Uhinak

Interferentzia 
eta difrakzioa

Quincke-ren hodia

Uhinen interferentzia
bi iturrirekin (I)

Uhinen interferentzia
bi iturrirekin (II)

Uhinen interferentzia 
zenbait iturrirekin

Zirrikitu batek
sortutako difrakzioa

Interferentzia
gehi difrakzioa

Difrakzioa, irekigune
laukizuzenarekin
eta zirkularrarekin

Fresnelen difrakzioa

Bi iturri sinkronok igorritako uhinen interferentzia

Intentsitatea

Saiakuntza

Erreferentzia

Kapitulu hau aurreko kapituluaren jarraipena da, bi iturri sinkronok sortutako interferentzia aztertzen da, baina orain ez da dimentsio bakarrean egiten, bi dimentsiotan baizik.

Bi iturri sinkronok igorritako uhinen interferentzia

Har ditzagun bi iturri puntual, S₁ eta S₂; biek igortzen dituzte uhin harmonikoak, w maiztasunekoak eta sinkronoak, alegia, hasierako fase bera dute.

S1 iturriak bakarrik igortzen duenean, uhinaren eraginez, P puntuak Higidura Harmoniko Sinplea deskribatzen du (H.H.S.), w  maiztasun angeluarrekoa eta A1 anplitudekoa: y1=A1·sin(kr1−w t) Aldiz, S2 iturriak bakarrik igortzen duenean, P puntuak H.H.S. deskribatzen du, w  maiztasun angeluarrekoa baina A2 anplitudekoa. y2=A2·sin(kr2−w t)

Bi iturriek aldi berean igortzen dutenean, P puntuak deskribatzen duen higidura da, bi HHS gainezarrita, norabide berean eta maiztasun berdinak, oszilazioen kapitulu batean ikusi genuen bezala. Kasurik interesgarrienak gertatzen dira bi HHS-ak fasean daudenean edota aurkako faseetan.

Fasean, interferentzia eraikitzailea

Bi HHS-ak fasean egongo dira, bien arteko fase-diferentzia 2p-ren multiplo osoa denean. Bi uhinen arteko fase-diferentzia bideen arteko diferentziari dagokio: kr2−kr1 . Eta  k=2p/l . kr2−kr1 =2np     r2−r1 =nλ Kasu horretan, anplitude erresultantea da bi anplitudeen batura: A=A1+A2

Aurkako faseetan, interferentzia ezabatzailea.

Bi HHS-ak aurkako fasetan egongo dira, bien arteko fase-diferentzia p-ren multiplo bakoitia denean. kr2−kr1 =(2n+1)p     r2−r1 =(n+½)λ Kasu horretan, anplitude erresultantea da bi anplitudeen kendura: A=A1−A2 . Bi anplitudeok berdinak badira, P puntua ez da mugitzen.

Anplitude erresultantea

Beste edozein fase-diferentziarekin, bi anplitudeak batu behar dira, baina bektorialki, bien arteko desfasea kontutan izanda:

• Anplitudea maximoa da (A=A₁+A₂) kosinua 1 denean, alegia, kr₂-kr₁=2nπ.
• Eta anplitudea minimoa da (A=A₁−A₂) kosinua (-1) denean, alegia, kr₂-kr₁=(2n+1)π

Dei diezaiogun d, bi iturrien arteko separazioari. Separazio hori txikia bada P puntura dagoen distantziaren aldean, pentsa daiteke A₁ eta A₂ anplitudeak oso antzekoak izango direla (berdinak), igorri diren unean ere berdinak baldin baziren. Orduan anplitude erresultantea honela adieraz daiteke:

Intentsitatearen maximoak eta minimoak

	Ondoko irudiak erakusten du bi iturri sinkronoek igorritako uhinen interferentzia (uhin-kubeta batean olatutxoek sortzen dutena bezalakoxea). Ikusten denez, eskualde batzuetan anplitudea maximoa da, besteetan minimoa, eta besteetan nulua.
	Ondoko irudiak interferentziaren intentsitatea erakusten du,  (anplitudearen karratuaren proportzionala da intentsitatea). Gris-eskala erabilita, kolore beltzak intentsitate nulua adierazten du eta kolore zuriak, ordea, intentsitate maximoa.
	Kalkula dezagun intentsitate maximoen eta minimoen (x, y) leku geometrikoa, alegia, zer ekuazio duten, y=f(x) (maximoak kurba urdinak dira eta minimoak kurba gorriak).

Dei diezaiogun Δ bideen arteko diferentziari: r₂-r₁=Δ.

P puntutik S₂ iturriraino dagoen distantzia r₂ da eta S₁ iturrirainokoa r₁.

Baldin Δ=2nπ, interferentzia eraikitzailea izango da (intentsitate maximoa). Baldin Δ=(2n+1)π/2, interferentzia ezabatzailea izango da(intentsitate minimoa).

P puntuaren koordinatuak (x, y) dira eta bi iturrien posizioak (0, ±d/2). Beraz, r₂-r₁=Δ kurbaren ekuazioa osagai cartesiarretan:

Bi atalak karratura berretuz erro karratuak elimina daitezke:

Eta berriz ere bi atalak karratura berretuz, erro karratua elimina daiteke:

Ekuazio hori hiperbola bat da.

Pantaila bat kokatzen bada bi iturrietatik x distantziara, maximoen eta minimoen posizioak kalkulatzen dira hiperbolaren ekuaziotik y aldagaia bakanduz:

Lehen maximoa lortzeko, Δ=0,  y=0. Lehen minimoa, Δ=λ/2, Bigarren maximoa, Δ=λ Bigarren minimoa, Δ=3λ/2 eta horrela behin eta berriz.

Irudiak erakusten duenez, bi iturrietatik pixka bat urruntzen garenean, hiperbola asintotikoki hurbiltzen da zuzen baterantz.

Hiperbolaren ekuaziotik  y/x zatidura bakan daiteke.

Eta asintotaren malda kalkulatzen da x→∞ limitean:

Erlazio trigonometriko ezaguna erabiliz:

Hurbilketa horretan, bideen arteko diferentzia r₂-r₁=Δ≈d·sinθ. Eta erlazio horrekin, kalkula daiteke zein θ angelutan dauden interferentzia eraikitzaileak eta ezabatzaileak.

Lehen maximoa, Δ=0, beraz, θ=0. Lehen minimoa, Δ=λ/2, beraz, d·sinθ= λ/2. Bigarren maximoa, Δ=λ, beraz, d·sinθ= λ. Bigarren minimoa, Δ=3λ/2, beraz, d·sinθ= 3λ/2 Eta horrela behin eta berriz, angeluak kalkula daitezke.

Pantailatik iturrietara x distantzia baldin badago, maximoen eta minimoen y posizioak honela kalkulatzen dira:

y=x·tanθ

Esperimentu gehienetan zaila izaten da hiperbolak garbi bereiztea, baita uhin-kubetetan ere, baina kapitulu honen amaieran simulazio batek erakusten ditu hiperbolok, iturrien arteko separazioarekin edo uhinaren uhin luzerarekin jolastuz. Esate baterako, argiarekin egindako esperimentu batean, honelakoak dira datuok: bi iturrien separazioa d=2·10^-4 m, uhin luzera λ=6·10^-7 m eta pantailarainoko distantzia x=2 m.

Adibidea

• Esaterako, bi iturrien separazioa: d=100
• Bi uhinen uhin luzera: λ=50

1. Pantailaren posizioa: x=100, (unitateok betiere erlatiboak dira).

Intentsitate maximoen eta minimoen y posizioak kalkula daitezke pantailaren gainean, honako formularekin:

• Lehen maximoa, Δ=0,  y=0.
• Lehen minimoa, Δ=λ/2=25, y=28.7.
• Bigarren maximoa, Δ=λ=50, y=62.9
• Bigarren minimoa, Δ=3λ/2=75, y=119.4

2. Demagun, pantaila urruntzen dela, x=200.

• Lehen maximoa, Δ=0,  y=0  (beti berdin)
• Lehen minimoa, Δ=λ/2=25, y=53.1.
• Bigarren maximoa, Δ=λ=50, y=118.1

Kurba hiperbolikoek, iturrietatik pixka bat urrunduta, "zuzen" itxura daukate, izan ere zuzen asintotikoak, beraz, norabide finkoa dute. Kalkula dezagun maximo eta minimoek zein θ norabide duten (d·sinθ=Δ formula hurbilduaz) eta zein y posizio duten pantaila gainean (y=x·tanθ formula hurbilduaz).

• Lehen maximoa, Δ=0,  θ=0, y=0.
• Lehen minimoa, Δ=λ/2=25, θ=14.5º, eta  y=51.6
• Bigarren maximoa, Δ=λ=50, θ=30º, eta  y=115.5.

Konparatzen baditugu hurbilketarekin lortutako emaitzak eta emaitza zehatzak, ikusten da pantaila ez dela oso urrutira joan behar, d·sinθ=Δ hurbilketak ondo funtzionatzeko.

Intentsitatea

Interferentziaren muturreko bi balioak:

Interferentzia norabide asintotiko finkoetan mantentzen denean, honela kalkulatzen dira norabideak:

Eta pantaila x distantziara kokatuta badago, interferentziaren maximo eta minimoek pantaila gainean daukaten y posizioa, honela kalkulatzen da: y=x·tgq .

Gainera, q  angelua txikia bada, honako hurbilketa ere egin daiteke: sinq ≈tgq =y/x.

Uhin baten intentsitatea bere anplitudearen karratuaren proportzionala da:

I₀  deitu diogu, bi iturrietako bakar batek P puntuan sortzen duen intentsitateari eta I bi iturriek batera sortzen duten intentsitate erresultanteari.

Ondoko irudiak erakusten du interferentziaren intentsitatearen grafikoa, maximoetan 4I₀  balio du eta minimoetan 0.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Bi iturriek igortzen dituzten uhinen λ uhin luzera, desplazamendu-barrari saguaz eragiten, edota laukitxoan idatziz.
• Bi iturrien arteko separazioa, d, desplazamendu-barrari saguaz eragiten, edota laukitxoan idatziz.

Bi parametroak finkatu ondoren, klika ezazu Irudia.

Leihatilak erakusten du, ezkerraldean, anplitude erresultantearen diagrama, gris-eskalan adierazita. Irudi hau eta laborategian uhin-kubetaren esperimentuan olatutxoekin sortzen dena, oso antzekoak dira.

Leihatilaren eskuinaldean, intentsitateen diagrama erakusten da, gris-eskalan hau ere. Intentsitate minimoa beltza da eta maximoa zuria. Bitarteko intentsitateak gris-proportzioan kalkulatuta daude.

Posizioak izeneko laukitxoa aktibatzen bada, eta ondoren Irudia klikatzen bada, intentsitateen diagrama ordezkatu egiten da (eskumakoa) eta hiperbolen adierazpena erakusten da. Hiperbola horiek erakusten dute intentsitate maximoko eta minimoko puntuen leku geometrikoak. Maximokoek betetzen dute (kurba urdinek) S₂ eta S₁ iturrietara dauden bi distantzien arteko diferentzia, r₂-r₁, uhin luzeraren multiplo osoa dela (nl), eta minimokoek, berriz (kurba gorriek), distantzien arteko diferentzia dela uhin luzera kopuru oso bat eta erdi ( (n+½)l ).

Pantailaren posizioa saguarekin mugi daiteke, ezker-eskuin, leihatilako erregela horizontalean zehar, eta x posizio jakin batean finkatuta, intentsitate maximoen eta minimoen y posizioak neur daitezke erregela bertikala erabiliz.