Movimiento general de un sólido rígido

1.-En un plano inclinado 30º un bloque de masa m₂=4 kg está unido por una cuerda a un cilindro macizo de masa m₁=8 kg y radio r=5 cm. Calcular la aceleración del sistema formado por los dos cuerpos El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es μ=0.2.

Problema propuesto en la 2° Olimpiada Internacional de Física, Budapest, Hungría, 1968

Solución

En la figura se muestran las fuerzas sobre cada uno de los cuerpos

Descomponemos las fuerzas en la dirección del plano inclinado y perpendicular al mismo.

Movimiento del bloque

m₂a=m₂gsinθ-F_r+T
F_r=μN=μm₂gcosθ

Movimiento del cilindro

Movimiento de traslación del centro de masas

m₁a=m₁gsinθ-T-S

Movimiento de rotación alrededor del eje del cilindro

$\begin{array}{l} I_{c} α = S \cdot r \\ \frac{1}{2} m_{1} r^{2} α = S \cdot r \end{array}$

El cilindro rueda sin deslizar

a=α·r

Despejamos las incógnitas

$\begin{array}{l} a = g \frac{(m_{1} + m_{2}) \sin θ - μ m_{2} \cos θ}{\frac{3}{2} m_{1} + m_{2}} \\ T = \frac{1}{2} m_{1} m_{2} g \frac{3 μ \cos θ - \sin θ}{\frac{3}{2} m_{1} + m_{2}} \\ S = \frac{1}{2} m_{1} a = \frac{1}{2} m_{1} g \frac{(m_{1} + m_{2}) \sin θ - μ m_{2} \cos θ}{\frac{3}{2} m_{1} + m_{2}} \end{array}$

Con los datos del problemas

a=3.25 m/s², T=0.192 N, S=13.01 N

Para que el sistema formado por los cuerpos empiece a moverse a>0

(m₁+m₂)sinθ>μm₂ cosθ

El ángulo límite θ₁ es

$\tan θ_{1} = \frac{μ m_{2}}{m_{1} + m_{2}} θ_{1} = 3.8 º$

Para que el cilindro y el bloque se muevan juntos T>0

3μcosθ>sinθ

El ángulo límite θ₂ es

tan θ₂=3μ, θ₂=31.0º

Para que el cilindro ruede sin deslizar la fuerza de rozamiento S deberá ser menor que el valor máximo μm₁gcosθ

$S = \frac{1}{2} m_{1} g \frac{(m_{1} + m_{2}) \sin θ - μ m_{2} \cos θ}{\frac{3}{2} m_{1} + m_{2}} < μ m_{1} g \cos θ$

El ángulo límite θ₃ es

tan θ₃=3μ, θ₃=31.0º

2.-Hallar y dibujar el vector velocidad de los puntos del disco que se indican en la figura. El disco rueda sin deslizar, tiene un radio de 5 cm, y se mueve (su c.m.) con velocidad de 3m/s. A (arriba), C (a la derecha) y D (abajo) están en la periferia, y B 2.5 cm por debajo del centro del disco.

Solución

3.-Una esfera de masa m y radio r, rueda sin deslizar a lo largo de una cúpula de radio R. Desplazamos la esfera de la posición de equilibrio inestable, empezando a rodar a lo largo de la cúpula y deja de tener contacto con ella para un determinado ángulo θ con la vertical.

Calcular el ángulo θ

Solución

Las fuerzas sobre la esfera de radio r cuando se encuentra en la posición θ son:

El peso, mg
La reacción de la superficie esférica, N

El centro de la esfera describe un movimiento circular de radio r+R, la ecuación del movimiento en la dirección radial es

$m g \cos θ - N = m \frac{v_{c}^{2}}{R + r}$

La velocidad v_c del centro de la esfera se calcula aplicando el principio de conservación de la energía. La energía potencial del centro de la esfera se transforma en energía cinética de traslación del c.m. con velocidad v_c y de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro con velocidad angular ω.

$m g h = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^{2}) ω^{2}$

Si la esfera rueda sin deslizar v_c=ω·r. La altura h=(r+R)-(r+R)cosθ

$\begin{array}{l} m g (R + r) (1 - \cos θ) = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m r^{2}) \frac{v_{c}^{2}}{r^{2}} \\ g (R + r) (1 - \cos θ) = \frac{7}{10} v_{c}^{2} \end{array}$

La esfera deja de tener contacto con la cúpula cuando N=0, eliminamos v_c del sistema de ecuaciones, cosθ=10/17

4.-Un bloque de 6 kg y una esfera de 10 kg están unidos por un hilo inextensible y sin peso que pasa a través de una polea en forma de disco de 2 kg de masa. La esfera rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º. Hallar

La(s) tensión(es) de la cuerda.
La aceleración del sistema
La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos para el cálculo de este apartado). Dato, el momento de inercia de la esfera es 2/5 mr^2.

Solución

Movimiento del bloque con aclaración a

6·9.8-T₂=6a

Movimiento de rotación de la polea con aceleración angular α’

$T_{2} r - T_{1} r = (\frac{1}{2} 2 r^{2}) α^{'}$

Movimiento de la esfera:

Traslación del c.m. con aceleración a_cm
Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con aclaración angular α.
Relación entre ambas aceleraciones cuando la esfera rueda sin deslizar.

$\begin{array}{l} T_{1} - 10 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 - F_{r} = 10 a_{c m} \\ F_{r} R = (\frac{2}{5} 10 R^{2}) α \\ a_{c m} = α R \end{array}$

Relación entre las aceleraciones del bloque a, la esfera a_cm, y la angular α’ de la polea

a=a_cm= α’r

Resolvemos el sistema de ecuaciones

$\begin{array}{l} T_{1} - 49 = 14 a \\ T_{2} - T_{1} = a \\ 58.8 - T_{2} = 6 a \end{array}} a = \frac{7}{15} {m/s}^{2}$

Cuando el bloque desciende 1.5 m partiendo del reposo, su velocidad calculada por cinemática es

$\begin{array}{l} v = a t \\ 1.5 = \frac{1}{2} a t^{2} \end{array}} v = \sqrt{\frac{7}{5}} m/s$

Balance energético. Al comparar la situación inicial y final, vemos que:

El bloque desciende 1.5 m disminuyendo su energía potencial,
La esfera aumenta su energía potencial, ya que se eleva, 1.5·sin30=0.75 m
La esfera gana energía cinética de traslación y rotación, $\frac{1}{2} m v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} I_{c} ω^{2} v_{c m} = ω R$
El bloque gana energía cinética, $\frac{1}{2} m v^{2}$
La polea gana energía cinética de rotación, $\frac{1}{2} I ω^{2}$

No hay pérdida de energía debido al rozamiento

$\begin{array}{l} 6 \cdot 9.8 \cdot 1.5 = 10 \cdot 9.8 \cdot 0.75 + \frac{1}{2} 6 v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 2 r^{2}) ω'^{2} + \frac{1}{2} 10 v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} 10 R^{2}) ω^{2} \\ ω' = \frac{v}{r} ω = \frac{v_{c m}}{R} v = v_{c m} v = \sqrt{\frac{7}{5}} m/s \end{array}$

5.-Un bloque y un cilindro de 2 y 8 kg respectivamente, están unidos por un hilo inextensible y sin peso que pasa por una polea en forma de disco de 0.5 kg de masa y 20 cm de radio, situada en la unión de dos planos inclinados de 30º y 60º de inclinación. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de $\sqrt{3}$ y que el cilindro rueda sin deslizar. Tómese g=10 m/s². Calcular:

La(s) tensión(es) de la cuerda y la aceleración del sistema
La velocidad de los cuerpos cuando se han desplazado 2 m a lo largo de los planos, sabiendo que parten del reposo. Calcular por dos procedimientos este apartado comprobando que se obtienen los mismos resultados

Solución

Movimiento del bloque con aclaración a

$\begin{array}{l} T_{2} - 2 \cdot 10 \cdot \sin 60 - F_{r}^{'} = 2 a \\ N' = 2 \cdot 10 \cdot \cos 60 \\ F_{r}^{'} = μ N' = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot 10 \cdot \cos 60 \end{array}} T_{2} - 20 \sqrt{3} = 2 a$

T₂-2·10·sin60-F’r=6ª

Movimiento de rotación de la polea con aceleración angular α’

$T_{1} r - T_{2} r = (\frac{1}{2} 0.5 r^{2}) α^{'}$

Movimiento del cilindro:

Traslación del c.m. con aceleración a_cm
Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con aclaración angular α.
Relación entre ambas aceleraciones cuando el cilindro rueda sin deslizar.

$\begin{array}{l} 8 \cdot 10 \cdot \sin 30 - T_{1} - F_{r} = 8 a_{c m} \\ F_{r} R = (\frac{1}{2} 8 R^{2}) α \\ a_{c m} = α R \end{array}} 40 - T_{1} = 12 a_{c m}$

Relación entre las aceleraciones del bloque a, centro de masa del cilindro a_cm, y la angular α’ de la polea

a=a_cm= α’r

Resolvemos el sistema de ecuaciones

$\begin{array}{l} 40 - T_{1} = 12 a \\ T_{1} - T_{2} = 0.25 a \\ T_{2} - 20 \sqrt{3} = 2 a \end{array}} a = 0.38 {m/s}^{2}$

Cuando el bloque desciende 2 m partiendo del reposo, su velocidad calculada por cinemática es

$\begin{array}{l} v = a t \\ 2 = \frac{1}{2} a t^{2} \end{array}} v = 1.23 m/s$

Balance energético. Al comparar la situación inicial y final, vemos que:

El cilindro desciende 2 m a lo largo del plano inclinado o una altura de 2·sin30=1 m, disminuye su energía potencial.
El bloque aumenta su energía potencial, ya que se eleva, 2·sin60 m
El cilindro gana energía cinética de traslación y rotación, $\frac{1}{2} m v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} I_{c} ω^{2} v_{c m} = ω R$
El bloque gana energía cinética, $\frac{1}{2} m v^{2}$
La polea gana energía cinética de rotación, $\frac{1}{2} I ω^{2}$

Hay pérdida de energía debido al rozamiento entre el bloque y el plano inclinado

$\begin{array}{l} W = 2 \cdot 10 \cdot 2 \cdot \sin 60 + \frac{1}{2} 2 v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 0.5 r^{2}) ω'^{2} + \frac{1}{2} 8 v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 8 R^{2}) ω^{2} - 8 \cdot 10 \cdot 2 \cdot \sin 30 \\ W = - F_{r}^{'} \cdot 2 = - 10 \sqrt{3} \cdot 2 = - 20 \sqrt{3} \\ ω' = \frac{v}{r} ω = \frac{v_{c m}}{R} v = v_{c m} v = 1.23 m/s \end{array}$

6.-Un cilindro de 2 kg de masa y de 30 cm de radio tiene una ranura cuyo radio es 10 cm. En la ranura se enrolla una cuerda tal como se indica en la figura, y el otro extremo se fija a una pared.

El cilindro rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º respecto de la horizontal. El cilindro parte del reposo, de un punto P situado a 3 m de la base del plano inclinado tal como se indica en la figura. Sabiendo que después de recorrer estos 3 m la v_cmes de 4 m/s, calcular:

La aceleración del centro de masas y la tensión de la cuerda.

Dato, momento de inercia del cilindro I_cm.= 1/2 mR².

Solución

La aceleración del c.m. del cilindro se calcula por cinemática

$\begin{array}{l} 4 = a_{c m} t \\ 3 = \frac{1}{2} a_{c m} t^{2} \end{array}} a_{c m} = \frac{8}{3} {m/s}^{2}$

Movimiento del cilindro:

Traslación del c.m. con aceleración a_cm
Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con aclaración angular α.
Relación entre ambas aceleraciones cuando el colindro rueda sin deslizar.

$\begin{array}{l} 2 \cdot 9.8 \cdot \sin 30 - T - F_{r} = 2 a_{c m} \\ T \cdot 0.1 + F_{r} \cdot 0.3 = (\frac{1}{2} 2 \cdot {0.3}^{2}) α \\ a_{c m} = α \cdot 0.3 \end{array}} T = 2.7 N$

7.-Un disco de 2 kg. de masa y radio 30 cm rueda sin deslizar a lo largo de un plano horizontal, una cuerda arrollada a una hendidura hecha en el disco, de radio 15 cm está unida a través de una polea en forma de disco de masa 0.5 kg a un bloque de 10 kg, que pende del extremo de la misma tal como se indica en la figura. Calcular:

La aceleración del bloque, del centro de masas del disco y la(s) tensión(es) de la cuerda.
La velocidad del bloque una vez que haya descendido 5 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado, comprobando que salen los mismos resultados).

Solución

Composición de movimientos: traslación del c.m. y rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Velocidad del punto P

v_P=v_cm+ωr

Para que el disco ruede sin deslizar v_cm=ωR

$\begin{array}{l} v_{P} = v_{c m} + ω r v_{c m} = ω R \\ v_{P} = v_{c m} + v_{c m} \frac{0.15}{0.3} = \frac{3}{2} v_{c m} \end{array}$

Del mismo modo para la aceleración

$\begin{array}{l} a_{P} = a_{c m} + α r a_{c m} = α R \\ a_{P} = a_{c m} + a_{c m} \frac{0.15}{0.3} = \frac{3}{2} a_{c m} \end{array}$

Movimiento del bloque con aclaración a

$10 \cdot 9.8 - T_{2} = 10 a$

Movimiento de rotación de la polea con aceleración angular α’

$T_{2} r - T_{1} r = (\frac{1}{2} 0.5 r^{2}) α^{'}$

Movimiento del cilindro:

Traslación del c.m. con aceleración a_cm
Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con aclaración angular α.
Relación entre ambas aceleraciones cuando el cilindro rueda sin deslizar.

$\begin{array}{l} T_{1} - F_{r} = 2 a_{c m} \\ T_{1} \cdot 0.15 + F_{r} 0.3 = (\frac{1}{2} 2 \cdot {0.3}^{2}) α \\ a_{c m} = α \cdot 0.3 \end{array}} T_{1} = 2 a_{c m}$

Relación entre las aceleraciones del bloque a, centro de masa del cilindro a_cm, y la angular α’ de la polea

$a = α' r a = a_{P} = \frac{3}{2} a_{c m}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

$\begin{array}{l} T_{1} = 2 \frac{3}{2} a \\ T_{2} - T_{1} = 0.25 a \\ 98 - T_{2} = 10 a \end{array}} a = 8.46 {m/s}^{2}$

Cuando el bloque desciende 5 m partiendo del reposo su velocidad calculada por cinemática es

$\begin{array}{l} v = a t \\ 5 = \frac{1}{2} a t^{2} \end{array}} v = 9.20 m/s$

Balance energético. Al comparar la situación inicial y final, vemos que:

El bloque disminuye su energía potencial, ya que desciende 5m
El disco gana energía cinética de traslación y rotación, $\frac{1}{2} m v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} I_{c} ω^{2} v_{c m} = ω R$
El bloque gana energía cinética, $\frac{1}{2} m v^{2}$
La polea gana energía cinética de rotación, $\frac{1}{2} I ω^{2}$

No hay pérdida de energía por rozamiento

$\begin{array}{l} 10 \cdot 9.8 \cdot 5 = \frac{1}{2} 10 v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 0.5 r^{2}) ω'^{2} + \frac{1}{2} 2 v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 2 \cdot {0.3}^{2}) ω^{2} \\ ω' = \frac{v}{r} ω = \frac{v_{c m}}{0.3} v = \frac{3}{2} v_{c m} v = 9.20 m/s \end{array}$

8.-En la figura, se muestra un cilindro de 4.5 kg de masa que rueda sin deslizar, a lo largo de un plano inclinado 42º con la horizontal. El centro del cilindro está unido mediante una cuerda al borde de una polea en forma de disco de 2.2 kg de masa y 85 mm de radio. Sabiendo que en el eje de la polea existe un rozamiento cuyo momento es de 1.3 N·m. Calcular:

La aceleración del cilindro y la tensión de la cuerda.
La velocidad del bloque una vez que haya descendido 3 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo (emplear los dos procedimientos de cálculo para este apartado, comprobando que salen los mismos resultados).

Solución

Movimiento de la polea

$T \cdot 0.085 - 1.3 = (\frac{1}{2} 2.2 \cdot {0.085}^{2}) α'$

Movimiento del cilindro:

Traslación del c.m. con aceleración a_cm
Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con aclaración angular α.
Relación entre ambas aceleraciones cuando el cilindro rueda sin deslizar.

$\begin{array}{l} 4.5 \cdot 9.8 \cdot \sin 42 - T - F_{r} = 4.5 a_{c m} \\ F_{r} \cdot R = (\frac{1}{2} 4.5 \cdot R^{2}) α \\ a_{c m} = α \cdot R \end{array}} 4.5 \cdot 9.8 \cdot \sin 42 - T = 6.75 a_{c m}$

Relación entre las aceleraciones, centro de masa del cilindro a_cm, y la angular α’ de la polea.

a_cm=α’·0.085

Las ecuaciones del movimiento se reducen al sistema

$\begin{array}{l} 4.5 \cdot 9.8 \cdot \sin 42 - T = 6.75 a_{c m} \\ T \cdot 0.085 - 1.3 = 0.0935 a_{c m} \end{array}} a_{c m} = 1.81 {m/s}^{2}$

Cuando el cilindro desciende 3 m partiendo del reposo su velocidad calculada por cinemática es

$\begin{array}{l} v_{c m} = a_{c m} t \\ 5 = \frac{1}{2} a_{c m} t^{2} \end{array}} v_{c m} = 3.30 m/s$

Balance energético. Al comparar la situación inicial y final, vemos que:

El cilindro disminuye su energía potencial, ya que desciende una altura, 3·sin42 m
El cilindro gana energía cinética de traslación y rotación, $\frac{1}{2} m v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} I_{c} ω^{2} v_{c m} = ω R$
La polea gana energía cinética de rotación, $\frac{1}{2} I ω^{2}$

Hay pérdida de energía por rozamiento. El trabajo de la fuerza de rozamiento en el eje de la polea es

$\begin{array}{l} W = - M θ = - 1.3 \cdot \frac{3}{0.085} = - 45.88 J \\ W = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 2.2 \cdot {0.085}^{2}) ω'^{2} + \frac{1}{2} 4.5 v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 4.5 \cdot R^{2}) ω^{2} - 4.5 \cdot 9.8 \cdot 3 \cdot \sin 42 \\ ω' = \frac{v_{c m}}{0.085} ω = \frac{v_{c m}}{R} v_{c m} = 3.30 m/s \end{array}$

9.-En la figura de la izquierda, un disco de radio R rueda sin deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sabiendo que la aceleración del centro de masas es a_cmy la aceleración angular de rotación alrededor del c.m. es α .

Determinar la velocidad y aceleración del punto P (punto más alto del disco).

Utilizando el resultado anterior, en el sistema de la figura de la derecha, calcular la del bloque. El disco tiene un radio de 30 cm y rueda sin deslizar a lo largo del plano horizontal. La polea tiene una masa despreciable.

Calcúlese la velocidad del bloque una vez que haya descendido 2 m partiendo del reposo.

Solución

Composición de movimientos: traslación del c.m. y rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Velocidad del punto P

v_P=v_cm+ωR

Para que el disco ruede sin deslizar v_cm=ωR

v_P=2·v_cm

Del mismo modo para la aceleración

a_P=2·a_cm

Movimiento del bloque con aclaración a

$1.5 \cdot 9.8 - T = 1.5 a$

Movimiento del disco:

Traslación del c.m. con aceleración a_cm
Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con aclaración angular α.
Relación entre ambas aceleraciones cuando el disco rueda sin deslizar.

$\begin{array}{l} T - F_{r} = 8 a_{c m} \\ T \cdot R + F_{r} R = (\frac{1}{2} 8 \cdot R^{2}) α \\ a_{c m} = α \cdot R \end{array}} T = 6 a_{c m} F_{r} = - 2 a_{c m}$

La fuerza de rozamiento F_r, en este caso, tiene el mismo sentido que la aceleración

Relación entre las aceleraciones del bloque a, centro de masa del cilindro a_cm,

a=a_P=2a_cm

Resolvemos el sistema de ecuaciones

$\begin{array}{l} T = 3 a \\ 14.7 - T = 1.5 a \end{array}} a = 3.27 {m/s}^{2}$

Cuando el bloque desciende 2 m partiendo del reposo su velocidad calculada por cinemática es

$\begin{array}{l} v = a t \\ 2 = \frac{1}{2} a t^{2} \end{array}} v = 3.61 m/s$

Balance energético. Al comparar la situación inicial y final, vemos que:

El bloque disminuye su energía potencial, ya que desciende 5m
El disco gana energía cinética de traslación y rotación, $\frac{1}{2} m v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} I_{c} ω^{2} v_{c m} = ω R$
El bloque gana energía cinética, $\frac{1}{2} m v^{2}$

No hay pérdida de energía por rozamiento

$\begin{array}{l} 1.5 \cdot 9.8 \cdot 2 = \frac{1}{2} 1.5 v^{2} + \frac{1}{2} 8 v_{c m}^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} 8 \cdot R^{2}) ω^{2} \\ ω = \frac{v_{c m}}{R} v = 2 v_{c m} v = 3.61 m/s \end{array}$

10.-Un cilindro homogéneo de masa M y radio R (momento de inercia MR²/2), está situado sobre una plataforma de masa m que se mueve sobre un plano horizontal sin rozamiento.

Se aplica una fuerza F a la plataforma. Mientras que la plataforma acelera, el cilindro rueda sin deslizar sobre la plataforma. Calcular

La aceleración a_C del c.m. del cilindro
La aceleración a_B de la plataforma
La aceleración del c.m. del cilindro relativa a la plataforma

Masatsugu Suzuki. Lecture Notes of General Physics I and II Calculus Based

Solución

La ecuación del movimiento de la plataforma es

$F - f = m a_{B}$

Ecuación del movimiento del cilindro (figura de la izquierda)

Movimiento de traslación del centro de masas, f=Ma_C
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, Iα=fR
Movimiento relativo del cilindro respecto a la plataforma (figura de la derecha)

El c.m. del cilindro se mueve con una aceleración a relativa a la plataforma -a=a_C-a_B, hacia la izquierda y gira con aceleración α. Para que el cilindro ruede sin deslizar, a=αR

Ecuaciones

$\begin{array}{l} {\begin{cases} f = M a_{C} \\ \frac{1}{2} M R^{2} α = f R \\ a_{C} - a_{B} = - α R \end{cases} \\ F - f = m a_{B} \end{array}$

Resultados

$\begin{array}{l} α R = 2 a_{c}, a_{B} = 3 a_{C} \\ a_{C} = \frac{F}{3 m + M}, a_{B} = \frac{3 F}{3 m + M} \\ a_{C} - a_{B} = - 2 a_{C} = - \frac{2 F}{3 m + M} \end{array}$

11.-Dos discos iguales de masa m y radio R, están dispuestos como se indica en la figura. Calcular

La aceleración del c.m. del disco inferior
La velocidad del c.m. del disco inferior cuando ha descendido x metros partiendo del reposo (efectuando el balance energético)

Solución

Movimiento del disco superior fijo. Ecuación de la dinámica de rotación

$T \cdot R = (\frac{1}{2} m R^{2}) α$

Movimiento del disco inferior:

Traslación del c.m. con aceleración a’+αR
Rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con aclaración angular α’.

$\begin{array}{l} m g - T = m (α R + a') \\ T \cdot R = (\frac{1}{2} m \cdot R^{2}) α' \\ a' = α' \cdot R \end{array}} a' = α R = \frac{2}{5} g$

La aceleración del disco móvil es, a’+αR=4g/5 m/s²

Cuando el disco móvil desciende x m partiendo del reposo su velocidad calculada por cinemática es

$\begin{array}{l} v = \frac{4}{5} g t \\ x = \frac{1}{2} \frac{4}{5} g t^{2} \end{array}} v = \sqrt{\frac{8 g x}{5}} m/s$

Balance energético. Al comparar la situación inicial y final, vemos que:

El disco inferior disminuye su energía potencial, ya que desciende x m
El disco móvil gana energía cinética de traslación y rotación, $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m R^{2}) ω^{2}$

La velocidad del c.m. del disco móvil es v=2ωR

No hay pérdida de energía por rozamiento

$\begin{array}{l} m g x = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m R^{2}) ω^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m R^{2}) ω^{2} \\ v = 2 ω R v = \sqrt{\frac{8 g x}{5}} m/s \end{array}$

12.-Una variante de la máquina de Atwood está formada por una polea fija de radio R y de momento de inercia I_p. Del lado izquierdo, cuelga un cuerpo de masa m₁. Del lado derecho, un disco de radio r, momento de inercia I_s y masa m₂. El hilo que une los cuerpos y que pasa por la polea se supone inextensible y de masa despreciable. Calcular

La aceleración a₂ del c.m. del disco
La aceleración a₁ del cuerpo

Obtener las expresiones de a₁ y a₂ cuando I_p=0, m₁=m₂=m

Abdallah El Idrissi, Dominic Calabrese, Tyler Hickox. Dynamics of a Spool-Block Atwood System. Phys. Teach. 58, 173 (2020)

Solución

En la figura, se muestran las fuerzas sobre cada uno de los cuerpos

las ecuaciones del movimiento son

Del cuerpo

$T_{1} - m_{1} g = m_{1} a_{1}$

De la polea fija

$T_{2} R - T_{1} R = I_{p} α$

Del disco

${\begin{cases} m_{2} g - T_{2} = m_{2} (α R + a_{2}^{'}) \\ T_{2} r = I_{s} α' \end{cases}$

Relación entre las aceleraciones

${\begin{cases} a_{1} = α R \\ a_{2}^{'} = α' r \\ a_{2} = a_{2}^{'} + α R = α' r + a_{1} \end{cases}$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

${\begin{cases} T_{1} = m_{1} g + m_{1} α R \\ T_{2} - T_{1} = I_{p} \frac{α}{R} \\ T_{2} = m_{2} g - m_{2} (α R + α' r) \\ T_{2} = I_{s} \frac{α'}{r} \end{cases}$

De las dos últimas despejamos α'

$\begin{array}{l} α' = \frac{m_{2} g - m_{2} α R}{\frac{I_{s}}{r} + m_{2} r} \\ a_{2} = α' r + a_{1} = \frac{m_{2} g r^{2} + I_{s} a_{1}}{m_{2} r^{2} + I_{s}} \end{array}$

Despejamos α

$\begin{array}{l} α = \frac{\frac{I_{s} m_{2} g}{I_{s} + m_{2} r^{2}} - m_{1} g}{\frac{I_{p}}{R} + \frac{I_{s} m_{2} R}{I_{s} + m_{2} r^{2}} + m_{1} R} \\ a_{1} = α R = \frac{I_{s} (m_{2} - m_{1}) g R^{2} - m_{1} m_{2} g r^{2} R^{2}}{I_{p} (I_{s} + m_{2} r^{2}) + I_{s} (m_{2} + m_{1}) R^{2} + m_{2} m_{1} r^{2} R^{2}} \end{array}$

Cuando I_p=0, m₁=m₂=m

$\begin{array}{l} a_{1} = \frac{- m g r^{2}}{2 I_{s} + m r^{2}} \\ a_{2} = \frac{m g r^{2}}{2 I_{s} + m r^{2}} \end{array}$

Las aceleraciones son iguales y de sentido contario

13.-Sea un cilindro de masa m y radio R con una extensión de radio r y masa despreciable donde se enrolla una cuerda.

Se tira de la cuerda con una fuerza T, el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano horizontal.

Calcular la aceleración del centro del cilindro a_c y la fuerza de rozamiento F_r

Si el coeficiente estático es μ_s, determinar la fuerza T_l límite para que el cilindro empice a deslizar.

Determinar la aceleración a_c del centro del cilindro y la aceleración angular α cuando se incrementa la fuerza T por encima del valor límite, sabiendo que el coeficiente cinético es μ_k

Datos: Datos masa m=56 g, radio exterior R=49.5 mm, radio interior, r=20.5 mm; coeficiente estático y cinético μ_s=μ_k=0.3

Rod Cross, Friction Forces on a Pulled Spool. The Physics Teacher, Vol. 62, December 2024, pp. 725-727

Solución

Representamos las fuerzas que faltan, el peso mg, la reacción N y la fuerza de rozamiento F_r

El cilindro rueda sin deslizar. Las ecuaciones del movimiento son

$\begin{array}{l} {\begin{cases} T - F_{r} = m a_{c} \\ F_{r} R - T r = \frac{1}{2} m R^{2} α \end{cases} \\ a_{c} = α R \end{array}$

Despejamos la aceleración del centro de masas del cilindro a_c y la fuerza de rozamiento F_r

$\begin{array}{l} a_{c} = \frac{2}{3} \frac{T}{m} (1 - \frac{r}{R}) \\ F_{r} = \frac{1}{3} T (1 + 2 \frac{r}{R}) \end{array}$

Se cumple que F_rR>Tr, el cilindro se mueve en el sentido indicado en la figura

La fuerza de rozamiento se incrementa con T, que alcanza un valor límite cuando F_r=μ_sN

$\begin{array}{l} μ_{s} N = \frac{1}{3} T (1 + 2 \frac{r}{R}) \\ μ_{s} m g = \frac{1}{3} T (1 + 2 \frac{r}{R}) \\ T_{l} = \frac{3 μ_{s} m g}{(1 + 2 \frac{r}{R})} \end{array}$

Para T>T_l, la fuerza de rozamiento vale F_r=μ_kN, el cilindro rueda y desliza

$\begin{array}{l} {\begin{cases} T - μ_{k} m g = m a_{c} \\ μ_{k} m g R - T r = \frac{1}{2} m R^{2} α \end{cases} \\ a_{c} = \frac{T}{m} - μ_{k} g \\ α = 2 (\frac{μ_{k} g}{R} - \frac{T}{m} \frac{r}{R^{2}}) \end{array}$

La aceleración del centro de masas del cilindro aumenta con T y la aceleración angular disminuye

Representamos la aceleración angular α en función de la aceleración del centro de masas del cilindro a_c

m=56/1000; %masa
R=49.5/1000; %radio exterior
r=20.5/1000; %radio interior
mu=0.3; %coeficiente, estático, cinético
Tl=3*mu*m*9.8/(1+2*r/R);
ac=@(T) 2*T*(1-r/R)/(3*m);
alfa=@(T) ac(T)/R;
hold on
fplot(ac, alfa,[0,Tl])

ac=@(T) T/m-mu*9.8;
alfa=@(T) 2*(mu*9.8/R-T*r/(m*R^2));
fplot(ac, alfa,[Tl,2*Tl])
line([ac(Tl),ac(Tl)],[0,alfa(Tl)],'lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('a_c (m/s^2)')
ylabel('\alpha (rad/s^2)')
title('Aceleración de un carrete')

Vemos que hay dos regiones: la primera T<T_l, el cilindro rueda sin deslizar a_c=αR y la otra, T>T_l, en la que el cilindro rueda y desliza, las aceleraciones a_c y α ya no son proporcionales