Dinamika

Mugimendua, fluido
batean barrena

Stokes-en formula

Fluidoen
biskositatea
nola neurtu (I)

Fluidoen 
biskositatea 
nola neurtu (II)

Paraxutista
baten jaitsiera

Esfera bat bertikalki
mugitzen fluido 
batean barrena

Tiro parabolikoa
marruskaduraz

Higidura zuzenaren
eredua fluido
batean barrena

Saiakuntza

Orri honetan aztertzen da esfera bat bertikalki erortzen ari denean nola mugitzen den fluido likatsu (edo biskoso) batean zehar, erregimen laminarrean. Esferaren R erradioa eta m masa ezagunak dira.

Deskribapena

Erortzen ari den esferak hiru indar jasaten ditu: Pisua, Arkimedesen flotazio-bultzada hidrostatikoa (esfera osoa fluido batean murgilduta dago) eta marruskadura-indarra (abiaduraren moduluaren proportzionala eta bere aurkakoa). Fluidoa erregimen laminarrean dagoela suposatuko da, alegia turbulentziarik gabe.

Pisua da, esferaren m masa bider grabitatearen g azelerazioa. Bestalde, masa kalkulatzen da, materialaren dentsitatea (ρ_e) bider esferaren bolumena, beraz:

Bestalde, Arkimedesen printzipioaren arabera, flotazio-bultzada hidrostatikoa (E) goranzkoa da eta bere balioa hau da: fluidoaren dentsitatea (ρ_f) bider murgildutako gorputzaren bolumena, bider grabitatearen g azelerazioa, beraz:

Azkenik, marruskadura-indarra abiaduraren moduluaren proportzionala da eta Stokes-en legea deritzo: Hemen, h da fluidoaren biskositatea. Esferaren higidura-ekuazioa beraz:

Pisua eta flotazio-bultzada indar konstanteak dira, baina marruskadura ez. Esfera erortzen hasten denean azeleratzen du, eta beraz marruskadura handitzen joango da harik eta indar erresultantea anulatzen den arte. Une horretatik aurrera azelerazioa nulua da eta abiadura konstantea: abiadura horri abiadura limite deritzo (v_l). Esferak jasandako indar erresultantea anulatzen denean:

Eta ekuazio horretatik abiadura limitea bakan daiteke:

Higidura osoaren ekuazioa berridatziz:

Horko F da, pisuaren eta flotazio-bultzadaren arteko kenketa:  F= mg-E, eta  k=6πRh

Higidura-ekuazioa integra daiteke eta soluzioa da, esferaren abiadura denboraren menpe:

Eta integralak ebatziz:

Soluzio hori grafikoki adierazten bada, esferaren v abiadura t-ren menpe, grafikoak asintota horizontal bat du: v=vl. Soluzio horren arabera, esferak abiadura limitea atzematen du (vl) denbora infinitua iragan ondoren, teorikoki.

Esferaren abiadura ezagutu ondoren posizioa kalkula daiteke, hori ere denboraren menpe. Demagun esferaren hasierako posizioa x=0 dela eta hasierako aldiunea: t=0. Orduan:

Eta v ordezkatuz eta integratuz

Adierazpen horretako esponentzialak (azken parentesikoak) denboran zehar zerora jotzen du, beraz, une horretatik aurrera x desplazamendua denboraren proportzionala da, abiadura konstanteaz mugitzen delako.

Hortaz, laburbil ditzagun taula batean esferaren erorketaren ezberdintasunak erorketa askea denean eta fluido likatsu batean zehar erortzen ari denean:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Esfera izeneko kontrolean bost material ezberdin (ρ_e dentsitatea finkatzen da).
• Esferaren erradioa, mm-tan, laukian idatziz.
• Fluidoa izeneko kontrolean lau fluido-mota ezberdin (fluidoaren ρ_f  dentsitatea finkatzen da flotazio-bultzadarako, eta h biskositatea marruskadurarako).

Hasi botoia sakatu.

Nahiago bada, beste zenbaki batzuk idatz daitezke kontrolean, baina aukeratu direnak hauek dira:

Esferaren Materiala	Dentsitatea (g/cm3)
Burdina	7.88
Aluminioa	2.70
Kobrea	8.93
Beruna	11.35
Wolframioa	19.34

 

Fluidoa	Dentsitatea (g/cm3)	Biskositatea (kg/m·s)
Ura	1.0	0.00105
Glizerina	1.26	1.3923
Bentzenoa	0.88	0.000673
Olioa	0.88	0.391

Abiadura limitea nola aldatzen den azter bedi:

1. Esferaren erradioarekiko: material bereko esferak aukeratu eta fluido berean mugitzen baina erradio ezberdinekoak.
2. Materialaren dentsitatearekiko: erradio bereko esferak aukeratu eta fluido berean mugitzen baina material ezberdinekoak.
3. Fluidoaren dentsitate eta biskositatearekiko: material bereko esferak aukeratu eta erradio berekoak, baina fluido ezberdinetan mugitzen.

Erortzen ari den esfera zirkulu gorri batez adierazten da eta fluidoa urdinez. Esferaren alboan indarrak adierazten dira:

• Gorriz, F indar konstantea, pisuaren eta flotazio-bultzadaren batura bektoriala.
• Urdinez, marruskadura-indarra, abiaduraren proportzionala: kv.

Indar biak berdintzen direnean (gutxi gora behera) esferaren abiadura konstantea da eta horixe da abiadura limitea.

Adibidea:

Olioz betetako ontzi batean berunezko perdigoiak erortzen uzten dira (ontziaren diametroa perdigoiena baino askoz handiagoa da). Hona datuak: Berunaren dentsitatea: ρe=11.35 g/cm3 Esferaren erradioa R=1.96 mm Olioaren dentsitatea: ρf=0.88 g/cm3 Olioaren biskositatea: η=0.391 kg/(m·s)

Abiadura limitea atzemateko denbora teorikoki infinitua da, baina bere %99.5 atzematen da honako t aldiunean:

Hemen: k=6πRη=0.014 Kg/s, eta esferaren masa: m=ρ_e4/3πR³=3.58·10^-4 kg

Hortik denbora kalkula daiteke: t=0.13 s

Eta denbora horretan esfera desplazatu da: x=0.023 m

Berunezko perdigoi esferikoa oliotan erortzen uzten bada, azeleratzen jardungo da lehenengo 2.3 zentimetrotan, ondoren azelerazioa ia nulua izango du eta beraz, abiadura ia konstantea, izan ere abiadura limitea. Applet-ean erakusten dira idatziz: denbora, posizioa, abiadura eta azelerazioa.

Adibide honetan suposatu da, esfera fluidoaren barrutik mugitzen ari denean, fluidoa erregimen laminarrean dagoela. Aurrerago ikusiko da Stokes-en formulak baliotasun-tarte mugatua duela eta, Reynolds-en zenbakiaren arabera, erregimena turbulentua bilaka daitekeela.