Oszilazioak

Osziladoreak (II)

Osziladore
ez lineala (I)

Osziladore
ez lineala (II)

Pendulua

Oszilazio ez
harmonikoak

Molekula diatomikoa

Morse osziladorea

Zilindro errodatzaile
baten oszilazioak

Pistoi baten higidura

Atwood-en makina

Azelerazio nulua, abiadura maximoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Biela-gurpila sistema oso erabilia da hainbat makina biratzailetan, besteak beste, lurrin makinetan edo trenetako gurpiletan. AB bielaren A muturra (bielaren oina) norabide zuzenean atzera eta aurrera desplazatzen da pistoi batean artikulatuta, eta B muturra, berriz, (bielaren burua) gurpilaren ertzean artikulatuta dago eta zirkunferentzia bat deskribatzen du OB erradioaz (ikusi irudia). Bielaren A oinak higidura oszilakorra du, pentsa genezake harmoniko sinplea dela baina, ikusiko denez, nahikoa ezberdina da.

Higiduraren deskribapena

Demagun gurpilak r erradioa duela, eta bielaren luzera l dela (l>2r). Gurpilak ω abiadura angeluar konstanteaz biratzen du eta pistoiak oszilatu egiten du. hona hemen, pistoiaren posizioa gurpilaren zentroarekiko:

Koka dezagun posizioen jatorria (x_e=0) pistoiaren posizioan justu θ=90º denean.

Pistoiaren posizioa

Gurpilak ω abiadura angeluar konstantea badu, pistoiaren x posizioa denboraren menpe adieraz daiteke:

• Balio maximoa lortzen da ωt=0 denean, honatx:

• Eta balio minimoa, berriz, ωt=π  denean:

Ondorengo irudiak erakusten du pistoiaren x posizioa denboraren menpe (urdina) eta ondoan HHS (gorria).

x=r·sin(ω·t+π/2)=r·cos(ω·t)

• Balio maximoa lortzen da ωt=0 denean eta balio du: x=+r

• Balio minimoa lortzen da ωt=π denean eta balio du: x= -r

Abiadura

Pistoiaren x posizioa denborarekiko deribatuz, bere abiadura lortzen da:

Ondorengo irudiak pistoiaren v abiadura adierazten du denboraren menpe (urdina) eta ondoan HHS (gorria):

v= -r·ω·sin(ω·t)

Azelerazioa

Pistoiaren v abiadura denborarekiko deribatuz azelerazioa lortzen da:

Sinplifikatuz, honako emaitza lortzen da:

Ondorengo irudiak pistoiaren a azelerazioa adierazten du denboraren menpe (urdina) eta ondoan HHS (gorria):

a= -r·ω²·cos(ω·t)

Azelerazio nulua, abiadura maximoa

Abiadura maximoa da azelerazioa nulua denean. Azelerazioa nulua deneko ω·t posizio angeluarrak kalkulatzeko, honako ekuazioa ebatzi behar da:

Honako buruketak egin behar dira:

Ordezkatu sin²(ωt)=1-cos²(ωt) eta cos(2ωt)= cos²(ωt) - sin²(ωt) =2 cos²(ωt)-1

Atal biak berretu ber bi:

Eta zenbait elkarketa eta sinplifikazio egin ondoren, honako adierazpena lortzen da:

Aldagaia aldatuz: z=cos²(ωt), honako ekuazio kubikoa lortzen da:

Ekuazio kubiko baten erroak lortzeko:

z³+az²+bz+c=0

Kalkula ditzagun lehenik Q eta R balioak:

Baldin  R²>Q³  erro erreal bat izango dugu eta irudikari bi, bestela hiru erro erreal. Demagun baldintza hori betetzen dela, R²>Q³ horrek esan nahi du:

27·r⁴-33·r²l²>5·l⁴

Baina r>l  bada, baldintza hori ez da sekula betetzen:

Orduan, nahitaez, beste baldintza bete behar da: R²<Q³  eta ekuazio kubikoak hiru erro erreal ditu:

Ekuazio kubikoaren hiru erroak ezagututa, ωt posizio angeluarrak ere kalkula daitezke:

Hiru z erroetatik bata negatiboa da beti (eta ezin da bere erro karratua kalkulatu), bestea unitatea baino handiagoa da (eta hortaz, bere erro karratua ere unitatea baino handiagoa da, eta ezin da bere arku-kosinua kalkulatu). Beraz, hirugarrena, 0 eta 1 bitartekoa, zentzu fisikoa daukan soluzio bakarra da.

Azelerazioa nulua da bi aldiunetan:

Adibidea:

• Demagun, r=1.0  eta  l=2.0

R=5.037   eta      Q=7.11

Egiaztatzen da, R²<Q³ , ekuazio kubikoak hiru erro erreal dituela.

z₁= -5.172
z₂= 4.028
z₃= 0.1434

Abiadura maximoa da (moduluan), edo azelerazioa nulua da, honako posizio angeluarretan:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Bielaren luzera, l , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Gurpilaren erradioa finkotzat hartu da: r=1 m

• Gurpilaren errotazio abiadura angeluarra ere finkotzat hartu da: ω= 1rad/s

Hasi botoia sakatu.

Gurpila eta pistoia mugitzen ikusten dira eta eta, goitik behera, pistoiaren posizioa grafikoki denboraren menpe.

Grafikoa laukia aktibatuz gero, beste botoi bat ere aukera daiteke grafikoki adierazteko w·t-ren menpe:

• x, pistoiaren posizioa eta H.H.S-rena: x=r ·cos(ωt)

• v, pistoiaren abiadura eta H.H.S-rena: v=-ωr·sin(ωt)

• a, pistoiaren azelerazioa eta H.H.S-rena: a=-ω²r·cos (ωt)

Hasi botoia berriro sakatu.

Azken bi grafikoetan, ardatz horizontalean markatuta erakusten dira abiadura maximoko edo azelerazio nuluko posizio angeluarrak, puntutxo gorri batez.

Ikusten da, bielak luzera handia duenean, pistoiaren posizioa, abiadura eta azelerazioa, H.H.S-ren antzekoak izan daitezkeela, baina bielak luzera txikia duenean, ordea, posizioa, abiadura eta azelerazioa, oso ezberdinak direla H.H.S.-rekin konparatuz.