Uhinak

Saiakuntza

Difrakzioa eta interferentzia, biak berez, uhinen fenomenoak dira. Difrakzioa agerian jartzen da oztopo batek uhin bat mozten duenean, baina oztopoaren tamaina eta uhinaren uhin-luzera konparagarriak izan behar dira. Kasurik errazena zirrikitu lineala da, estua eta luzea, beraz, bi muga edo ertz baino ez dituena. Demagun zirrikitura iristen den uhina laua dela, harmonikoa eta perpendikularki erasotzen duela zirrikituaren planoarekiko, eta behatzailea ere urrun dagoela, zirrikituaren zabaleraren aldean.

Huygens-en printzipioaren arabera, uhinak zirrikitua atzematen duenean, hutsunearen planoan dauden puntu guztiak uhin-iturri sekundario bilakatzen dira eta uhin berriak igortzen dituzte. Uhin berri horiek berriro gainezartzean, uhin berria osatuko dute, uhin difraktatua deritzona, beraz, difrakzioa eta interferentzia, izatez, kualitatiboki oso antzekoak dira. Lehenago aztertu bada uhinen interferentzia, zenbait iturrirekin, difrakzioa azaltzeko ere interferentzia aztertu behar da, baina iturri-kopuru infinituarekin.

Deskribapena

Dei diezaiogun zirrikituaren zabalerari, b, eta har ditzagun uhin-iturri puntual eta sekundarioak zirrikituaren zabalera osoan zehar sakabanatuta.

• Zirrikituaren beheko ertzetik (O-tik) igortzen den uhinaren eta x posiziotik igortzen den uhinaren arteko bide-diferentzia hau da:  x·sinq .
• Zirrikituaren beheko ertzetik (O-tik) igortzen den uhinaren eta beste ertzetik igortzen den uhinaren arteko bide-diferentzia hau da:  b·sinq .

Bi ertzen artean dagoen puntu-kopurua infinitua da eta denek igortzen dituzte uhin harmonikoak. Uhinok P puntu batera iritsiko dira eta bertan gainezarri. Gainezarriko diren bektore-kopurua infinitu da, baina anplitude infinitesimala dute. Bektore-gainezarketa horrek, poligonala eman beharrean, zirkunferentzia-arku bat osatzen du. Dei diezaiogun arku horren korda erresultanteari A.

x posizioan dagoen iturriari dagokion bektoreak δ angelua osatzen du horizontalarekiko, eta honela kalkula daiteke: kx·sinq .

x=b posizioan dagoen iturriari dagokion bektoreak, ordea, a angelua osatzen du horizontalarekiko, eta honela kalkula daiteke:a= kb·sinq =2p b·sinq /l . Angelu hori, a, eta zirkunferentzia osoak osatzen duena berdinak dira (ikusi irudia). Zirkunferentzia horren erradioari dei diezaiogun r.

Kalkula ditzagun korda erresultantearen luzera (A) eta arkuaren luzera (A_o):

Bi ekuazioen artean r erradioa elimina daiteke, eta hona emaitza:

Uhinen I intentsitateak anplitudeen karratuaren proportzionalak dira, beraz kalkula ditzagun karratuak:

Funtzio hori aztertuta, ikusten da intentsitateak maximo bat daukala x=0 denean, zeren,

x nulua izateko, q  angelua nulua izan behar da, alegia, intentsitate maximoa dago zirrikituaren planoaren norabide perpendikularrean.

Intentsitatearen minimoak

Intentsitatearen funtzioak minimoak dauzka zenbatzaileko sinua nulua denean (x=0 izan ezik), alegia, bere argumentua p-ren multiplo osoa denean:

edo bestela esanda:

Hauexek dira zirrikitu estu batek sortzen duen difrakzio-patroiaren minimoen posizioak, Fraunhofer-en baldintzetan.

Maximo sekundarioak

Maximo sekundarioak, gutxi gora behera, minimoen tarteetan daude, erdi inguruan, baina zehazki kalkulatzeko, intentsitatearen adierazpena deribatu behar da x-rekiko, eta gogoan izan x=πb·sinq /l.

• Baldin sinx/x =0 intentsitatea minimoa da, eta nulua,  I=0

• Baldin x·cosx-sinx=0  edota x=tanx intentsitatea maximoa da.

Lehen maximoa x=0 da, maximo nagusia (lehen kalkulatu bezala), baina beste maximo sekundarioak kalkulatzeko ekuazio transzendentea ebatzi behar da: x=tanx. Soluzio horiek grafikoki edo numerikoki kalkulatu behar dira.

Grafiko horretan ikusten denez, maximo sekundarioak gertatzen dira, zehazki ez, baina gutxi gora behera bai, minimoen tarteetan, alegia,

x_n≈(2n+1)π/2 eta n=±1, ±2, ±3…

Aplikatzen badugu, gutxi gora behera maximoetan sin(x_n)=1 dela, orduan maximoetako intentsitatea honakoa ateratzen da:

Ikus daitekeenez, maximoetako intentsitatea oso bizkor moteltzen da n handitzen den heinean.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Uhin luzera, l, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Zirrikituaren zabalera, b, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Zirrikituaren hutsunean hartzen diren iturri-kopurua, zerrenda tolesgarrian aukeratuz. Zenbat eta iturri sekundario gehiago hartu,  hobeto aterako da zirrikituak emandako difrakzio-patroia (hobe infinitu), baina ordenagailuari denbora gehiago eskatzen dio kalkulatzeak.

Irudia botoia klikatu.

Ezkerraldean uhin harmoniko lauak ikusten dira zirrikitua erasotzen, eta zirrikitua zeharkatu ondoren, uhin difraktatuak, uhin-kubeta batean lortzen direnak bezalakoak, alegia, ur-olatutxoek osatzen dituztenak.

Eskumarago, tarteki bertikal batean, intentsitatearen grafikoa erakusten da (energiaren batez bestekoa) gris-eskalan irudikatuta eta x=200 posizioari dagokiona (intentsitate maximoa zuriz eta minimoa beltzez), argazki bat bezala. Azkenik, eskumako aldean intentsitatearen grafikoa posizio horretan (x=200) baina, XY diagrama bidez adierazita.

Adibidea:

Idatz bitez, esaterako, honako parametroak: Uhin luzera, λ=10 Zirrikituaren zabalera, b=40 Iturri sekundarioen kopurua, 20.

Difrakzioaren lehen minimoa honako posiziorako ateratzen da: y=50. Lehenik, angelua kalkulatzen da tanθ=50/200, eta ondoren, egiazta daiteke, b·sinθ≈λ.

Kontutan izan behar da, Fraunhofer-en baldintzetan, behatzailea oso urruti egon behar dela kokatuta zirrikituaren zabalerarekin konparatuz, eta simulazio honetan gerta daiteke baldintza hori oso ondo ez betetzea (b_max=70 eta x=200 ). Hala ere, kualitatiboki bada ere, programak ematen duen difrakzio-patroia errealaren antzekoa da.