Dinamika

Mugimendua, fluido
batean barrena

Stokes-en formula

Fluidoen
biskositatea
nola neurtu (I)

Fluidoen
biskositatea
nola neurtu (II)

Paraxutista
baten jaitsiera

Esfera bat bertikalki
mugitzen fluido
batean barrena

Tiro parabolikoa
marruskaduraz

Higidura zuzenaren
eredua fluido
batean barrena

Paraxutista jaisten, atmosfera ez uniformetan

Erreferentzia

Aurreko orri bietan gorputz baten erorketa aztertu dugu fluido batean zehar, eta fluidoa erregimen laminarrean (turbulentziarik gabe, marruskadura-indarra abiaduraren proportzionala da). Oraingoan gorputz baten erorketa aztertuko dugu, fluido batean zehar baina erregimen turbulentuan (marruskadura-indarra abiaduraren karratuaren proportzionala da).

Paraxutista jaisten atmosfera uniformetan

Paraxutista batek hegazkin batetik salto egitean (paraxuta zabaldu aurretik) erorketa askea du, indar bakarra jasaten du, pisua; bere azelerazioa konstantea da eta bere higiduraren ekuazioak gorputzen erorketan aztertutakoak.

Paraxuta irekitzean, pisuaz gain, marruskadura-indarra ere jasaten hasten da, izan ere, abiaduraren karratuaren proportzionala.

Paraxuta ireki aurreko erorketa askea

Paraxutistak indar bakarra jasaten du, pisua. Aireak egite dion flotazio-bultzada arbuiagarria da airearen dentsitatea gorputzarena baino asko txikiagoa delako. Bestalde, paraxuta ireki aurretik, aireak egiten dion marruskadura-indarra txikia dela suposatuko dugu.

Higiduraren jatorritzat saltoaren posizioa hartzen bada, eta X ardatza gorantz (alboko irudiak erakusten duen bezala) hona paraxutistaren higidura-ekuazioak: a=-g             v=-gt               x=x0-gt2/2

Paraxuta ireki ondoren

Paraxutistak bi indar jasaten ditu: pisua eta marruskadura indarra, abiaduraren karratuaren proportzionala: ma= -mg+kv2

Marruskadura-indarraren proportzionaltasun konstantea hau da: k=ρAδ/2

• r : airearen dentsitatea da. Itsasoaren mailan 1.29 kg/m³. Oraingoan, konstantetzat hartuko dugu, baina altuerarekin aldatzen da.
• A : paraxutaren zeharkako azalera.
• d : objektuaren formaren araberako koefiziente bat: koefiziente aerodinamikoa deritzo.

Ondoko taulan zenbait objekturen koefiziente aerodinamikoak erakusten dira:

Orokorrean, paraxutista batek diametro bereko esfera batek baino aerodinamika txarragoa du, baina aurrez-aurreko disko zirkular batek baino hobea. Har dezagun beretzat batezbesteko koefiziente aerodinamikoa: d=0.8.

Paraxuta ireki ondoren bere abiadura moteltzen hasten da, marruskadura-indarra handia delako. Abiadura moteldu ahala, marruskadura ere moteltzen doa, harik eta pisuaren berdina egiten den arte. Une horretatik aurrera pisua eta marruskadura berdinak dira, beraz azelerazioa nulua, eta abiadura konstantea: izan ere, abiadura limitea: v_l.

-mg+kv²=0

Abiadura limitea ez da hasierako abiaduraren menpekoa, beraz abiadura-limite berdina du, paraxuta lehenago edo geroago irekita. Ondorengo irudiaren ezkerrekoan paraxuta laster ireki da eta eskumakoan beranduago, baina biek dute abiadura-limite bera.

Higiduraren ekuazioa

Paraxuta ireki ondoren, higiduraren ekuazioa honela idatz daiteke:

Higidura-ekuazio hori integratuz, paraxutistaren v abiadura lortzen da t denboraren menpe. Hasierako baldintzak: paraxuta irekitzen duen aldiunea t₀ eta une horretan duen abiadura v₀.

Integrazioa egiteko aldagaia aldatu: v=z·v_l.

Ondoren, aldagai-aldaketa desegin, eta v bakandu behar da (t-t₀)-ren menpe. Zenbait operazioren ondoren honako adierazpena lortzen da:

Bestela, paraxutistaren posizioa kalkula daiteke bere abiaduraren menpe, aldaketa bat eginda:

Orduan, higidura-ekuazioa honela berridazten da:

Ekuazio hori berehala integra daiteke:

Eta paraxutistaren x altuera idatz daiteke bere v abiaduraren menpe:

Hortik, v abiadura bakantzen bada x posizioaren menpe:

Saiakuntza:

Aukeran idatz daitezke:

• Paraxutistaren masa (50-100) kg , tarte horretako zenbaki bat idatziz dagokion laukian.
• Paraxutaren azalera (0.2-1) m², tarte horretako zenbaki bat idatziz dagokion laukian.

Hasi botoia sakatu.

Paraxutista erortzen hasten da grabitatearen azelerazioaz. Nahi denean, paraxuta ireki eta aurrerantzean erorketa ez da askea.

Paraxutista zirkulu gorri batez adierazten da eta paraxuta irekitzen duenean lauki urdin batez inguratzen da. Jasaten dituen bi indarrak adierazten dira:

• Gorriz pisua, indar konstantea.
• Urdinez, marruskadura indarra, abiaduraren karratuaren proportzionala.

Indar biak berdintzen direnean paraxutistaren abiadura konstantea bilakatzen da, izan ere, hori da abiadura limitea. Erraz egiazta daiteke abiadura-limitea berdina dela, paraxuta lehenago edo geroago irekita.

Abiadura limitea paraxutistaren masarekin eta paraxutaren azalerarekin aldatzen da:

• Manten bedi konstante paraxutistaren masa eta aldatu paraxutaren azalera.
  
• Manten bedi konstante paraxutaren azalera eta aldatu paraxutistaren masa.

Adibidea:

• Paraxutistaren masa, m=72 kg,
• Paraxutaren azalera, A=0.6 m²
• Paraxutistak salto egiten duen puntuaren altuera: x=2000 m
• Paraxuta irekitzen duen puntuaren altuera: x=1000 m, lurrarekiko.

Kalkula bedi zein abiaduraz iristen den lurrera.

Abiadura limitea kalkulatzen da: v_l  

• Airearen dentsitatea r=1.29 kg/m3
• Koefiziente Aerodinamikoa: d =0.8

Paraxuta ireki baino lehen erorketa askea du. Kalkula dezagun zein abiadura duen paraxuta irekitzen duen unean, alegia, x=1000 m posizioan:

1000=2000-9.8·t²/2
v= -9.8·t

v= -140 m/s

Hori da hasierako abiadura ondoren hasiko den higidurarako: v₀= -140 m/s eta posizioa x₀=1000 m

Eta paraxutistaren abiadura lurreraino iristean: x=0,

v= -47.7 m/s

Justu abiadura limitea

Paraxutista erortzen  atmosfera ez uniformetan

Aurreko atalean ikusi da paraxutista batek salto egiten duenean, lehenik, abiadura handitzen doala, baina paraxuta irekitzean abiadura moteltzen dela eta limitean konstante bilakatzen dela.

Honako atalean ikusiko dugu, atmosferaren presioa altuerarekin gutxitzen doala, eta horrek baduela eragina airearen dentsitatean, eta hortaz koefiziente aerodinamikoan. Paraxuta irekitzean abiadura moteltzen doa, izan ere, abiadura limiterantz, baina oraingoan abiadura limitea bera gutxitzen doa altuera galtzen duen heinean.

Presioa nola aldatzen den altuerarekiko

Atmosfera isotermiko batean presioa aldatzen da x altuerarekiko Laplace-ren legearen arabera:

• P₀ : atmosferaren presioa itsasoaren mailan (x=0).

• M : airearen pisu molekularra: 28.8 g/mol=0.0288 kg/mol

• g : grabitatearen azelerazioa.

• k=1.3805·10^-23 J/K  Boltzmann-en konstantea.

• T : atmosferaren tenperatura, kelvin-etan.

• N_A=6.0225·10²³ Avogadro-ren zenbakia, mol batek duen molekula kopurua.

Izatez atmosfera ez da isotermikoa, baina presioarekiko duen aldakuntza gutxi gora behera esponentziala da batezbesteko tenperatura hau hartzen bada: 254 K.

P₀= 1 atm da, atmosferaren presioa itsasoaren mailan. Esaterako x=10000 m-ko altueran presioa 0.26 atm da bakarrik.

Higiduraren ekuazioa

Hona hemen higiduraren ekuazioa atmosfera ez uniformea denean:

Ekuazio hori bestela berridatz daiteke:

k₀ marruskadura-indarraren proportzionaltasun konstantea da, baina itsasoaren mailan, alegia presioak P₀ balio duenean, eta beste konstantea, λ=kT/Mg=7482.2.m^-1, lehen kalkulatutakoa atmosferaren datu molekularrekin.

Ekuazio hori serie infinituen bidez ebatz daiteke, ikus bedi erreferentzian aipatutako artikulua. Ondorengo programa interaktiboak metodo numerikoen bitartez burutzen ditu kalkuluak.

Paraxutistak atzematen duen abiadura maximoa

Oraingo honetan suposatuko da paraxuta hasieratik irekitzen duela. Paraxutista erortzen hasi eta berehala abiadura handitzen doa, baina maximo bat atzematen du (v_m) Eta ondoren abiadura motelduz doa lurrera iristen den arte.

Abiadura maximoa atzematen denean,  dv/dx=0. Eta hortik ateratzen da abiadura maximoa atzematen den tokiaren altuera (x_m):

Hemen v_l da, paraxutistaren abiadura limitea atmosfera uniformea balitz.

x_m kalkulatzeko, v=v(x) soluzio analitikoa ezagututa, prozedura numerikoen bidez lor daiteke, baina ez dugu orain azalduko, kalkulu matematiko konplexuegiak baitira.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Paraxutistaren m masa (50-100) kg  dagokion laukian idatziz.
• Paraxutaren azalera (0.2-1) m² dagokion laukian idatziz.
• Saltoaren altuera (km) paraxutista abiatzen denekoa, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu:

Paraxutista hasieratik abiatzen da paraxuta irekita duela.

Applet-aren ezkerraldean grafikoki adierazten da presio atmosferikoa altueraren menpe, atmosfera isotermoa dela suposatuz.

Alboan, paraxutista erortzen behatzen da (zirkulu beltza marra urdinaz inguratuta) eta bere inguruko atmosferaren presio aldakorra kolore gorriaren gorritasunaz adierazten da, alegia, itsaso-mailan gorri iluna eta hortik gora gero eta zurixkagoa.

Applet-aren eskumako aldean grafikoki adierazten da paraxutistaren abiadura altueraren menpe. Izan ere, ardatzetan adierazten diren aldagaiak hauek dira:

• Ardatz horizontalean: 1-x/x₀, eta hemen x₀ saltoaren altuera da.

• Ardatz bertikalean, v/v_l, eta hor v_l paraxutistaren abiadura limitea da, atmosfera uniformea balitz.

Behatzen denez, paraxutistaren abiadura handitzen doa erortzen den heinean, baina maximo bat atzematen du eta hortik behera abiadura motelagotzen doa. Azkenean, lurrera iristean, v→v_l  jotzen du, beraz grafikoan, v/v_l=1.

Adieraz bedi grafikoki paper batean abiadura maximoko altuera (x_m), paraxutistaren hasierako altueraren menpe (x₀). Abiadura maximoko x_m-ra hurbiltzen joateko erabil bitez Gelditu/Jarraitu eta Pausoka botoiak.

Adibidea:

• Paraxutistaren Masa: m=72 kg,
• Paraxutaren azalera: A=0.6 m²
• Paraxutistaren hasierako altuera salto egiten duen unean: x₀=30000 m

Paraxutistak atzemango lukeen abiadura limitea atmosfera uniformea balitz.

v_l= 47.7 m/s

Behatzen denez, abiadura maximoa atzematen du x_m=23996 m altueran dagoenean. Posizioa eta altuera (x_m eta v_m) erlazionatzen dituen ekuaziotik v_m abiadura maximoa kalkula daiteke:

v_m=237.3 m/s

Programa interaktiboak ematen duen balioa hau da: v_m=238.5 m/s