Fluidoak

Fluidoen estatika

Oinarrizko ekuazioa

Paradoxa hidrostatikoa

Likido baten
dentsitate erlatiboa

Prentsa hidraulikoa

Presio atmosferikoa
neurtzeko bi metodo

Huts-ponpa

U itxurako bi hodi

Azelerometroak

 Histeresi zikloa

Oreka egoerak

Histeresi-zikloa

Energiaren analisia. Egonkortasuna

Saiakuntza

Erreferentzia

Kapitulu honetan deskribatzen dira fluido ideal batek dituen oreka-egoera posibleak, U itxurako hodi birakor batean dagoenean, eta biraketa-ardatzaren posizioa hodiaren simetria ardatzaren eta adarretako baten artean dagoelarik.

Hodia hiru adar zuzenez osatuta dago, hiruak sekzio berekoak baina bi bertikalak dira eta bat horizontala. Adar horizontalaren luzera d da eta bi muturretan bi adar bertikalak soldatuta daude. Hodiaren sekzioa oso txikia dela suposatuko dugu d distantziaren aldean.

Orokorrean, sistema fisiko batean histeresi-fenomenoa gertatzen dela esaten da, sistemaren egoera parametro baten menpekoa denean (kontrol parametroa), baina parametro hori aldatzean, sistemak ez dauka beti erantzun bera, aurretiazko egoeraren araberakoa baizik. Adibide tipikoa da material ferromagnetiko baten magnetizazioa kanpo-eremu magnetiko bat aplikatzen zaionean.

Manometro birakor baten egoera deskriba daiteke, likidoak daukan "z" altueraz, baina biraketa-ardatzetik urrutien dagoen adarrean (orekako h altueratik neurtuta). Aldatzen den parametroa, edo kontrol-parametroa, errotazioaren ω abiadura angeluarra da. Zenbait kasu berezitan, abiadura angeluarrak balio kritiko batzuk baldin badauzka, sistemaren egoerak jauzi bat burutu dezake. Bestalde, manometroaren egoera ez da berdina abiadura angeluar bereizi batetik gutxituz pasatzen denean edo handituz pasatzen denean.

Analisia, indarren ikuspegitik

Hasierako egoera

Manometroa h altueraraino likidoz betetzen da eta biraka jartzen da. Dei diezaiogun a biraketa-ardatzaren eta hurbileko adarraren arteko distantziari (beti a<d/2).

A konfigurazioa

Manometroak biratzen duenean likido-zutabea igo egiten da urrutiko adarrean (z altuera) eta jaitsi hurbileko adarrean, z kantitate bera. Kalkula dezagun z altuera, manometroaren adar horizontalaren oreka-baldintzetatik abiatuta, alegia, kalkula ditzagun adar horizontalak jasaten dituen indarrak (likidoaren pisua eta hodiaren erreakzio normala bertikalak dira eta ez diote eragiten likidoaren dinamikari). Indar bertikalez gain indar horizontalak daude:

Indar zentrifugoa:

Manometroak biratzen duenean, likidoaren elementuek indar zentrifugoa jasaten dute. Elementu baten masa dm da eta biraketa-ardatzetik x distantziara dago, beraz, jasaten duen indar zentrifugoa honakoa da: dFc=ω2·x·dm=ρAω2x·dx hemen ρ likidoaren dentsitatea da eta A hodiaren sekzio konstantea. Indar zentrifugo erresultantea lortzeko, indar zentrifugo hori integratu behar da x=−a-tik x=d−a-raino:

Indar zentrifugo erresultante horrek bi termino ditu kontutan hartuta: bata (−a-tik 0-ra) ezkerrerantz doana eta bestea (0-tik d−a-ra) eskumarantz doana.

Adar bertikalen pisuak:

Urrutiko adarrak daukan likidoaren pisua hau da: Fg=ρAg(h+z) eta adar horizontalari ezkerrerantz eragiten dio. Aldiz, hurbileko adarrak daukan likidoaren pisua hau da: F’g=ρAg(h−z) eta adar horizontalari eskumarantz eragiten dio.

Oreka

Adar horizontaleko likidoak jasaten dituen indar guztien erresultantea nulua izan behar da:

F_c+F'_g−F_g=0

Manometroaren ω abiadura angeluarra handitzen den heinean, likidoaren z altuera handituz doa urrutiko adarrean, ω²-rekiko proportzionalki, eta gutxituz doa hurbileko adarrean. Hain zuzen ω²-ren eta z-ren arteko erlazioa lineala da, hau da, funtzioa grafikoki irudikatzen badugu, zuzen bat aterako da. Limite bat dauka, izan ere, z=h denean, hurbileko adarreko likidoa desagertu egiten da, eta une horretako abiadura angeluarra maximoa da:

Manometroaren abiadura angeluarra, hori baino handiagoa bada (ω>ω_max) likidoak bestelako konfigurazio bat hartzen du, ondoren ikusiko dugun bezala.

B konfigurazioa

B konfigurazioan, hurbileko adarrak ez dauka likidorik eta adar horizontala erdi beteta  dago. Biraketa-ardatzetik likidoaren ertzeraino dagoen distantzia hau da: z−a−h, irudiak erakusten duen bezala. Fluidoa konprimiezina denez, bere luzera totala konstantea izan behar da, hasieran zeukan bera: d+2h

• Likidoak, guztira, adar horizontalean eta adar bertikalean d+2h luzera dauka.

• Adar bertikalean, h+z luzera dauka.

• Beraz, adar horizontaleko luzera hau izan behar da: d−(a+z−h−a) = d−z+h

Indar zentrifugoa

Adar horizontaleko likidoak jasaten duen indar zentrifugo erresultantea honela kalkulatzen da:

Eta eskumarantz doa.

Adar bertikalen pisuak Adar bertikal bakarrak dauka pisua, urrutikoak: Fg=ρAg(h+z) Eta likido horizontalari ezkerrerantz bultzatzen dio.

Oreka

Oreka baldintza hau da F_c=F_g

Hain zuzen ω²-ren eta z-ren arteko erlazioa ez da lineala, A konfigurazioan ez bezala, hau da, funtzioa grafikoki irudikatzen badugu, ez da zuzen bat aterako, kurba bat baizik. Kurba horrek muga bat dauka, izan ere, z=h denean.

A konfigurazioko limitea eta B konfigurazioko limitea puntu bera dira, alegia (ω², h).

Oreka egoerak

Ondorengo irudiak erakusten du manometroko z altuera gehigarria, urrutiko adarrean, abiadura angeluarraren karratuaren menpe, ω², eta parametroen balio zehatzak hauek dira:

• Adar bertikalen arteko distantzia, edo adar horizontalaren luzera, d=2.0.

• Biraketa-ardatzaren posizioa, a=0.85

• Likidoaren hasierako altuera, h=0.6

A konfigurazioa.

Likidoa hurbileko adarretik desagertzeko limitea, alegia, z=h izatea lortzen duen ω abiadura angeluarra hau da.

Grafikoki adierazten bada z-ren eta ω²-ren arteko erlazioa:

Zuzen bat ateratzen da, 0<ω<ω_max tartean baliozkoa dena, eta irudian gorriz adierazi dena.

B konfigurazioa

Konfigurazio honetan, z-ren eta ω²-ren arteko erlazioa konplexuagoa da

eta irudian urdinez adierazi da.

Bakantzen badugu z esplizituki ω²-ren menpe bigarren graduko ekuazioa ematen du:

Ekuazio horren bi soluzioak hauek dira:

Beraz, abiadura angeluarraren balio baterako (betiere ω>ω_min) bi balio posible existitzen dira z-rentzat, ondoren analisi energetikoan ikusiko dugun bezala, bata oreka egonkorrekoa da eta bestea berriz, oreka ezegonkorrekoa.

Abiadura angeluar minimoa (ω_min) lortzen da bi soluzioak berdinak direnean, alegia, erro karratuaren diskriminatzailea nulua denean:  B²=C, eta z_min=B

Lehenik, erro karratuaren zeinu positiboa hartzen badugu, gero, z-ren balio negatibo bat lortuko dugu, aldiz, erro karratuaren zeinu negatiboa aukeratzen badugu, z-ren balio positiboa lortzen da.

Beraz, abiadura angeluarrerako:

Abiadura angeluar minimo horri, urrutiko adarrean dagokion likidoaren z_min altuera-gehigarria hau da:

Hortik lor daiteke z_min edo, bestela, ω² deribatuz z-rekiko.

Eta nulua izan behar dela inposatuz:

Lehen emandako zenbakizko datuekin (h=0.6, a=0.85 eta d=2.0).

Histeresi-zikloa

Irudiak erakusten du likidoaren egoerak (z altuera-gehigarriak) manometro birakorrean gauzatzen duen histeresi zikloa, ω abiadura angeluarra handitzen eta gutxitzen denean.

• Ardatz bertikalean adierazten da urrutiko adarreko likidoaren altuera-gehigarria.
• Ardatz horizontalean, berriz, abiadura angeluarraren karratua, ω².

Pausagunetik abiatuta, manometro birakorraren abiadura angeluarra handituz doanean,  0<ω<ω_max, A konfigurazioa hartzen du, alegia, urrutiko adarreko z altuera-gehigarria linealki hazten da ω²-rekin, abiadura angeluarraren karratuarekin (zuzen gorria).

Abiadura angeluarrak ω_max atzematen badu (irudian 1 egoera), orduan, hurbileko adarreko likidoa desagertzen da (z=h).

Manometroaren egoerak jauzi bat dauka eta B konfiguraziora pasatzen da (2 egoera egonkorra) konfigurazio horretan 1 egoera ezegonkorra delako. Likidoak urrutiko adarrean daukan z altuera kalkulatzeko, B konfigurazioko ekuazioan ω=ω_max ordezkatu behar da eta erro karratuaren zeinu positiboa hartu, beraz z altuera bat-batean handituko da:

Une horretan, abiadura angeluarra gutxitzen badugu, manometroaren egoerak B konfigurazioaren bidea jarraituko du, 2-tik 3-ra (ω_min, z_min) eta, bertan, berriz ere jauzi bat dauka 4 egoerara, A konfiguraziora. Abiadura angeluarra are gehiago gutxitzen jarraitzen badugu, z altuera-gehigarria linealki gutxituz doa (zuzen gorritik) koordenatuen jatorriraino ( z=0, ω=0).

Kasu bereziak

Kontutan izan, adar horizontalaren luzera d izendatu dugula, eta biraketa-ardatzetik hurbileko adarrera dagoen distantzia, a<d/2, izan behar dela, beraz:

• z_min zenbaki erreala izan dadin,

Erro karratuaren barruko terminoa positiboa izan behar da: 2a+2h>d.

Baldintza hori betetzen ez bada, esaterako h=0.6, a=0.3 eta d=2.0, ez dago z_min baliorik, ondoko irudiak erakusten duen bezala (z funtzioa ω²-ren menpe).

• Histeresi fenomenoa gerta dadin derrigorrezkoa da z_min>h, izatea, hau da:

Ondoko irudian, h=0.8, a=0.4 eta d=2.0, alegia, existitzen da z_min, baina ez da betetzen z_min>h.

• Histeresi-fenomenoa gerta dadin:

Inekuazio sorta batekin adieraz daitezke histeresia gertatzeko baldintzak: x eta y definitu diren bezala, ondoko irudiko XY planoaren lehen koadrantean, horiz margotutako eskualdea da histeresia gertatzeko baldintza guztiak betetzen dituena.

(a, h) parametroen zenbakizko balioak aukeratu ondoren (x,y) planoko koordenatuak kalkula daitezke eta egiaztatu ea eskualde horiaren barruan ote dagoen. Puntua eskualde horiaren barruan badago, sistemak histeresia dauka, bestela ez.

Energiaren analisia. Egonkortasuna

Aurreko ataletan oreka-egoerak aztertu ditugu indarren ikuspegitik, energiaren ikuspegiaz, berriz, oreka-egoeraren izaera azter daiteke, alegia, oreka egonkorra ala ezegonkorra den.

Energia potentzial zentrifugoa

Partikula batek jasaten duen indar zentrifugoa hau da: F=m ω2·x m partikularen masa da eta x, partikulatik ardatzeraino dagoen distantzia.

Indar hori posizioaren menpekoa da, F(x), izan ere, malgukiak egiten duen indarraren antzekoa, beraz indar kontserbakorra.

• Malgukiak egiten duen indarra hau da: F=−kx eta dagokion energia potentziala:

• Hortaz, antzekotasunez, indar zentrifugoa, F=mω²x, eta dagokion energia potentziala:

Energia potentzial grabitatorioaren jatorria, edo zero-maila, manometroaren adar horizontalean kokatzen dugu, eta energia potentzial zentrifugoarena, berriz, biraketa-ardatzean.

A konfigurazioa

Energia potentzial grabitatorioa

Urrutiko adarrak daukan likidoaren masa hau da:  ρA(h+z), eta bere masa-zentroaren altuera (h+z)/2. Hurbileko adarrak daukan likido-masa, berriz,  ρA(h−z), eta bere masa zentroaren altuera (h−z)/2. Bi adarretan dagoen likidoaren energia potentzial totala hau da:

Adar horizontaleko likidoak energia potentzial nulua dauka.

Energia potentzial zentrifugoa

Likidoaren energia potentzial zentrifugoa kalkulatzeko biraketa-erradioak ezagutu behar dira; hurbileko adarrekoa a da, eta urruneko adarrarena, berriz, d−a (E_1c).

Adar horizontaleko likidoak daukan energia potentzial zentrifugoa kalkulatzeko (E_2c), dm elementuak hartu behar dira, ardatzetik x distantziara, eta integratu -a-tik (d-a)-raino:

Beraz, A konfigurazioan, likidoaren energia potentzial totala (zentrifugoa + grabitatorioa):

E_p(z)=E_1c+E_2c+E_g

B konfigurazioa

Energia potentzial grabitatorioa

Ardatzetik hurbil dagoen adarrak ez dauka likidorik, hutsik dago. Ardatzetik urrun dagoen adarrak, berriz, ρA(h+z) masa dauka eta bere masa-zentroaren altuera: (h+z)/2

Energia potentzial grabitatorio totala urrutiko adarrarena da:

Lehen bezala, adar horizontalaren energia potentzial grabitatorioa nulua da.

Energia potentzial zentrifugoa

Urruneko adarraren biraketa-erradioa d-a da, beraz, bere energia potentzial zentrifugoa (E_1c):

Adar horizontaleko likidoak daukan energia potentzial zentrifugoa kalkulatzeko, lehen bezala, dm elementuak hartu behar dira, ardatzetik x distantziara, baina oraingoan, erdi hutsik dagoenez, integratu behar da (z-h-a)-tik (d-a)-raino:

Hortaz, B konfigurazioan likidoak daukan energia potentzial totala (zentrifugoa + grabitatorioa):

E_p(z)=E_1c+E_2c+E_g

Egiazta daiteke E(z) funtzioa jarraitua dela, eta balio bakarra dauka z=h, posizioan, alegia A eta B konfigurazioaren arteko mugan,

E_A(h)=E_B(h)

Adibideak:

• Adar bertikalen arteko distantzia (adar horizontalaren luzera), d=2.0.

• Hurbileko adarretik biraketa ardatzerainoko distantzia, a=0.85

• Likidoaren hasierako altuera, h=0.6

Lehenago, "Oreka egoerak" atalean kalkulatu dugun bezala: ω_min=5.27 rad/s eta ω_max=6.26 rad/s.

Energia potentzial totala, E(z), grafikoki adieraz daiteke zenbait abiadura angeluarretan: ω: 4, 5.5 eta 6.5 rad/s, alegia, minimoa baino txikiagoa, ω_min eta ω_max bitartean eta maximotik gora.

Irudiak erakusten duen bezala:

• ω=4 zuzenak (marra ez jarraitu bertikalak, w²=16) A konfigurazioaren funtzioa mozten du soilik (zuzen gorria).

• ω=5.5 zuzenak (w²=30) A konfigurazioaren funtzioa mozten du puntu batean eta B konfigurazioarena, berriz, bi puntutan.

• ω=6.5 zuzenak (w²=42) B konfigurazioa soilik mozten du, bi puntutan.

Azter dezagun goiko irudiko puntu beltz lodietan (ω, z) oreka-egoeren izaera (egonkorra edo ezegonkorra), .

1. ω=4 rad/s, (ω<ω_min) ondorengo irudiak erakusten du energia potentziala, E(z):

A konfigurazioaren oreka-posizioa honako formularen bitartez kalkulatzen da:

2. ω=5.5 rad/s, (ω_min<ω<ω_max) ondorengo irudiak erakusten du energia potentziala, E(z):

Hiru oreka-posizio daude, A konfigurazioarena honako formularen bitartez kalkulatzen da, lehen bezala:

Eta B konfigurazioaren oreka-posizioak:

B=1.126, C=1.169

z₂=0.81, z₃=1.44

Irudian ikusten denez, z₂ egoera maximo lokala da beraz, egoera ezegonkorra. Manometroaren egoera izan daiteke z₁ egoera, A konfigurazioari dagokiona, edota z₃ egoera, B konfigurazioari dagokiona.

3. ω=6.5 rad/s, (ω>ω_max) ondorengo irudiak erakusten du energia potentziala, E(z):

Oreka-posizio bi daude, biak B konfigurazioari dagozkie.

B=1.218, C=1.058

z₂=0.57, z₃=1.87

 Irudian ikusten denez, z₃ minimoa da beraz, oreka egonkorrekoa. z₂ inflexio puntua da, ezegonkorra.

4. ω=6.26 rad/s, (w=w_max) ondorengo irudiak erakusten du energia potentziala, E(z):

A konfigurazioari dagokion oreka-posizioa, z₁, hauxe ateratzen da.

z₁=0.60

Eta B posizioari dagozkion bi oreka posizioak:

B=1.20, C=1.08

z₂=0.6, z₃=1.80

Irudian ikusten denez, A konfigurazioari dagokion z₁ oreka-posizioa ez da egonkorra (B konfigurazioko z₂ egoeraren berdina da), eta perturbazio txiki batekin, B konfigurazioko z₃ oreka-egoerara pasatuko da.

5. ω=5.27 rad/s (w=w_min) ondorengo irudiak erakusten du energia potentziala, E(z):

A konfigurazioko oreka egoera:

z₁=0.42

Eta B konfigurazioko oreka egoerak:

B=1.20, C=1.08

z₂=1.10, z₃=1.10

B konfigurazioko oreka egoera biak berdinak dira (z₂= z₃) eta ezegonkorrak, beraz, perturbazio txiki batekin A konfigurazioko z₁ oreka-egoerara pasatuko da.

Saiakuntza

• Leihatilaren ezkerreko aldean XY grafikoa agertzen da (horiz markatuta histeresidun eskualdea) eta saguarekin aukera daitezke, batetik, a (hurbileko adarretik biraketa ardatzerainoko distantzia) eta bestetik, h, likidoaren hasierako altuera, zirkulutxo gorria gora eta behera edo ezker-eskuin desplazatuz (x=2a/d eta y =2h/d).
• Adar bertikalen arteko distantzia (edo adar horizontalaren luzera) finkotzat hartu da: d=2.0, eta beraz, a<d/2=1.

Hasteko hiru botoietako bat aktibatu behar da:

• Dispositiboa, U itxurako hodia, edo manometroa, erakusten da, biraketa-ardatzaren inguruan biraka, gero eta bizkorrago. Uneoro programak idatziz ematen ditu abiadura angeluarra eta likidoaren altuera urrutiko adarrean. Gelditu/Pausoka botoiak erabiliz, likidoaren zutabearen altuera neur daiteke.
• E. potentziala, grafikoki adierazten da E(z) energia potentziala abiadura angeluarraren balio bakoitzerako, eta bakoitzean oreka-egoerak markatzen dira, puntu urdin batez.
• Altueraren graf. Grafikoki adierazten da urrutiko adarreko likidoaren altuera, abiadura angeluarra handitu ahala. Grafikoan bertan idatziz erakusten dira w² eta z-ren zenbakizko balioak.

Hasi botoia sakatu.

Abiadura angeluarra handituz doa, linealki denboran zehar, harik eta 9 rad/s atzematen duen arte. Ondoren, gutxituz doa nulu bilakatu arte. Hiru pantailetako bat aukeratu dugu.

Energia potentzialaren E(z) adierazpena aukeratu denean, edozein momentutan ardatz bertikalaren Eskala alda daiteke, zerrenda tolesgarrian faktore bat aukeratuz.