = \int_{0}^{a} x (- \frac{b}{a} y + b) d y = \frac{1}{6} a^{2} b \\ \int d A = \int x \cdot d y = \int_{0}^{a} (- \frac{b}{a} x + b) d y = \frac{1}{2} a b \end{array}$

3.-Determinar la posición del centro de masa de la siguiente figura plana y homogénea, formada por la región comprendida entre la parábola y=2x²/3 y el eje X, y la recta x=3.

Solución

Elemento diferencial de área, dA=y·dx

$\begin{array}{l} x_{c m} = \frac{\int x \cdot d A}{\int d A} = \frac{9}{4} \\ \int x \cdot d A = \int x (y \cdot d x) = \int_{0}^{3} x \frac{2}{3} x^{2} \cdot d x = \frac{27}{2} \\ \int d A = \int y \cdot d x = \int_{0}^{3} \frac{2}{3} x^{2} \cdot d x = 6 \end{array}$

Elemento diferencial de área, dA=(3-x)·dy

$\begin{array}{l} y_{c m} = \frac{\int y \cdot d A}{\int d A} = \frac{9}{5} \\ \int y \cdot d A = \int y (3 - x) \cdot d y = \int_{0}^{3} \frac{2}{3} x^{2} (3 - x) \frac{4}{3} x \cdot d x = \frac{54}{5} \\ \int d A = \int (3 - x) \cdot d y = \int_{0}^{3} (3 - x) \frac{4}{3} x \cdot d x = 6 \end{array}$

4.-Determinar la posición del centro de masa de la pieza plana homogénea de la figura. La parte curva corresponde a la porción de parábola y=3x²/2+1.

Solución

Centro de masa del rectángulo de área 35, x₁=-%/2, y₁=7/2

Centro de masa de la parte curva

Elemento diferencial de área, dA=(7-y)·dx

$\begin{array}{l} x_{c m} = \frac{\int x \cdot d A}{\int d A} = \frac{3}{4} \\ \int x \cdot d A = \int x (7 - y) \cdot d x = \int_{0}^{2} x (7 - \frac{3}{2} x^{2} - 1) \cdot d x = 6 \\ \int d A = \int (7 - y) \cdot d x = \int_{0}^{2} (7 - \frac{3}{2} x^{2} - 1) \cdot d x = 8 \end{array}$

Elemento diferencial de área, dA=x·dy

$\begin{array}{l} y_{c m} = \frac{\int y \cdot d A}{\int d A} = \frac{23}{5} \\ \int y \cdot d A = \int y x \cdot d y = \int_{0}^{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 1) x (3 x \cdot d x) = \frac{184}{5} \\ \int d A = \int x \cdot d y = \int_{0}^{2} x (3 x \cdot d x) = 8 \end{array}$

Centro de masas de las dos figuras

$\begin{array}{l} x_{c m} = \frac{35 (- \frac{5}{2}) + 8 (\frac{3}{4})}{35 + 8} = - \frac{163}{86} \\ y_{c m} = \frac{35 (\frac{7}{2}) + 8 (\frac{23}{5})}{35 + 8} = \frac{1593}{430} \end{array}$

5.-Calcular el centro de masa de un alambre doblada en forma de semicircunferencia de radio R.

Solución

Situamos el origen en el centro de la semicircunferencia y los ejes X e Y tal como se muestra en la figura

Por simetría el centro de masas estará en el eje Y, x_cm=0

Sea λ la densidad lineal (masa por unidad de longitud) del alambre. Consideremos un arco infinitesimal ds=R·dθ, marcado en color rojo en la figura. Su masa es dm=λ·ds=λR·dθ

$y_{c m} = \frac{\int y d m}{\int d m} = \frac{\int_{0}^{π} (R \sin θ) (λ R \cdot d θ)}{\int_{0}^{π} (λ R \cdot d θ)} = \frac{λ R^{2} \int_{0}^{π} \sin θ \cdot d θ}{λ R \int_{0}^{π} d θ} = \frac{2 R}{π}$

6.-Calcular el centro de masa de una placa en forma semicircular de radio R.

Solución

Situamos el origen en el centro de la semicircunferencia y los ejes X e Y tal como se muestra en la figura

Por simetría el centro de masas estará en el eje Y, x_cm=0

Sea σ la densidad superficial (masa por unidad de área) de la placa semicircular. Consideremos una franja, de anchura dy, y de longitud 2x paralela al eje X, marcada en color rojo en la figura. Su masa es dm=σ(2x·dy)

$y_{c m} = \frac{\int y d m}{\int d m} = \frac{\int_{0}^{R} y (σ 2 \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y)}{\int_{0}^{R} σ 2 \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y} = \frac{σ \int_{0}^{R} (\sqrt{R^{2} - y^{2}}) 2 y \cdot d y}{σ \frac{1}{2} π R^{2}} = \frac{\frac{2}{3} R^{3}}{\frac{1}{2} π R^{2}} = \frac{4 R}{3 π}$

La integral de numerador es inmediata, la del denominador es el área de un semicírculo, que se puede calcular, expresando y en coordenadas polares y=Rsinθ, dy=Rcosθ·dθ

$\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2} - y^{2}} d y = \int_{0}^{π / 2} 2 R^{2} \cos^{2} θ \cdot d θ = R^{2} \int_{0}^{π / 2} (1 + \cos (2 θ)) d θ = \frac{1}{2} π R^{2}$

7.-Calcular el centro de masa de un cuerpo en forma semiesférica de radio R.

Solución

Situamos el origen en el centro de la semiesfera y los ejes X e Y tal como se muestra en la figura

Por simetría el centro de masas estará en el eje Z, x_cm=0, y_cm=0

Sea ρ la densidad (masa por unidad de volumen) del cuerpo de forma semiesférica. Consideremos un cilindro de radio r y altura dz, paralelo al plano XY. Su masa es dm=ρ(πr²·dz)

$z_{c m} = \frac{\int z d m}{\int d m} = \frac{\int_{0}^{R} z (ρ π r^{2} d z)}{\int_{0}^{R} ρ π r^{2} d z}$

Teniendo en cuenta que r²+z²=R²

$z_{c m} = \frac{ρ π \int_{0}^{R} z (R^{2} - z^{2}) d z}{ρ π \int_{0}^{R} (R^{2} - z^{2}) d z} = \frac{3 R}{8}$

8.-Una pieza de forma semicircular de radio R, tiene una densidad σ que varía con el radio de la forma σ=cr², donde r es la distancia desde el centro y c es una constante. Calcular la posición del centro de masas

Solución

Situamos el origen en el centro del semicírculo y los ejes X e Y tal como se muestra en la figura

Por simetría el centro de masas estará en el eje Y, x_cm=0

Consideremos un elemento diferencial de radio r y de anchura dr, marcado en color rojo en la figura. El área de este elemento es πr·dr, y su masa dm=cr²(πr·dr)=πcr³dr. Su centro de masa se encuentra a una altura y=2r/π, (véase el problema 5 de esta página).

El centro de masa del semicírculo se encuentra en

$y_{c m} = \frac{\int_{0}^{R} \frac{2 r}{π} (c π r^{3} d r)}{\int_{0}^{R} c π r^{3} d r} = \frac{2 c \int_{0}^{R} r^{4} d r}{c π \int_{0}^{R} r^{3} d r} = \frac{8 R}{5 π}$

9.-Un cubo de densidad 2ρ, de lado a se coloca en el fondo de un recipiente de sección 3a². El recipiente contiene dos líquidos inmiscibles, agua de densidad ρ y aceite de densidad 0.8ρ. La altura de agua es a/2 y la de aceite a.

Calcular el trabajo necesario para extraer el cubo del líquido (figura derecha).

Physics Challenge for Teachers and Students. Like oil and water!. The Physics Teacher. Vol. 54, February 2016. pp. 125

Solución

Volumen de agua (color azul) en el recipiente

$V_{A} = 3 a^{2} \frac{a}{2} - a^{2} \frac{a}{2} = a^{3}$

El volumen de aceite (color verde) es la suma de dos partes B y C

$V_{a} = V_{B} + V_{C} = (3 a^{2} \frac{a}{2} - a^{2} \frac{a}{2}) + (3 a^{2} \frac{a}{2}) = a^{3} + \frac{3}{2} a^{3} = \frac{5}{2} a^{3}$

Situación inicial

Los centros de masa se han señalado mediante puntos en la figura

Cuerpo	altura del c.m	masa	energía potencial
Cubo	a/2	2ρa³	ρa⁴g
Agua A	a/4	ρa³	ρa⁴g/4
Aceite B	a/4+a/2=3a/4	0.8ρa³	0.6ρa⁴g
Aceite C	a+a/4=5a/4	1.2ρa³	1.5ρa⁴g

La energía potencial inicial es E_pi=(1+1/4+0.6+1.5)ρa⁴g=3.35ρa⁴g

Situación final

Al retirar el cubo las alturas h₁ del aceite y h₂ del agua cambia

$h_{2} = \frac{a^{3}}{3 a^{2}} = \frac{1}{3} a, h_{1} = \frac{\frac{5}{2} a^{3}}{3 a^{2}} = \frac{5}{6} a$

Los centros de masa se han señalado mediante puntos en la figura

Cuerpo	altura del c.m	masa	energía potencial
Cubo	h₁+h₂+a/2=5a/3	2ρa³	10ρa⁴g/3
Aceite	h₂+h₁/2=3a/4	2ρa³	3ρa⁴g/2
Agua	h₂/2=a/6	ρa³	ρa⁴g/6

La energía potencial final es E_pf=(10/3+3/2+1/6)ρa⁴g=5ρa⁴g

El trabajo es la diferencia entre las dos energías potenciales, W=E_pf-E_pi=(5-3.35) ρa⁴g=1.65ρa⁴g

10.-Cuatro bloques homogéneos de masa m y longitud L idénticos se apilan unos encima de otros tal como se muestra en la figura.

Calcular los máximos valores de a₁, a₂, a₃ y a₄ y la máxima distancia h al borde de la mesa del último bloque

Masatsugu Suzuki. Lecture Notes of General Physics I and II Calculus Based

Solución

Se sitúa un bloque homogéneo de masa m y longitud L sobe una mesa tal como se muestra en la figura. El bloque estará en equilibrio sobre la mesa siempre que d<L/2. Si d≥L/2 el bloque desliza sobre el borde y cae.

La máxima distancia d se obtiene cuando el la dirección del peso del bloque pasa por borde de la mesa

a₁=L/2

El segundo bloque tiene encima el primero. El centro de masas del conjunto formado por estos dos bloques es

$a_{2} = \frac{m \frac{L}{2} + m \cdot 0}{2 m} = \frac{L}{4}$

El tercer bloque tiene encima el primero y el segundo. El centro de masas del conjunto formado por estos tres bloques es

$a_{3} = \frac{m \frac{L}{2} + 2 m \cdot 0}{3 m} = \frac{L}{6}$

El cuarto bloque tiene encima el primero, el segundo y el tercero. El centro de masas del conjunto formado por estos cuatro bloques es

$a_{4} = \frac{m \frac{L}{2} + 3 m \cdot 0}{4 m} = \frac{L}{8}$

y así...., sucesivamente

La máxima distancia h del extremo derecho del primer bloque al borde de la mesa es

$h = \frac{L}{2} + \frac{L}{4} + \frac{L}{6} + \frac{L}{8} = \frac{25}{24} L$

>> format rat
>> 1/2+1/4+1/6+1/8
ans =      25/24
>> syms k;
>>  symsum(1/k,k,1,4)/2
ans =25/24

En general, para n bloques apilados uno encima del otro. La máxima distancia h al borde de la mesa es

$h = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$