Fluidoak

Fluidoen estatika

Oinarrizko ekuazioa

Paradoxa hidrostatikoa

Likido baten
dentsitate erlatiboa

Prentsa hidraulikoa

Presio atmosferikoa
neurtzeko bi metodo

Huts-ponpa

U itxurako bi hodi

 Azelerometroak

Histeresi zikloa

Auto baten azelerazio horizontala nola neurtu

Igogailu baten azelerazioa neurtu Atwood-en makina batez

Igogailu baten azelerazioa neurtu manometro batez

Plataforma birakor baten abiadura angeluarra nola neurtu

Erreferentzia

U itxurako hodiak, ontzi itxi batera konektatzen direnean, gasaren presioa neurtzeko erabili ohi dira. Kapitulu honetan, ordea, ikusiko dugu nola erabil daitezkeen auto baten azelerazioa neurtzeko edota plataforma birakor baten abiadura angeluarra neurtzeko.

Auto baten azelerazio horizontala nola neurtu

Har dezagun U itxurako hodi bat, S sekzio uniformeduna, eta r dentsitateko likido batez  h altueraraino erdi beteta, goiko irudiak adierazten duena bezalakoa. Hodi hori auto batean sartzen badugu, eta autoa a azelerazioaz mugitzen bada, ikusiko dugu likidoak hodiaren bi adarretan atzematen dituen altuerak ezberdinak izango direla. Atal honetan erlazionatuko ditugu altuera-diferentzia eta autoaren a azelerazioa.

Behatzaile inertziala

Demagun hodiaren bi adarren arteko distantzia L dela, eta hodiaren diametroa txikia dela luzera horren aldean.

Autoa a azelerazioaz eta eskumarantz mugitzen bada, orduan, likidoaren altuera,

• ezkerreko adarrean h+z  izango da

• eskumako adarrean h−z izango da.

Zati horizontaleko likidoak ρSL masa du eta, behatzaile inertzial baten ikuspegitik, a azelerazioaz mugitzen ari da eta honako bi indarrak jasaten ditu:

• Ezkerreko muturrean, ezker adarreko likidoaren pisua: ρS(h+z)g

• Eskumako muturrean, eskuin adarreko likidoaren pisua: ρS(h−z)g

(Likido-zati horizontalaren pisua eta hodiaren erreakzio normala bertikalak dira eta ez diote likidoaren dinamikari eragiten). Newton-en bigarren legea honela idazten da:

(ρSL)a= ρS(h+z)g − ρS(h−z)g

Eta hortik ateratzen da:

Likidoaren z altuera eta autoaren a azelerazioa zuzenki proportzionalak dira, eta ez dute eraginik likidoaren ρ dentsitateak edota hodiaren S sekzioak.

Behatzaile ez inertziala

Autoan eserita doan behatzaile ez inertzialaren ikuspegitik, zati horizontaleko likidoak hiru indar jasaten ditu.

• Ezkerreko muturrean, ezker adarreko likidoaren pisua, ρS(h+z)g

• Eskumako muturrean, eskuin adarreko likidoaren pisua, ρS(h−z)g

• Inertzia-indar horizontala, m·a= (ρSL)a , hain zuzen, azelerazioaren aurkako noranzkoan.

Newton-en legea idatziz gero,

(ρSL)a+ρS(h−z)g=ρS(h+z)g

Behatzaile inertzialaren ekuazio bera (ordena bakarrik aldatu da).

Saiakuntza

Auto bat horizontalki mugitzen ari da eta, lehen 50 metroetan, a₁ azelerazioa dauka; ondorengo 50 metroetan, berriz, abiadura konstanteaz doa eta, azkenean, dezeleratu egiten du, -a₂ dezelerazioarekin, eta gelditu.

Ondorengo programa interaktiboak bi zenbaki asmatzen ditu ausaz, a₁ eta a₂, hurrenez hurren.

• Manometroan, likidoaren hasierako altuera finkotzat hartu da, h=25 cm.

• Eta manometroaren zati horizontalaren luzera, L=50 cm.

Hasi botoia klikatu.

Autoa mugitzen da, esan bezala, hiru higidura-mota ezberdinekin, eta programak idatziz erakusten du uneoro, batetik, manometroan:

• Ezkerreko besoan, likidoaren altuera zenbakiz idatzita: h+z.

• Hortik kalkula daitezke bi azelerazioak: a₁ eta a₂.

Bestetik, programak zenbakiz ematen ditu goiko eta eskumako erpinean idatzita, t denbora, autoaren v abiadura eta x posizioa.

• Hortik ere kalkula daitezke bi azelerazioak, a₁ eta a₂.

Azkenik, emaitzak konpara daitezke, programan Erantzuna izeneko botoian klik eginez.

Adibidea:

1. Autoak azeleratzen duenean, manometroko ezker adarraren likido-zutabeak honako altuera dauka: h+z=31.3 cm, hortaz, z=31.3−25=6.3 cm

Dezeleratzen duenean, berriz, likidoaren altuera honakoa da: h+z=16.9 cm, hortaz, z=16.9−25= −8.1 cm

2. Autoaren posizioa eta abiadura honakoak dira:

Lehen 50 metroak burutzeko, t=6.37 s, eta atzematen duen abiadura, v=15.7 m/s

Bietatik ateratzen da, a₁=2.46 m/s²

Ondoren, x₀=100 m posizioraino, abiadura konstanteaz doa (v₀=15.7 m/s), eta t₀=9.54 s, behar ditu. Une horretan dezeleratzen hasten da: guztiz gelditzen da t=14.49 s-tan eta x=138.9 m posizioan.

Bi horietatik ateratzen da, a₂= −3.17 m/s²

Igogailu baten azelerazioa neurtu, Atwood-en makina batez

Aurreko atalean ikusi dugu autoan eserita doan behatzaile ez inertzialaren ikuspegitik, manometroak translaziozko inertzia-indar horizontala jasaten duela.

Orain, Atwood-en makina deskribatuz hasiko gara, igogailu baten sabaian eskegita eta igogailua a’ azelerazioaz mugitzen da. Adibide honekin baliokidetasun-printzipioa azaldu nahi dugu, hurrengo atalean erabili behar dugulako.

Behatzaile inertziala

Irudiak erakusten du Atwood-en makina (polea sinple bat bi blokerekin, m₁ eta m₂), eta behatzaile inertzialak behatzen dituen indarrak bi dira:

• Bloke bakoitzaren pisua.

• Sokaren T  tentsioa.

Polea idealtzat hartuko dugu, alegia, inertzia-momentu arbuiagarria eta marruskadurarik gabea.

Blokeen azelerazioa a da, polearekiko, baina igogailua a’ azelerazioaz mugitzen denez, orduan blokeen azelerazioak honakoak dira: m₂ blokeak: a₂=a’−a eta m₁ blokeak a₁=a’+a.

Aplika dezagun Newton-en bigarren legea bi blokeetan:

T−m₂g=m₂(a’−a)
T−m₁g=m₁(a’+a)

Ekuazio-bikote horretatik a kalkula daiteke (eta T):

Hori da behatzaile batek neurtuko duen azelerazioa igogailuarekin batera mugitzen bada (ez inertzialak).

Aldiz, behatzaile inertzial batek neurtuko dituen azelerazioak honakoak dira:

Behatzaile ez inertziala

Bi blokeak a azelerazioaz mugitzen dira.

Bloke bakoitzak jasaten dituen indarrak hiru dira:

• Bloke bakoitzaren pisua.

• Sokaren T tentsioa.

• Translaziozko inertzia-indarra, a’, azelerazioaren aurkakoa.

Higiduraren ekuazioak:

m₂g+m₂a’−T=m₂a
T−m₁g−m₁a’=m₁a

Ekuazio horietatik ateratzen da igogailuko behatzaileak (ez inertzialak) neurtzen duen a azelerazioa:

Igogailu baten barruan, a' azelerazioaz mugitzen ari bada, grabitatearen itxurazko azelerazioa hau da: g’=g+a’

Demagun esperimentu batean, esaterako, bi blokeak pausagunetik abiatzen direla eta x distantzia desplazatzeko behar duten t denbora neurtzen dugula;  a azelerazioa neur daiteke; honela:

Bi blokeen masak ezagunak badira, m₁ eta m₂, orduan igogailuaren a’ azelerazioa kalkula dezakegu, goiko ekuazioa erabiliz.

Igogailu baten azelerazioa neurtu manometro batez

	U itxurako hodi batean, adar bat itxita dago eta bestea, berriz ,V bolumeneko ontzi batera lotuta (horia). Ontziak airea dauka, presio txikian, p. Manometro hori geldi dagoenean, adarretako likidoaren altuera-diferentzia h da. Ontziaren presioa, izan ere:  p=ρgh Ezkerreko muturrean hutsa dago eta likidoa merkurioa da.
	Manometro hori igogailu batean mugitzen denean, a’ azelerazioaz, likidoak adar batean gora igotzen du eta beste adarrean, berriz, jaitsi, irudiak erakusten duen bezala. Behatzaile ez inertziala Igogailuan doan behatzailearentzat, likidoa geldi dago eta manometroaren beso horizontaleko A eta B puntuetan presioak berdinak izan behar dira.

A puntuko presioa likido-zutabeak sorturikoa da: d+h−z altueraduna.

p_A=ρ(g+a’)(d+h−z)

Hemen, (g+a’) igogailuaren itxurazko azelerazioa erabili da, gorantz a’ azelerazioaz mugitzen ari delako.

B puntuko presioa, ontziko gasarena, p, gehi likido-zutabeak sorturikoa da: d+z altueraduna.

p_B=p+ρ(g+a’)(d+z)=ρgh+ρ(g+a’)(d+z)

Eta likidoa orekan dagoenez: p_A=p_B , eta hona hemen emaitzak:

Ikusten denez, likidoaren z gorapena ez da igogailuaren a’  azelerazioarekiko proportzionala. Ondoko irudiak erakusten du,

• Ardatz horizontalean a’/g erlazioa

• Ardatz bertikalean, z/h

Irudi hori baliozkoa da manometroaren edozein tamainarako, betiere, ontziaren V bolumena nahikoa handia bada eta likido-zutabearen altuera-aldaketek ontziaren p presioa ez badute nabarmen aldatzen.

Igogailuaren a’  azelerazioa grafikoki kalkula daiteke, manometroko z gorapena neurtuz, grafikora jo eta, z/h ordenatuari dagokion a’/g abszisa irakur daiteke. Bestela, matematikoki, lehen emandako adierazpena erabiliz.

Saiakuntza

Igogailu bat pausagunetik abiatzen da gorantz eta, ibilbidearen lehen 5 metroak, a₁ azelerazioaz burutzen ditu. Ondoren, beste 5 metro burutzen ditu, abiadura konstanteaz eta, azkenik, -a₂ dezelerazioaz, gelditu egiten da.

Ondorengo programa interaktiboak bi zenbaki asmatzen ditu ausaz, a₁ eta a₂, hurrenez hurren.

• Manometroan, likidoaren hasierako altuera-diferentzia finkotzat hartu da, h=15 cm.

Hasi botoia klikatu.

Leihatilaren ezkerraldean, igogailua mugitzen ikusten da, esan bezala, hiru higidura-mota ezberdinekin, eta programak idatziz erakusten du uneoro, batetik, manometroan:

• Eskumako besoan, likidoaren altuera zenbakiz ematen du idatzita: z.

• Hortik kalkula daitezke bi azelerazioak: a₁ eta a₂.

Bestetik, programak zenbakiz ematen ditu goiko eta ezkerreko erpinean idatzita, t denbora, autoaren v abiadura eta x posizioa.

• Hortik ere kalkula daitezke bi azelerazioak, a₁ eta a₂.

Azkenik, emaitzak konpara daitezke, programan Erantzuna izeneko botoian klik eginez.

Adibidea

1. Igogailuak azeleratzen duenean, eskumako adarrean likidoaren altuera hau da: z=16.8−15.0=1.8 cm. Beraz, azelerazioak:

Dezeleratzen duenean, berriz, eskumako adarreko likidoak honako altuera du: z=10.8−15=−4.2 cm. Eta azelerazioak:

2. Igogailuaren posizioa eta abiadura honakoak dira:

Lehen 5 metroak burutzeko, t=1.82 s behar ditu eta atzematen duen abiadura, v=5.5 m/s

Bietatik ateratzen da, a₁=3.02 m/s²

Ondoren, x₀=10 m posizioraino, abiadura konstanteaz doa (v₀=5.5 m/s), eta t₀=2.73 s, behar ditu. Une horretan dezeleratzen hasten da: guztiz gelditzen da t=4.3 s-tan eta x=14.3 m posizioan.

Bi horietatik ateratzen da, a₂= −3.51 m/s²

Plataforma birakor baten abiadura angeluarra nola neurtu

	Plataforma birakor baten abiadura angeluarra neurtzeko ere manometro bat erabil daiteke. Hasieran, bi adarretan, likidoaren altuera h da eta manometroaren luzera L.
	Manometroaren adarretako bat biraketa-ardatzean bertan kokatzen da. Plataformak biratzen duenean, biraketa-ardatzean dagoen adarraren likidoa jaitsi egiten da eta beste adarrarena berriz (ardatzetik L distantziara dagoena) igo.

Behatzaile ez inertziala

Azter ditzagun manometroaren beso horizontaleko likidoak jasaten dituen indarrak (L luzeradunak). Bere pisua eta hodiaren erreakzio normala bertikalak dira eta ez dute eraginik likidoaren dinamikan. Horietaz gain, behatzaile ez inertzialaren ikuspegitik (plataformarekin batera biratzen ari dena), likidoa orekan dago eta hiru indar jasaten ditu

• Indar zentrifugoa:

Har dezagun likidoaren elementu bat, dm masaduna eta biraketa-ardatzetik x distantziara dagoena, irudiak erakusten duen bezala. Manometroak biratzen duenean, elementu horrek jasango duen indar zentrifugoa eskumarantz doa eta hau da: dFc=ω2·x·dm=ρSω2x·dx hemen ρ likidoaren dentsitatea da eta S hodiaren sekzio konstantea. Indar zentrifugo erresultantea lortzeko, indar zentrifugoa integratu behar da x=0-tik x=L-raino:

• Alboetako bi adarrek eragindako pisua:

Biraketa-ardatzetik urruti dagoen adarreko likidoaren pisua (ezkerrerantz):

F_g=ρSg(h+z)

Eta biraketa-ardatzean bertan dagoen adarreko likidoaren pisua (eskumarantz):

F’_g=ρSg(h−z)

Orekan, hiru indar horien erresultantea nulua izan behar da: Fc+ F’g= Fg

Azken adierazpena ikusita, ω abiadura angeluarra handitu ahala, likidoaren z gorapena handituz doa (biraketa-ardatzetik urruti dagoen adarrean) eta jaisten doa biraketa-ardatzean bertan dagoen adarrean. Izan ere, ω²-rekiko proportzionala da. Limitera iristen bada, z=h, adar horretako likidoa desagertzen da, eta une horretan:

Hori da manometro horrek neur dezakeen abiadura angeluar maximoa.

Dinamika osoa konplexuagoa da, baina ondorengo kapituluan aztertuko da, alegia, “Histeresia, ardatz baten inguruan biraka ari den U itxurako hodi batean".
 

Saiakuntza

Plataforma bat ardatz bertikal baten inguruan ari da biraka ω abiadura angeluarraz. Programa interaktiboak, hasieran, ausazko zenbaki bat asmatzen du abiadura angeluarrerako, rad/s-tan.

• Manometroan, likidoaren hasierako altuera finkotzat hartu da, h=25 cm.

• Hodi horizontalaren luzera ere finkotzat hartu da, L=50 cm.

Hasi botoian klik egin. Plataforma biraka ikusten da eta manometroan likidoa desplazatzen da.

• Biraketa-ardatzean dagoen adarrean, zenbakiz erakusten da idatzita likidoaren altuera.

• Datu horrekin plataformaren ω abiadura angeluarra kalkula daiteke.

Bestalde, plataformak birak emateko behar duen denbora ere enbatu daiteke, eta ω abiadura angeluarra kalkulatu.

Bi moduetan kalkulatutako abiadura hori programak asmatutakoarekin konpara daiteke Erantzuna botoian klik eginez.

Adibidea

Plataforma geldi dagoenean, likidoaren altuera bi adarretan hau da: h=25 cm.

Aldiz, biraka dagoenean, ardatzean dagoen adarreko likidoak honako altuera du: 14.3 cm.

z=25−14.3=10.7 cm.

Datu horretatik jadanik plataformaren abiadura angeluarra kalkula daiteke:

Bestalde, plataformaren abiadura angeluarra beste modu batekin ere kalkula daiteke: plataformak n bira emateko behar duen denbora zenbatuz:

2πn=ω·t

Adibide honetan bost bira emateko behar izan duen denbora hau izan da: t= 7.68 s.