Bi higidura-mota gainezarrita: translazioa eta errotazioa

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Solido zurruna

 
Solido zurrunaren
higidura orokorra
marca.gif (847 bytes)Bi higidura-mota
gainezarrita
Maxwell-en gurpila
Errotazioa eta
translazioa
egokituta (I)
Gurpil bati indar
horizontala aplikatu
Gurpila malda
inklinatuan errodatzen
Errotazioa eta
translazioa
egokituta (II)
Deformazioak
gurpilean eta planoan
Gurpila errodatzen
eta azpiko planoa
desplazatzen
Bi esfera aurrez-
aurre talka egiten
Perkusio bat
billar-bola batean
Esfera bat mugitzen 
plano horizontal
batean
Billar-bola bi 
talka egiten
 Solido zurrunaren higidura orokorra

java.gif (886 bytes) Irristatu gabe errodatzea

java.gif (886 bytes) Higidura-mota bi gainezarrita

java.gif (886 bytes) Gurpileko puntu baten abiadura eta ibilbidea
 

Solido zurrunaren higidura orokorra

Orri honetan solido zurrunaren higidura orokorra aztertzen da, betiere O erreferentzia-sistema inertzial baten ikuspegitik. Solido zurrunaren ezaugarri nagusia da ez dela deformatzen, alegia, solidoko puntuen posizio erlatiboak ez direla aldatzen, solidoak indarrak jasaten dituen arren.

Ondoko irudian ikusten denez, solidoko P puntu baten posizioa honela adieraz daiteke:

rP=rM.Z.+R

M.Z. solidoaren masa-zentroa da, eta R bektorea, masa-zentrotik P puntura doan bektorea. Bektore horrek modulua konstantea izango du, solidoa ez delako deformatzen.

general.gif (2282 bytes)

Posizioaren adierazpen hori denborarekiko deribatzen bada:

Lehen terminoa, vP, P puntuaren abiadura da, bigarrena, vM.Z. masa-zentroaren abiadura eta hirugarrena P puntuaren abiadura erlatiboa masa-zentroarekiko.

rotacion.gif (2951 bytes) P puntuaren abiadura erlatiboa masa-zentroarekiko, errotazio-hutsa izan daiteke soilik, R bektoreak modulu konstantea duelako (solidoa ez da deformatzen). Ondoko irudiak erakusten duen bezala, P puntuak w abiadura angeluarrarekin errota dezake soilik M.Z. tik pasatzen den ardatz batekiko.

Hortaz, solidoko P puntu baten abiadura beti bana daiteke bi zatitan: batetik masa-zentroaren translazio-abiadura eta bestetik P puntuaren errotazio-abiadura masa-zentrotik pasatzen den ardatzaren inguruan.

Irristatu gabe errodatzea

Ikusi dugunez, solido zurrun baten higidura orokorra bi zatitan bana daiteke: masa-zentroaren translazio-abiadura eta solidoaren errotazio-abiadura masa-zentroaren inguruan. Gurpil bat irristatu gabe errodatzen ari denean, gurpilak biratu egiten du eta transaldatu ere bai, biak aldi berean.

  • Translazioari dagokionez, solidoko puntu guztiek dute masa-zentroaren abiadura bera (vMZ), beraz, denek dituzte abiadura paraleloak eta modulu berekoak.
  • Errotazioari dagokionez, biraketa-ardatza masa-zentroan kokatzen bada, puntu guztiek zirkuluak deskribatzen dituzte beraren inguruan: errotazio-abiadura zirkulu horren tangentea da eta modulua, wR, izan ere, zirkuluaren R erradioaren proportzionala.

Baina gurpilak irristatu gabe errodatzen badu gainazal zuzen baten gainean, badago erlazio finko bat translazioaren eta errotazioaren artean: zorua ukitzen ari den gurpileko puntua geldi dagoela (gurpilaren azpiko puntua). Beraz, honako baldintza betetzen da:

vM.Z.=w R

Gurpilaren masa-zentroaren translazio-abiadura da (vM.Z) gurpilaren w abiadura angeluarra bider R erradioa.

Baldintza hori ezagututa, gurpileko beste edozein punturen abiadura ere kalkula daiteke. Demagun puntu bat, gurpilaren zentrotik r distantziara dagoena, eta bere posizioak φ angelua osatzen duena horizontalarekiko (har ditzagun angelu positiboak erlojuaren orratzen alde, izan ere gurpilaren errotazioaren noranzko berean).

Hona hemen puntu horren abiaduraren modulua eta X ardatzarekin osatzen duen angelua:

Adibidea:

Esaterako r=R=1; justu gurpilaren ertzean.

  • φ=π/2 denean, justu posizio bertikalean dagoenean, v=0
  • φ=π denean, justu X ardatzaren gainean eta alde negatiboan , θ=π/4 (45º).
  • Eta φ=3π/2 denean, justu posizio bertikalean baina goiko aldean: v=2vM.Z, θ=0

Demagun, r=0.5

  • φ=π/2 denean, justu posizio bertikalean, v=0.25, θ=0
  • φ=π denean, justu X ardatzaren gainean eta alde negatiboan, , θ=0.46 rad=26.6º
  • Eta φ=3π/2 denean, justu posizio bertikalean eta goiko aldean: v=1.5vM.Z, θ=0

Saiakuntza

Ondorengo applet-ean gurpil bateko edozein punturen abiadura kalkula daiteke. Aukeran idatz daitezke:

  • P puntuaren posizioaren angelua, φ , gradutan, desplazamendu-barrari saguaz eragiten, edo laukian idatziz. Angelu positiboak erlojuaren orratzen alde hartu dira, izan ere, gurpilaren errotazioaren noranzko bera.

  • P puntuaren posizioaren r distantzia gurpilaren zentroraino. Desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

  • Gurpilaren erradioa finkotzat hartzen da: R=1 m

  • Eta gurpilaren masa-zentroaren abiadura ere finkotzat hartu da: vM.Z.=1 m/s

Kalkulatu botoia sakatu:

Irudian bi disko ikusten dira. Ezkerreko diskoan:

  • Bektore urdin batek masa-zentroaren translazio-abiadura adierazten du, vm.z.

  • Bektore gorri batek puntuaren errotazio-abiadura adierazten du, ωr, masa zentrotik pasatzen den ardatzaren inguruan duena.

Eskumako diskoan, bektore beltz batek adierazten du aurreko bi bektoreen batura bektoriala, alegia translazioaren eta errotazioaren bektore erresultantea.

Leihatilaren goiko aldean idatziz erakusten da, P puntuaren abiaduraren v modulua eta eta abiaduraren norabideak X ardatzarekiko osatzen duen θ angelua.
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Higidura-mota bi gainezarrita

Ondorengo programa interaktiboak erakutsi nahi du solido zurrunaren higidura orokorra beti bi zatitan bana daitekeela: batetik masa-zentroaren translazioa eta bestetik solido osoaren errotazioa masa-zentrotik pasatzen den ardatz baten inguruan.

Bestalde, gurpila gainazal zuzen baten gainean mugitzen ari denean, erakutsi nahi da zein erlazio bete behar duten translazioak eta errotazioak gurpilak irristatu gabe erroda dezan.

Aukeran idatz daitezke:

  • Gurpilaren errotazio-abiadura, (rad/s-tan) zerrenda tolestuan aukeratuz.
  • Gurpilaren masa-zentroaren translazio-abiadura finkotzat hartu da: vM.Z.=1.0
  • Gurpilaren erradioa ere finkotzat hartu da: R=1.0

Hasi botoia sakatu.

Leihatilan hiru gurpil adierazten dira. Hiru gurpiletan zazpi puntu aukeratu dira abiaduren adierazgarri.

Goiko gurpilean, bektore urdinek soilik errotazioari dagozkion abiadurak adierazten dituzte (gurpilak zentroaren inguruan biratzen du). Erdiko gurpilean, bektore urdinek soilik translazioari dagozkion abiadurak adierazten dituzte (abiadura guztiak paraleloak eta berdinak dira). Eta beheko gurpilean, bektore gorriek abiadura erresultanteak adierazten dituzte, alegia, translazio-abiadura eta errotazio-abiaduraren batura bektoriala.

Irristatu gabe errodatzea kasu berezi bat baino ez da eta, kasu horretan, zorua ukitzen duen gurpileko puntuak, une horretan, abiadura nulua dauka. Gainera, vm.z. translazio-abiadura eta w errotazio-abiadura angeluarra erlazionatuta egon behar dute: vm.z=w R. Egiazta bitez applet-ean:

  • Zorua ukitzen duen gurpileko puntuak, une horretan, abiadura nulua daukala.
  • Masa-zentroaren abiadura vm.z bada, irristatu gabe errodatzeko, abiadura angeluarra hauxe izan behar dela: w=vc/R. Beste edozein abiadura angeluarrekin irristatu egiten du (derrapatu), bai aurrerantz zein atzerantz.
  • Gurpileko goreneko puntuaren abiadura 2·vm.z. dela, justu masa zentroaren abiaduraren bikoitza.
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Gurpileko puntu baten abiadura eta ibilbidea

Ondorengo programa interaktiboak gurpileko edozein punturen abiadura eta ibilbidea kalkulatzen ditu.

Berria botoia sakatu.

  • Gurpilaren gainean dagoen puntu urdina saguarekin gora eta behera desplaza dezakegu: sagua puntuaren gainean kokatu eta ezkerreko botoia sakatu. Botoia sakatuta mantenduz puntua desplazatu eta nahi den tokira eraman. Azkenik, saguaren ezker botoia askatu.

Leihatilaren goiko aldean, idatziz erakusten da puntu horren posizio erlatiboa gurpilaren zentroarekiko. Gurpilaren erradioa finkoa da: R=1metro.

Aukeran idatz daiteke:

  • Gurpilaren errotazioaren abiadura angeluarra (rad/s-tan) zerrenda tolestuan aukeratuz.
  • Masa-zentroaren translazio-abiadura finkotzat hartu da: vm.z.=1.0

Hasi botoia sakatu.

Gurpila mugitzen hasten da eta puntu urdinaren ibilbidea urdinez marrazten da: ibilbide-mota horri zikloide deritzo. Gainera, puntu horren abiadura ere erakusten da bektore beltz batez: uneoro ibilbidearekiko tangentea da. Puntu horren abiadura bi bektoreren batura da, alegia, bi bektore gorrien batura:

  • Batetik, masa-zentroaren translazioa (vmz), abiadura konstantea.
  • Eta bestetik, errotazioaren abiadura (w·r). Bere modulua konstantea da, eta zentrorainoko r distantziaren proportzionala, baina norabidea aldiz, aldatuz doa: uneoro norabide erradialarekiko perpendikularra da.

Har bedi, esaterako gurpilak irristatzen ez duen kasua, eta beha bedi honako hiru puntuen ibilbidea:

  • Gurpilaren ertzeko puntu bat.
  • Gurpilaren zentroa.
  • Ertzaren eta zentroaren arteko puntu bat.

Gurpilak bere bidea bukatzen duenean, berriro sakatu behar da berria botoia beste esperimentu bat behatzeko.

Beha bitez baita ere, gurpilak irristatzen (derrapatzen) duen kasuetako ibilbideak.
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Hasteko, mugi bedi puntu urdina saguarekin, gora eta behera, gurpilaren zentrorantz hurbilduz edo urrunduz.