Dinamika

Mugimendua, fluido
batean barrena

Stokes-en formula

Fluidoen
biskositatea
nola neurtu (I)

Fluidoen
biskositatea
nola neurtu (II)

Paraxutista
baten jaitsiera

Esfera bat bertikalki
mugitzen fluido
batean barrena

Tiro parabolikoa
marruskaduraz

Higidura zuzenaren
eredua fluido
batean barrena

Mugimendua hutsean

Marruskadura-indarra abiadurarekiko linealki proportzionala. Stokes-en formula

Marruskadura-indarra abiaduraren karratuaren proportzionala

Erreferentzia

Aurreko kapituluetan ikusi dugu, gorputz batek erortzean bi indar jasaten dituela: alde batetik pisua eta bestetik marruskadura-indarra. Marruskadura-indarrak adierazpen errazak baldin baditu gorputzaren posizioa (altuera) eta abiadura denboraren menpe kalkulatzeko adierazpen analitikoak lortzea posiblea da:

• Marruskadura-indarra abiadurarekiko linealki proportzionala da
• Marruskadura-indarra abiaduraren karratuaren proportzionala da

Hona hemen marruskadura-indarraren adierazpen orokorra:

Adierazpen horretan, C_d arraste-koefizientea da, r_f  fluidoaren dentsitatea, A gorputzaren zeharkako sekzioaren azalera (esfera baten kasuan p R²), eta v gorputzaren abiadura da.

C_d arraste-koefizientea izatez Reynolds-en (Re) zenbakiaren araberakoa da. Zenbaki horrek fluidoaren portaera mugatzen du eta hain zuzen fluxu laminarra ala turbulentua den erabakitzeko balio du: Re zenbakia honela definitzen da:

Adierazpen horretan, l gorputzaren luzera da, zeharkako sekzioan neurtuta (esfera baten kasuan 2R) eta h fluidoaren biskositate dinamikoa.

Arraste-koefizientearen adierazpena, Re zenbakiaren menpe, honela idatz daiteke:

Reynolds-en zenbakia txikia denean (Re<1), lehen terminoa da nagusiena, eta orduan marruskadura-indarra honela idatz daiteke, gorputza esferikoa denean eta R erradioa badu:

Hauxe da Stokes-en formula famatua. Esfera batek jasaten duen marruskadura-indarra abiadurarekiko linealki proportzionala da, esaterako, esferaren abiadura txikia denean.

Fluidoen biskositatea neurtzeko esperimentuan erabiltzen badira fluido jakin bat (olioa) eta esferaren material jakin bat (beruna), orduan Stokes-en formularen baliotasun tarteak (Re<1) esferaren R erradioa mugatzen du. Fluidoaren r_f  dentsitatea ezagutuz gero, bere η biskositatea (bestelako metodo batez) eta esferaren v abiadura, orduan esferaren R erradioak honako baldintza bete behar du:

Bestalde, Reynolds-en zenbakia handia bada (1000<Re<200000) arraste-koefizientea ia konstantea da: C_d@ 0.4. Eta orduan marruskadura-indarra R erradiodun esfera batentzat honela idatz daiteke:

Alegia marruskadura-indarra abiaduraren karratuaren proportzionala da.

Ondoren aztertuko dugu nola mugitzen den gorputz esferiko bat bertikalki gorantz jaurtita v₀ abiaduraz eta fluido likatsu (edo biskoso) batean zehar. Esferaren erradioa R da, masa m (edo solidoaren dentsitatea r_e), fluidoaren dentsitatea r_f  eta grabitatearen azelerazioa g=9.81 m/s².

Mugimendua hutsean

Gorputzak jasaten duen indar bakarra pisua da. Higidura uniformeki azeleratua da.

Marruskadura-indarra abiadurarekiko linealki proportzionala: Stokes-en formula

Gorputzak hiru indar jasaten ditu: pisua, flotazioko bultzada hidrostatikoa eta marruskadura- indarra. Goranzkoan higiduraren ekuazioa hau da:

Ekuazio hori modu errazagoan berridatz daiteke:

Hemen G grabitatearen azelerazio efektiboa da.

Ekuazio hori integratuz, hasierako baldintzak ezarrita (t=0, abiadura v=v₀) abiadura lortzen da denboraren menpe:

Berriz ere integratuz, gorputzaren posizioa lortzen da (altuera) denboraren menpe. Hasierako aldiunean, t=0, gorputza jatorritik abiatzen da: x=0. Hona hemen emaitza:

Gorputza beherantz mugitzen denean, ez dugu berriro ekuazio osoa planteatu behar, nahikoa da abiadurari zeinua aldatzeaz.

Adibidea

Hondar-ale baten erradioa R=0.02 mm=0.00002 m, eta uretan jaurtitzen da gorantz honako abiaduraz: v₀=0.01 m/s.

Datuak: hondarraren dentsitatea: r_e=2670 kg/m³, uraren dentsitatea r_f = 1000 kg/m³,  biskositatea h =0.001 kg/(m·s).

Hortaz, grabitate efektiboa: G=6.14 m/s² eta a =4213 s^-1.

Reynolds-en zenbakia txiki mantentzen da, (hasieran behintzat) eta beraz, Stokes-en formula erabilgarria da:

Ondorengo applet-ean partikula bat gorantz eta bertikalki jaurtitzen da hasierako abiadura finko batez: v₀=0.01 m/s. Jarraian partikularen mugimendu osoa ikusten da bi ingurune ezberdinetan: bata hutsean (urdinez) eta bestea uretan (gorriz).

• Posizioa botoia markatuz, grafikoak partikularen x posizioa erakusten du t denboraren menpe.
• Abiadura botoia markatuz, grafikoak partikularen v abiadura erakusten du t denboraren menpe.

Hondar-alearen abiadura aztertuz (gorria), abiadura konstanterantz jotzen duela ikus daiteke.

Marruskadura-indarra abiaduraren karratuaren proportzionala

Marruskadura-indarra abiaduraren karratuaren proportzionala den erregimenean, indarrak berak ez du zeinua aldatzen partikularen abiadurak zeinua aldatu arren (gorantz edo beherantz mugitzen denean). Hortaz, higiduraren ekuazioak bi ataletan planteatu behar dira: bata goranzkoan eta bestea beheranzkoan.

• Goranzko mugimendua

Lehen bezala, ekuazio hori modu errazagoan berridatz daiteke:

Eta ekuazio hori integratzen (hasierako baldintza t=0, eta abiadura v=v₀) partikularen abiadura lortzen da denboraren menpe adierazita:

Berriz ere ekuazio hori integratzen, partikularen posizioa lortzen da (altuera) denboraren menpe. Hasierako baldintza: t=0 aldiunean partikula jatorritik abiatzen da: x=0.

• Beheranzko mugimendua

Higiduraren ekuazioa oraingoan: (parentesiaren barruko zeinua soilik aldatuta)

Eta ekuazio hori integratzen (hasierako baldintza t=t₀, eta abiadura v=0) partikularen abiadura lortzen da:

Izan ere, t₀ da gorputzak goreneko posizioraino igotzen tardatu duen denbora, alegia gelditu arte: v=0.

Berriz ere ekuazio hori integratzen, partikularen posizioa lortzen da (altuera) denboraren menpe. Baina hasierako baldintza:  t=t₀ aldiunean partikula goreneko posiziotik abiatzen da: x=x_max.

Adibidea:

Demagun plastikozko pilota bat gorantz jaurtitzen dela honelako abiaduraz: v₀=5 m/s. Bere masa m=78.3 g eta erradioa R=15 cm. Airearen dentsitatea ezaguna da r_f =1.293 kg/m³  eta biskositatea ere bai: h=17.1 10^-6 kg/(m·s).

Grabitate efektiboa honakoa ateratzen da: G=7.53 m/s² eta g =0.176 s/m. Reynolds-en zenbakia pilota jaurtitzeko aldiunean:

Re zenbaki hori baliotasun tartearen barruan dago, eta beraz marruskadura-indarraren adierazpena abiaduraren karratuaren proportzionala har daiteke. Hala ere, altuera maximora hurbiltzen den heinean abiadura zerorantz doa eta ez du baldintza hori betetzen. Dena den, ibilbidearen zatirik handienean pilotaren abiadura nahikoa handia da eta Reynolds-en zenbakia beharrezko tartean dago:  1000<Re<200000.

Ondorengo applet-ean partikula bat gorantz eta bertikalki jaurtitzen da hasierako abiadura finko batez: v₀=5 m/s. Jarraian partikularen mugimendu osoa ikusten da bi ingurune ezberdinetan: bata hutsean (urdinez) eta bestea airean (gorriz).

• Posizioa botoia markatuz, grafikoak partikularen x posizioa erakusten du t denboraren menpe.
• Abiadura botoia markatuz, grafikoak partikularen v abiadura erakusten du t denboraren menpe.