U itxurako bi hodi konektatuta

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Fluidoak

Fluidoen estatika
Oinarrizko ekuazioa
Paradoxa hidrostatikoa
Likido baten
dentsitate erlatiboa
Prentsa hidraulikoa
Presio atmosferikoa
neurtzeko bi metodo
Huts-ponpa
marca.gif (847 bytes) U itxurako bi hodi
Azelerometroak
Histeresi zikloa
Ekuazio-sistema nola planteatu

Ekuazio-sistemaren soluzioa

Saiakuntza

Erreferentzia

 

Kapitulu honetan bi printzipio aplikatzen dira aldi berean:

Har ditzagun bi hodi, biak berdinak, U itxurakoak, H altueradunak eta S sekzio uniformedunak, eta bete ditzagun urez, ezkerrekoa h1 altueraraino eta eskumakoa, berriz, h2 altueraraino, irudiak erakusten duen bezala. Bien arteko separazioari dei diezaiogun d.

 

Jarraian, bi hodiak konektatuko ditugu (ezkerreko hodiaren eskumako muturra eta eskumako hodiaren ezkerrekoa) sekzio bereko beste hodi batekin. Horrela egiten badugu, ondorengo irudiak erakusten duen bezala, bi hodien tartean airea geratuko da harrapatuta (kolore horiaz adierazita) eta Pa presioaz.

Aire-burbuilaren luzera honela kalkulatzen da: La=2Hh1h2+d.

Orain, gehitu dezagun ur pixka bat, V=S·x , ezkerreko hodiaren ezkerraldean, eta ikus dezagun nola aldatzen diren ur-mailak bi hodietan, eta aire-burbuilaren bolumena eta presioa.

 

Ekuazio sistema nola planteatu

Hona hemen ariketaren datuak:

  • Likidoaren altuera ezkerreko hodian, h1.

  • Likidoaren altuera eskumako hodian, h2.

  • Aire-burbuilaren luzera hasieran, La.

  • Aire-burbuilaren presioa hasieran, Pa=1.013·105 Pa

  • Ezkerraldeko hodian gehitzen den ur bolumena: S·x.

Ezezagunak dira likidoaren altuerak bi hodietako bakoitzaren bi aldeetako bakoitzean: Dei diezaiogun ezkerreko hodiari 1 eta eskumakoari 2:

  • Ezkerreko hodiaren ezkerreko adarra, h1i

  • Ezkerreko hodiaren eskumako adarra, h1d

  • Eskumako hodiaren ezkerreko adarra, h2i

  • Eskumako hodiaren eskumako adarra, h2d

  • Burbuilaren luzera, amaieran, Lf

  • Burbuilaren presioa, amaieran, Pf

Sei ezezagun direnez, problema ebazteko sei ekuazio behar ditugu:

  1. Ura konprimiezina denez:

  • Eskumako hodian, likidoaren luzera totala kontserbatzen da:

h2i+h2d=2h2    (1)

  • Ezkerreko hodian x ur-luzera gehitu zaio, baina luzera totala kontserbatzen da:

h1i+h1d=2h1+x   (2)

  1. Ezkerreko hodiaren hondoan, azpialdean, berdinak izan behar dira bere ezker adarreko presioa (atmosferikoa, Pa, gehi h1i ur-zutabearena) eta eskuin adarreko presioa (aire-burbuilaren presioa, Pf, gehi h1d ur-zutabearena). Uraren dentsitatea r da eta  grabitatearen azelerazioa g, beraz, honela idazten da fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioa:

Pa+ρgh1i=Pf+ ρgh1d       (3)

Era berean, eskumako hodiaren hondoan, berdinak izan behar dira bi adarretako presioak, alegia, eskumako adarrean atmosferikoa, Pa, gehi h2d ur-zutabearena eta, ezkerrean, aire-burbuilarena, Pf, gehi h2i ur-zutabearena:

Pa+ρgh2d=Pf+ ρgh2i       (4)

  1. Aire-burbuilak hasieran presio atmosferikoa dauka, Pa , eta bolumena S·La, baina amaieran presioa Pf  eta bolumena S·Lf. Bi egoeren artean prozesu isotermikoa suposatuz:

Pa·La=Pf·Lf                  (5)

  1. Azkenik, geometria hutseko erlazio bat: erdiko bi adarren luzeren baturak konstantea izan behar du, airearen eta uraren luzerak edozein direla ere:

h1+h2+La=h1d+h2i+Lf          (6)

 

Ekuazio sistemaren soluzioa

Sei ezezaguneko eta sei ekuazioko sistema ebazteko, ekuazioak honela konbina daitezke:

Batu (3) eta (4) ekuazioak:

2Pa+ρg(h1i+h2d)=2Pf+ ρg(h1d + h2i)      (7)

(5) ekuazioan bakandu Pf   eta ordezkatu (7) ekuazioan:

      (8)

Batu (1), (2) eta (6) ekuazioak:

h2i+h2d+h1i+h1d + h1+h2+La =2h2+2h1+x+ h1d+h2i+Lf.     

h1i+h2d=h2+h1+x+Lf La     (9)

Bakandu h1d+h2i (6) ekuazioan:

 h1d+h2i= h1+h2+LaLf       (10)

Ordezkatu (9) eta (10) ekuazioak (8) ekuazioan eta definituko dugu L0 , presio atmosferikoa berdintzen duen ur-zutabearen luzera, alegia: Pa=ρgL0. Horretarako, Torricelliren esperimentua bezalakoa egin behar da baina, merkurioaren ordez, urarekin:

Bigarren graduko ekuazioa geratzen zaigu Lf  aldagaiaren menpe:

Eta soluzioa:

   (11)

Behin Lf ezagututa, kalkula daitezke, Pf  (5) ekuazioaren bitartez:

(3) ekuazioan bakan daitezke h1i h1d  eta, (2) ekuazioarekin, bi ezezaguneko eta bi ekuazioko sistema osatzen du:

h1i+h1d=2h1+x   (2)

Ekuazio biak batu eta kendu atalez atal, eta bakan daitezke h1i eta h1d

                 (12)

Ondoren, (4) ekuazioan, bakandu h2dh2i , eta horrek, (1) ekuazioarekin, bi ezezaguneko eta bi ekuazioko sistema osatzen du:

h2i+h2d=2h2    (1)

Ekuazio biak batu eta kendu atalez atal, eta bakan daitezke h2d eta h2i:

                 (13)

Adibidea:

Datuak:

  • Hodien altuera, H=1.0 m.

  • Separazioa, d=0.2 m

  • Uraren dentsitatea, ρ=1000 kg/m3

  • Presio atmosferikoa, Pa=1.013·105 Pa. Orduan, L0=10.34 m, alegia, presio atmosferikoa berdintzen duen ur-zutabearen altuera.

  • Grabitatearen azelerazioa, g=9.8 m/s2

Programa interaktiboan, saguarekin, desplaza ditzagun gezitxo biak honako altuerak hautatu arte:

  • Ezkerreko hodian, h1=0.25 m

  • Eskumako hodian, h2=0.45 m

Izan ere, bi datu hauekin aire-burbuilaren hasierako luzera kalkula daiteke: La= 2Hh1h2+d=1.5 m.

Orain, gehitu dezagun ezkerreko hodian ur gehiago, x=0.88 m. Ezezagunak kalkula daitezke:

(11) adierazpenetik aire-burbuilaren amaierako luzera kalkulatzen da:

Prozesu isotermoaren ekuaziotik (5), amaierako presioa kalkulatzen da: Pf

1.013·105·1.5=Pf·1.45      Pf=1.05·105 Pa.

Presio-gehikuntza honakoa izan da: ΔP=PfPa=3783 Pa

(12) adierazpenek ezkerreko hodiaren amaierako bi altuerak ematen dituzte: h1i eta h1d

Eta (13) adierazpenek eskumako hodiaren amaierako bi altuerak: h2i eta h2d .

 

Saiakuntza

Berria botoia klikatu.

  • Saguarekin, gezi gorria gora eta behera desplazatuz, ezkerreko hodiaren hasierako altuera finkatzen da: h1

  • Saguarekin, gezi gorria gora eta behera desplazatuz, eskumako hodiaren hasierako altuera finkatzen da: h2.

Hasi botoia klikatu.

Bi hodiak elkartzen dira, tartean harrapatutako aire-burbuilak (horiz adierazten da), hasieran, presio atmosferikoa dauka, Pa , eta  manometro bat kokatu da, bere presioa neurtzeko ΔP=PfPa.

Ezkerreko adarrean ura gehituz doa: gehitutako ura urdin argia da, lehendik zegoen urarengandik bereizteko (urdin iluna).

Ur berria gehituz, x handitzen den heinean, ur-mailak aldatuz doaz adar guztietan. Edozein unetan, Gelditu botoia klika dezakegu eta, x-ren balio horretarako, parametro guztiak kalkula ditzakegu, kapitulu honetako adierazpenak erabiliz.

Esperimentua berriro abiatzeko Berria botoia klikatu.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Berria botoia klikatu eta, saguarekin, bi gezitxoak desplazatu gora eta behera hasierako altuerak finkatzeko.

 

Erreferentzia

Gaffney C. The hydrostatics of trapped bubbles in fluids. The Physics Teacher, vol 38, November 2000, pp. 458-460