Dinamika

Mugimendua, fluido
batean barrena

Stokes-en formula

Fluidoen
biskositatea
nola neurtu (I)

Fluidoen
biskositatea
nola neurtu (II)

Paraxutista
baten jaitsiera

Esfera bat bertikalki
mugitzen fluido
batean barrena

Tiro parabolikoa
marruskaduraz

Higidura zuzenaren
eredua fluido
batean barrena

Marruskadura-indarra, abiaduraren karratuaren proportzionala

Erreferentziak

Programazio-kodea

Aurreko kapituluan aztertu dugu esfera bat bertikalki mugitzen fluido baten barnean. Esfera hori gorantz jaurti, altuera maximoraino iritsi eta berriro erortzen da. Mugimendu guztia fluido baten barnean gertatzen da, alegia, marruskaduraz, eta konparatzen da hutsean izango lukeen mugimenduarekin.

Fluidoak egiten duen erresistentzia adierazteko eredu ezberdin bi erabili ditugu:

• Marruskadura-indarra abiadurarekiko linealki proportzionala, Reynolds-en zenbakia txikia den kasuetarako.

• Marruskadura-indarra abiaduraren karratuaren proportzionala, Reynolds-en zenbakia handia den kasuetarako.

Kapitulu honetan ere jaurtigaiak aztertuko ditugu, v₀ abiaduraz jaurtita, baina q  angelu ezberdinekin, eta ibilbide osoa fluido baten marruskadurarekin egiten dute.

Grabitatearen azelerazio konstantepeko higiduran aztertu genuen, marruskadurarik gabe, proiektil baten irismena maximoa zela q =45º angeluaz jaurtitzen bada. Oraingo honetan gauza bera aztertuko dugu baina esfera bat mugitzen da (esaterako golf pilota bat) airea bezalako fluido batean.

Marruskadura indarra, abiadurarekiko linealki proportzionala

Airearen flotazio-bultzada arbuiatzen bada, m masadun gorputzak bi indar baino ez ditu jasaten.

Pisua: mg Marruskadura-indarra, Fr, abiadura-bektorearen noranzkoaren aurka (ibilbidearekiko tangentea). Fr= -mbv.

Hortaz, gorputzaren higiduraren ekuazioak:

Ekuazio diferentzial horien soluzioak abiaduraren bi osagaiak dira: (hasierako baldintzak: t=0, v_x=v_0x, v_y=v_0y)

Berriz ere integratuz partikularen posizioa lortzen da: (hasierako baldintzak t=0, x=0, y=0)

Proiektilak, jaurtitzerakoan, v₀  abiadura eta q  angelua badu horizontalarekiko, hona hemen bere hasierako abiaduraren osagaiak:

v_0x=v₀·cosq
v_0y=v₀·sinq

Proiektilaren irismen maximoa, altuera maximoa eta hegaldiaren iraupena

Proiektila lurrera iristean, y=0, eta jatorriraino duen x=R distantzia irismena da.

Posizioaren lehen ekuazioan x=R ordezkatu eta t denbora bakan daiteke, alegia hegaldiaren iraupena.

Bigarren ekuazioan denbora hori ordezkatuz eta y=0.

Ekuazio horretan R da ezezagun bakarra, baina ekuazio transzendentea da.

Altuera maximoa kalkulatzeko, abiadura bertikalaren ekuazioan, v_y=dy/dt=0, eta hor ere t denbora bakan daiteke eta gero emaitza hori y posizioaren ekuazioan ordezka daiteke:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke

• b parametroa, 1/s unitateetan, dagokion laukian idatziz.

• Jaurtiketaren hasierako v₀ abiadura, m/s-tan, dagokion laukian idatziz (v<100m/s).

• Jaurtiketaren θ angelua: desplazamendu barrari saguaz eragiten.

Kalkulatu botoia sakatzen da.

• Programak hegaldiaren iraupena kalkulatzen du.

• R irismena. Horretarako ekuazio transzendentea ebazten du erdiko puntuaren prozedura numerikoaz.

• Altuera maximoa.

Emaitzen alboan, eta parentesi artean, tiro paraboliko idealarenak erakusten dira (marruskadurarik gabe).

Marruskadura dagoenean (b≠0) irismen maximoa ez da lortzen 45º-ko angeluarekin, angelu txikiagoarekin baizik. Kalkula bitez irismenak honako angeluekin: 45º, 44º, 43º...

Hurbilketak

Airearen erresistentzia txikia bada (b~0) orduan badago termino bat berretura-serie gisa gara daitekeena, alegia, ln(1-bR/v_0x).

Hirugarren ordenako berreturaraino garatuz:

Zenbait eragiketa eginez bigarren graduko ekuazioa lortzen da R-rentzat:

Hemen R₀ da, marruskadurarik gabeko irismena.

Adibidea: Demagun esaterako v₀=60 m/s eta θ=45º

Marruskadurarik gabe irismena hau da:

Airearen marruskadura txikia denean, b=0.01, bigarren graduko ekuazioa ebatziz R irismen maximoa lortzen da: R=348.3 m

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• b parametroa, s^-1  unitateetan, dagokion laukian idatziz (b<1).
• Hasierako abiadura, v₀, m/s-tan dagokion laukian idatziz (v<100m/s).

Programa interaktiboak jaurtiketa-multzo bat kalkulatu eta irudikatzen ditu ibilbide osoak (gorriz) angelu ezberdinetarako: 10º, 15º, 20º, 25º, 30º, 35º, 40º eta 45º .

Alboan, konparatzeko, marruskadurarik gabe jarraitzen den ibilbidea urdinez  irudikatzen da, abiadura bera eta 45º-ko jaurtiketarako.

Leihatilaren goiko eta eskumako aldean proiektil bakoitzaren irismena idatziz erakusten da. Bertan ikus daiteke irismen maximoa ez dela lortzen 45º-ko jaurtiketan, angelu txikiagoaz baizik. Bestalde, eta espero zitekeen bezala, marruskadurarik gabe eta 45º-ko angeluaz irismena denetatik handiena da.

Marruskadura-indarra, abiaduraren karratuaren proportzionala.

Oraingoan ere flotazio-bultzada arbuiatzen bada, m masadun gorputzak jasaten dituen indarrak bi baino ez dira:

• Pisua, mg
• Marruskadura indarra, F_r, abiadura-bektorearen aurkako noranzkoaz (ibilbidearekiko tangentea) F_r= -bmv·v.

Hona hemen gorputzaren higiduraren ekuazioak:

Ekuazio-sistema hori akoplatua da eta prozedura numerikoez ebatz daiteke soilik, esaterako Runge-Kutta metodoa.

Hasierako baldintzak ordea, aurreko ataleko berak dira: t=0, v_0x=v₀·cosq , v_0y=v₀·sinq , x=0, y=0

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• b parametroa, m^-1 unitateetan, dagokion laukian idatziz (b<1).
• Jaurtiketaren v₀ hasierako abiadura (m/s) dagokion laukian idatziz.

Programa interaktiboak jaurtiketa-multzo bat kalkulatu eta irudikatzen ditu ibilbide osoak (gorriz) angelu ezberdinetarako: 10º, 15º, 20º, 25º, 30º, 35º, 40º eta 45º .

Alboan, konparatzeko, marruskadurarik gabe jarraitzen den ibilbidea urdinez  irudikatzen da, abiadura bera eta 45º-ko jaurtiketarako.

Leihatilaren goiko eta eskumako aldean proiektil bakoitzaren irismena idatziz erakusten da. Bertan ikus daiteke irismen maximoa ez dela lortzen 45º-ko jaurtiketan, angelu txikiagoaz baizik. Bestalde, eta espero zitekeen bezala, marruskadurarik gabe eta 45º-ko angeluaz irismena denetatik handiena da.

Irismena, altuera maximoa eta hegaldiaren iraupena

Aurreko atalean, proiektilaren ibilbidea kalkulatzeko, bigarren ordenako ekuazio diferentzialak ebatzi dira. Atal honetan ere higiduraren ekuazioak integratuko ditugu irismena, altuera maximoa eta hegaldiaren iraupena kalkulatzeko.

Erreferentzia-sistema ezberdina erabiliko dugu: oraingoan higiduraren ekuazioak norabide tangentzial eta norabide normalean idatziko ditugu. ρ ibilbidearen kurbadura-erradioa da.

Irudiak erakusten duen bezala, denbora-tarte infinitesimal batean (t eta t+dt aldiuneen artean) abiadura-bektorearen norabidea aldatu egiten da dθ angelu bat. Angelu hori norabide tangenteen arteko angelua da (urdinak) baina norabide normalen artekoa ere bai (gorriak). Tarte horretan gorputza desplazatu den distantzia hau da: ds=ρ·dθ.

Kontutan izan behar da, jaurtiketaren kasuan, ibilbidearen kurbadura negatiboa dela (eskumako irudian bezala). Ibilbidea bera tangentea baino eskumarago dago x handitzen den norabidean. Erlazio hori honela adierazten da:

Orduan, higiduraren bi ekuazioak, norabide tangentzialean eta norabide normalean, ekuazio bakar bat bilakatzen dira, izan ere, lehen ordenako ekuazio diferentziala:

Aldagaia aldatuz, u=1/v², honela berridatz daiteke:

Ekuazio hori lineala da (ikus  bedi esaterako Puig Adam P., Curso teórico-práctico de Ecuaciones Diferenciales aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1970. Orriak: 29-30).

Bila dezagun honelako itxurako soluzio bat: u=w(θ)·z(θ)

Eta parentesia anulatu behar da:

Horren integrala erraz kalkulatzen da:

Oraindik honakoa geratzen da:

Zatika integra daiteke:

Azken integral hori ebazteko beste aldagai-aldaketa bat egin behar da: t=tan(θ/2)

Horrela,

Eta bukatzeko,

Integrazio konstantea, C₂ , hasierako baldintzetatik kalkulatzen da: t=0 aldiunean, jaurtiketaren abiadura v₀ da eta horizontalarekiko θ₀ angelua osatzen du (ikusi beheragoko irudia)

θ angelua da, abiaduraren norabidea horizontalarekiko, beraz ibilbidearen tangentea, eta abiaduraren v moduluarekin duen erlazioa hau da:

Proiektilaren posizioa

dx=ds·cosθ=ρdθ·cosθ

Norabide normalaren higidura-ekuazioa erabiliz eta ibilbidearen kurbadura negatiboa dela kontutan hartuz:

Era berean

dy=ds·sinθ=ρdθ·sinθ

Hegaldiaren iraupena

ds=v·dt
ρdθ= v·dt

Programa interaktiboak kalkulatzen du abiadura-bektoreak amaieran osatzen duen θ_f angelua, alegia justu lurrera iristen denean (y=0, ikusi goragoko irudia).

Ba amaierako θ_f  angelua ezagutuz x irismena kalkula daiteke eta hegaldiaren t iraupena, baina horretarako ondoko integralak numerikoki ebatzi behar dira:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• b parametroa dagokion laukian idatziz.

• Jaurtiketaren hasierako abiadura, v₀, dagokion laukian idatziz.

• Jaurtiketaren θ angelua desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Kalkulatu botoia sakatu.

Programa interaktiboak aldagai hauek kalkulatzen ditu:

• Hegaldiaren iraupena.

• Irismena.

• Altuera maximoa

Emaitzen alboan, eta parentesi artean, tiro paraboliko idealarenak erakusten dira (marruskadurarik gabe).

public class PuntoMedio {
	final double CERO=1e-10;
	final double ERROR=0.001;
	final int MAXITER=200;
	double v0x;
	double v0y;
	double b;
PuntoMedio(double b, double v0, double angulo){
	this.b=b;
	v0x=v0*Math.cos(angulo);
	v0y=v0*Math.sin(angulo);
}

public double raiz(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	return m;
}
double f(double x){
	double y=(9.8/b+v0y)*x/v0x+9.8*Math.log(1.0-x*b/v0x)/(b*b);
	return y;
}

}

//calcula el alcance
	double R0=v0*v0*Math.sin(2*angulo)/9.8;
	PuntoMedio p=new PuntoMedio(b, v0, angulo);
	x=p.raiz(0.0, R0);

public class PuntoMedio {
	final double CERO=1e-10;
	final double ERROR=0.001;
	final int MAXITER=200;
	Simpson obj;
PuntoMedio(Simpson obj){
	this.obj=obj;
}

public double raiz(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;
		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	return m;
}
double f(double x){
	double y=obj.integral(obj.angIni, x, 100);
	return y;
}

}

public abstract class Simpson {
	double v0;
	double angIni;
	double b;
Simpson(double b, double v0, double angulo){
	this.b=b;
	this.v0=v0;
	this.angIni=angulo;
}
public double integral(double a, double b, int n){
	if(n%2==1) n++;
	double h=(b-a)/n;
	double suma=g(a)+g(b);
	for(int i=1; i<n; i+=2){
		suma+=4*g(a+i*h);
	}
	for(int i=2; i<n; i+=2){
		suma+=2*g(a+i*h);
	}
	return (suma*h/3);
}
abstract public double g(double x);

double v2(double x){
	double z=Math.cos(x)*Math.cos(x)*(1.0/(v0*Math.cos(angIni)*v0*Math.cos(angIni))
	-b*(h(x)-h(angIni))/9.8);
	return (1.0/z);
}
double h(double x){
	double z=Math.tan(x)/Math.cos(x)+Math.log(Math.abs(Math.tan(x)+1.0/Math.cos(x)));
	return z;
}
}

public class Pos_Y extends Simpson {

public Pos_Y(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-v2(x)*Math.tan(x)/9.8;
	return z;
}
}

public class Pos_X extends Simpson {

public Pos_X(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-v2(x)/9.8;
	return z;
}
}

public class Tiempo extends Simpson {

public Tiempo(double b, double v0, double angulo) {
	super(b, v0, angulo);
}
public double g(double x){
	double z=-Math.sqrt(v2(x))/(Math.cos(x)*9.8);
	return z;
}
}

//calcula el ángulo final, la altura máxima, el alcance y el tiempo de vuelo 
	Simpson pos_Y=new Pos_Y(b, v0, angIni);
	PuntoMedio p=new PuntoMedio(pos_Y);
	double angFinal=p.raiz((-88*Math.PI/180), angIni); //con -90º hay desbordamiento
	hMax=pos_Y.integral(angIni, 0.0, 100);
	x=new Pos_X(b, v0, angIni).integral(angIni, angFinal, 100);
	t=new Tiempo(b, v0, angIni).integral(angIni, angFinal, 100);