Uhinak

Uhinen hedapena

Hedapena nola
deskribatu 
matematikoki

Uhin harmonikoak

Soinuaren abiadura
neurtzen

Zeharkako uhinak
soka batean

Uhin geldikorrak (I)

Zeharkako uhinak
haga solido batean

Uhin geldikorrak (II)

Luzetarako uhinak
haga solido batean

Uhinen islapena
eta transmisioa

Errefrakzioaren
  Snell-en legea

Ispilatzeak

Huygens-en printzipioa

Errefrakzioaren Snell-en legea

Fermat-en printzipioa

Aurreko kapituluan "uhinen islapena eta transmisioa" aztertu ditugu, baina dimentsio bakarrean, alegia, X ardatzean, eta x=0 posizioan kokatu dugu bi medioen arteko muga. Ikusi dugunez, uhin bat bi medioen arteko mugara iristen bada (betiere norabide perpendikularrean) zati bat islatu eta beste zatia transmititu egiten da; zenbat islatuko eta zenbat transmitituko den bi medioen ezaugarri mekanikoen araberakoa da.

Honako kapitulu honetan fenomeno bera aztertuko dugu, alegia, islapena eta errefrakzioa, baina bi dimentsiotan, hau da, eraso uhinak mugaren norabide normalarekin angelu ezberdinak osatzen dituenean.

Huygens-en printzipioa

Huygens-en printzipioak metodo geometrikoa ematen du, uhin-fronte bat aldiune batean ezagutzen bada, ondorengo aldiunean uhin-fronte horrek izango duen forma kalkulatzeko. Printzipio horren arabera, uhinak atzematen duen puntu bakoitza iturri bilakatzen da, eta uhin esferikoak igortzen ditu (uhin esferiko sekundarioak norabide guztietan hedatzen dira eta uhin primarioaren maiztasun eta abiadura bera daukate). Uhin esferiko sekundario guztien artean uhin-fronte berria osatzen dute (esfera sekundarioak inguratzen dituen gainazala), ondoko irudiak erakusten duen bezala.

Demagun hasierako uhin-frontea ezagutzen dugula: AB. Fronte horren gainean har ditzagun zenbait puntu (urdinak eta gorriak). Puntu horiek guztiak iturri sekundario bilakatzen dira. Demagun uhinaren abiadura v dela. Orduan, t aldiuneko uhin-fronte berriaren forma kalkulatzeko, A'B', iturri sekundarioetako bakoitza zentrotzat hartuta, esfera bat irudikatu behar da, v·t. erradioduna (gorriak). Esfera guzti horien artean uhin-fronte berria osatzen dute (esferen gainazal inguratzailea).

Esferen erradioak berdinak izango dira baldin eta medioa isotropoa eta homogeneoa bada, alegia, uhinaren abiadura ez bada aldatzen puntutik puntura edota norabidearen arabera (medio anisotropo edo/eta ez-homogeneoak existitzen dira).

Islapenaren legea

Ezkerreko irudiak erakusten du uhin-fronte lau bat gainazal lau bat erasotzen. Marra urdinak (A,B,C) uhin-fronte lauak dira, eta eskumarantz eta gorantz desplazatzen ari dira. Gainazala bertikalki irudikatu da (beltza) eta uhin-fronte islatuak gorriz irudikatu dira: gorantz eta ezkerrerantz desplazatzen dira. Dei diezaiogun  θ_i  uhin erasotzaileak gainazalarekiko osatzen duen angeluari. Huygens-en printzipioarekin arrazoituz, frogatuko dugu uhin islatuak gainazalarekin osatzen duen angelua (θ_r) eta eraso angelua berdinak direla: θ_i= θ_r .

Hasteko, ohar bedi C fronteak lehenago atzemango duela muga eta beraz, lehenago islatuko dela (lehen marra gorri luzea), ondoren B frontea (marra gorri motza) eta azkena A frontea. Beraz, islatzen den bitartean, uhin-frontea zatituta egongo da.

t aldiuneko uhin-fronte berriaren forma kalkulatzeko, har ditzagun iturri sekundariotzat uhin primarioko bi puntu (O eta P erdiko irudian) . Horietako bakoitza zentrotzat hartuta, esfera bat irudikatu behar da, v·t. erradioduna. Izan ere, O puntua mugan bertan dago eta P puntua oraindik ez. Lot ditzagun O' puntua eta P' puntua (esfera sekundarioen gainazal inguratzailea O' puntuan tangentea da) eta horrek emango du uhin-fronte berria. Hiruki bi osatu ditugu: OPP’ eta OO’P’ . Bi triangeluak antzekoak direnez, ondorioztatzen da θ_i eta θ_r berdinak izan behar direla.

Uhin-fronteekiko norabide perpendikularrak irudikatzen baditugu, eraso-izpia eta islaturiko izpia definituko dira (eskumako irudia). Ikusten da, bi izpiek osatzen dutela angelu bera mugaren norabide normalarekiko: θ_i= θ_r .

Errefrakzioaren Snell-en legea

Demagun, lehen bezala, mugarantz ezkerretik erasoan datorren uhina. Lehen medioan, uhinaren abiadura v₁ da eta  bigarren medioan, berriz, v₂. Aplika dezagun berriro ere Huygens-en printzipioa transmitituriko uhinaren norabidea kalkulatzeko.

Ezkerreko irudian hiru puntu hartu dira uhin-fronte primarioan (gorriak). Bata mugan bertan, bestea erdibidean eta bestea urrutiago. Puntu horietako bakoitza zentrotzat hartuta zirkulu bat irudikatu behar da, v·t erradioduna, baina lehen medioan v₁ eta bigarren medioan v₂, transmititzen den zatirako. Lehen bi puntuak hartuta (O eta P) erdiko irudiak erakusten du lehen medioko abiadura handiagoa bada bigarren mediokoa baino, orduan O'P' norabideak ez daukala OP norabide bera, beraz, uhina desbideratu edo errefraktatu egiten dela. 

Erasoko uhin-fronteak mugarekin osatzen duen angeluari dei diezaiogun θ₁ eta errefraktatutako uhin-fronteak mugarekin θ₂ .

Kalkula dezagun angelu bi horien arteko erlazioa:

• OPP’ triangelu zuzena da eta honako erlazioa betetzen du:

v₁·t=|OP’|·sinθ₁

• OO’P’ ere triangelu zuzena da eta honako erlazioa betetzen du:

v₂·t=|OP’|·sinθ₂

Hortaz, hona hemen bi angeluen arteko erlazioa:

Uhin-fronteekiko norabide perpendikularrak irudikatzen baditugu, eraso-izpia eta errefraktatutako izpia definituko dira (eskumako irudia). Ikusten da, bi izpiek angelu ezberdina osatzen dutela mugaren norabide normalarekiko: θ₁¹ θ₂ .

Islapen totala

• Baldin v₁>v₂ orduan θ₁ > θ₂ ; horrek esan nahi du izpi errefraktatua norabide normaletik hurbilago dagoela (erasokoa baino).

• Aldiz, v₁<v₂ orduan θ₁ < θ₂ ; horrek esan nahi du izpi errefraktatua norabide normaletik urrunago dagoela.

Bigarren kasu horretan, badago angelu kritiko bat, θ_c, zeinetan errefrakzio-angelua θ₂ =π/2 izan daitekeen. Eta orduan:

Angelu kritikoa da angelu erasotzaile bat zeinak errefrakzio-angelua ematen duena mugaren norabide berean, alegia mugarekiko tangente.

Baldin eraso-angelua angelu kritikoa baino handiagoa bada, orduan errefraktatutako angeluaren sinua unitatea baino handiago ateratzen da (ezinezkoa!) . Horrek esan nahi du, uhin batek muga erasotzen badu angelu kritikoa baino angelu handiagoz, ez dela bigarren mediora pasatzen, eta islatu besterik ez dela egingo.

Irudiak erakusten ditu puntu gorritik abiatzen diren hiru izpi eta, gainean, bi medioen arteko muga. Eraso angelua (θ₁) handitzen den heinean errefrakzio-angelua ere (θ₂) handituz doa, baina θ₂ handiagoa denez, lehenago iristen da π/2 izatera. Hortik aurrera eraso izpia ez da errefraktatzen, eta islatu besterik ez da egiten, horregatik deitzen zaio islapen totala (lehen bi izpietan ez dira islapen-izpiak irudikatu, baina, egon, badaude, izan ere θ_r=θ_i).

Errefrakzio indizea

Argiaren kasuan, medio garden baten errefrakzio indize deritzo, argiak hutsean duen c abiaduraren eta argiak medio garden horretan duen v abiaduraren arteko zatidurari:

n=c/v

Snell-en errefrakzioaren legea, errefrakzio-indizeen menpe, honela adierazten da:

n₁·sinθ₁= n₂·sinθ₂

Ondoko taulak zenbait sustantziaren errefrakzio-indizeak ematen ditu:

Medio gardenek duten errefrakzio-indizea aldatu egiten da zertxobait argiaren uhin luzeraren menpe, horregatik, taula horrek ematen ditu medio ezberdinen errefrakzio-indizeak, baina sodioaren igorpenak duen lerro jakin baterako (589,3 nm).

Iturria: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física elemental. Mir argitaletxea (1975), 209 orrialdea.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Eraso Angelua, θ₁, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Errefrakzio-indizea, n, sustantzia ezberdinen zerrendan aukeratuz, edo, zuzenki, laukian idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Lehen medioa (horia) airea hartzen da: n₁=1, eta bigarrena (urdin argia) hautatutako sustantziarena, n₂ .

Behatzen da uhin-fronteak nola hedatzen diren medio batean eta bestean.

Bigarren medioak beti duenez lehenak baino errefrakzio-indize handiagoa (n₂ >1) beti betetzen da  θ₁ > θ₂, alegia, izpi errefraktatua hurbilago dagoela norabide normaletik, eraso-izpia baino.

Kontutan izan uhinaren zati bat islatu egiten dela beti, baina, sinplifikatzeko, programak hemen ez du irudikatzen.

Irudiak erakusten dituen uhin-fronte kontsekutiboen arteko distantzia uhin-luzera da, eta argiaren maiztasuna ez denez aldatzen medio batetik bestera pasatzean, uhin luzera aldatu egiten da, alegia, laburtu egiten da medioak hedatze-abiadura txikiagoa badu, edota errefrakzio-indize handiagoa badu:

Baldin  n>1 orduan  λ₀ > λ : hau da, argiaren uhin-luzera handiagoa da hutsean (edo airean) hedatzen ari denean, λ₀,  n errefrakzio-indizeko medio batean hedatzen ari denean baino, λ.

Alderantziz laukitxoa aktibatzen bada, orduan lehen medioa zerrendan aukeratutakoa da (urdin argia) eta bigarrena airea (horia) eta, beraz, lehen medioak dauka errefrakzio-indize altuena (n₁>1). Kasu horretan, eraso-angelua txikiagoa da errefrakzio-angelua baino: θ₁ < θ₂, edo, bestela esanda, izpi errefraktatua urrunago dagoela norabide normaletik, eraso-izpia baino.

Eraso-angeluak angelu kritikoa gainditzen badu, orduan uhin errefraktaturik ez dago, uhina ez baita bigarren mediora pasatzen, eta islatu besterik ez da egiten. Kasu horretan, programak islatutako uhin-fronteak irudikatzen ditu.

Kalkula bitez angelu kritikoak uretan, diamantean, eta abar, eta beha bedi nola jokatzen duen uhinak eraso-angelua angelu kritikoa baino pixka bat txikiagoa bada edo pixka bat handiagoa.

Fermat-en printzipioa

Fermat-en printzipioaren arabera, argiak hartzen duen bidea puntu batetik bestera bidaiatzeko, denbora minimoko bidea da, alegia, denbora laburrena behar duena. Printzipio horretan oinarrituta, islapenaren eta errefrakzioaren legeak lor daitezke.

Islapenaren legea

Har dezagun argi-iturri puntual bat, S, gainazal islatzaile bat eta behatzaile bat, P. Argiak S puntutik abiatuta, gainazalean islatu eta P-raino iristeko, medioa aldatzen ez duenez, ez du abiadura aldatuko, eta beraz, denbora minimoko bidea distantzia minimoko bidea izango da.

Demagun S-k igorritako izpi bat A puntuan islatu eta P puntura iristen dela. Izpi horrek ibilitako distantzia SAP izango da. SAP distantzia kalkulatzeko har dezagun S' , izan ere, S-ren puntu simetrikoa gainazal islatzailearekiko, eta neur dezagun S'AP. Irudiak erakusten duenez, S'AP bidea ez da zuzena, okerra baizik eta, beraz, ez da ahalik eta laburrena. Hori baino laburragoa izango da S'BP lerro zuzena, eta horrexek dauka SBP bidearen luzera bera.

SBP lerroarentzat, hain zuzen ere, eraso-angelua, θi (eraso-izpiak norabide normalarekin osatzen duena), eta islapen-angelua, θr , (izpi islatuak norabide normalarekin osatzen duena) berdinak dira.

Errefrakzioaren legea

Har dezagun orain argi-iturri puntuala, S, eta behatzailea, P, medio ezberdinetan. Argiak S puntutik abiatuta, mugan errefraktatu eta P-raino iristeko, medioa aldatzen du eta beraz, abiadura ere bai. Oraingoan, denbora minimoko bidea ez da distantzia minimokoa izango. Kalkula dezagun zenbat denbora behar duen argi-izpi batek S-tik P-raino bidaiatzeko. Lehen zatia, SO, lehen medioan egiten du, v1 abiaduraz, eta bigarren zatia, OP, bigarren medioan v2 abiaduraz.

Lortu dugu t(x), hau da, t denbora matematikoki adieraztea x aldagaiaren menpe, alegia, O puntuaren posizioaren menpe. Denbora hori minimoa izateko, funtzio matematiko horrek minimo bat izan behar du, eta horretarako bere deribatua x-rekiko nulua izan behar da:

Eta ekuazio hori honela berridatz daiteke:

Izan ere, hauxe da Snell-en errefrakzioaren legea.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Argiaren abiadura lehen medioan (A), Abiadura A izeneko laukian idatziz, v₁.

• Argiaren abiadura bigarren medioan (B), Abiadura B izeneko laukian idatziz, v₂.

Berria botoia sakatu.

Argi-iturri puntuala, S, goialdeko medioan kokatzen da eta behatzailea, P, behealdeko medioan. Programak ausazko posizioak asmatzen ditu bi puntuentzat.

Erabiltzaileak mugako O puntuaren x posizioa alda dezake saguarekin laukitxo gorria ezkerrera edo eskumara desplazatuz. Laukia kokatu ondoren, Ibilbidea botoia sakatu eta programak SOP bidea irudikatzen du (izpi erasotzailea eta errefraktatua) eta argiak behar duen denbora kalkulatzen du.

Ondoren, erabiltzaileak berriz ere O puntua  ezkerrera edo eskumara desplaza dezake eta programak bide berriaren iraupena kalkulatuko dio. Programak leihatilaren ezkerraldean idatziz erakusten ditu oraingo bidearen iraupena eta aurrekoarena, biak konparatu ahal izateko.

Erabiltzaileak denbora minimoko ibilbidea zehatz-mehatz aurkitzen duenean (argiak benetan jarraitzen duen ibilbidea), orduan programak idatziz erakusten ditu bi angeluak: erasotzailea eta errefraktatua, norabide normala (bertikala) erreferentziatzat hartuta eta gradutan.

Adibidea:

Har ditzagun bi abiaduren balioak:

• A medioan (horian) v₁=1.0;

• B medioan (urdin argian) v₂=4.0

Berria botoia sakatu.

Erregela biekin (horizontala eta bertikala) neur ditzagun zehazki S eta P-ren posizioak; biak dira puntu urdinak, S iturria goiko medioan eta P behatzailea beheko medioan.

• Iturriaren posizioa: S (2.4, 3.3)
• Behatzailearen posizioa: P (-3.1, -2.0)

Eraman dezagun saguarekin laukitxo gorria honako posiziora: x= -1.8.

Ibilbidea botoia sakatu.

Hona hemen argiak ibilbide hori burutzeko behar duen denbora:

Eraman dezagun saguarekin laukitxo gorria beste posizio batera eta berriz ere Ibilbidea botoia sakatu. Horrela behin eta berriz denbora minimoko ibilbidea aurkitu arte. Denbora minimoko ibilbidea da argiak benetan jarraitzen duena.

Kasu honetan, x=1.6 posiziorako, argiak SOP ibilbidea burutzeko behar duen denbora minimoa da.

Hona hemen bi izpiek osatzen dituzten angeluak norabide normalarekiko:

Snell-en errefrakzioaren legea egiaztatzen da: