Oszilazioak

Osziladoreak (II)

Osziladore
ez lineala (I)

Osziladore
ez lineala (II)

Pendulua

Oszilazio ez
harmonikoak

Molekula diatomikoa

Morse osziladorea

Zilindro errodatzaile
baten oszilazioak

Pistoi baten higidura

Atwood-en makina

Zilindroa mugitzen, barruan iman bat duelarik

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun zilindro batek barruan iman bat duela, plano inklinatu batean dagoela eta eremu magnetiko uniforme batean murgilduta, irudiak erakusten duen bezala. Kontsideratuko dugu zilindroak planoarekin duen marruskadura-koefiziente estatikoa, μe , nahikoa handia dela zilindroak irristatu gabe errodatzeko.

Zilindroaren higidura plano inklinatuan

Solido zurrunaren blokean, orri batean aztertu dugu “Gurpila malda inklinatuan errodatzen”. Bertan aztertzen da gurpil bat maldan behera jaisten, errodatzen eta bi kasuetan: irristatzen edo irristatu barik.

Irudiak adierazten duen bezala, zilindroak jasandako indarrak hiru dira: Pisua, mg Plano inklinatuak eragindako erreakzio normala, N Gurpilaren eta planoaren kontaktu-puntuko marruskadura indarra, Fr .

Higiduraren ekuazioak honakoak dira:

• Translaziorako:

mg·sinq  -F_r= m·a_c

• Errotaziorako, eta m.z-tik pasatzen den ardatzarekiko:

F_rR=I_c·a

• Translazioa eta errotazioa erlazionatuta daude (irristatzen ez badu):

a_c=a ·R

Zilindro batentzat, inertzia-momentua I_c=mR²/2, beraz, masa-zentroaren azelerazioa:

Zilindroa mugitzen, iman bat barruan duelarik

Demagun orain, zilindroa maldan dagoela, eta iman bat barruan daukala. Imanaren momentu magnetikoa μ izendatuko dugu eta eskualde osoan eremu magnetiko uniforme bat dago, B, bertikala eta gorantz, esaterako, Helmholtz-en bobina-pare batek sortua.

Demagun hasieran zilindroa jatorrian dagoela (x=0) eta B eremu magnetikoak eta imanaren μ momentu magnetikoak π/2-eko angelua osatzen dutela. Zilindroak errodatu egiten du, irristatu gabe, eta t aldiune batean, B eremu magnetikoak eta imanaren μ momentu magnetikoak osatzen duten angelua φ+π/2 dela (ikusi irudia). Eremu magnetikoak imanari tortsio-momentua eragiten dio: M=μ×B

• Biderkadura bektorial horren modulua hau da: M=μB·sin(φ+π/2)= μB·cosφ
• Norabidea, errotazio-ardatzarena.
• Noranzkoa, torlojuaren arauak ematen duena.

M tortsio-momentua ez da konstantea, angeluaren menpekoa baizik, alegia, zilindroaren posizioaren menpekoa, irudiak erakusten duen bezala.

Hona hemen higiduraren ekuazioak:

• Translaziorako:

mg·sinq -F_r=m·a_c

• Errotaziorako, m.z-tik pasatzen den ardatzarekiko:

F_rR -μ·B·cosφ=I_c·a

• Translazioa eta errotazioa erlazionatuta daude (irristatzen ez badu):

a_c=a ·R

Ekuazio horietatik masa-zentroaren a_c azelerazioa bakan daiteke edo hobe esanda m·a_c biderketa:

Zilindroak irristatu gabe errodatzen duenean, bere masa-zentroa desplazatu egiten da plano inklinatuan zehar x distantzia. Zilindroak biratutako angelua honela idatz daiteke: φ=x/R, (zilindroaren erradioa R bada), irudiak erakusten duen bezala:

Masa-zentroaren a_c azelerazioa ez da konstantea, x posizioaren menpekoa baizik. Higiduraren ekuazioa ez da erraz integratzeko modukoa.

Energia potentzialaren kurba

Zilindroaren masa-zentroa partikula bakar bat bezala mugitzen da, m masaduna, eta beraz, F=m·a_c.

F indarra zilindroaren x posizioaren menpe aldatzen da eta indar kontserbakorra da. Indar kontserbakorrak egindako lana idatz daiteke energia potentzialaren aldaketa gisa, hasierakoa ken amaierakoa:

Har dezagun E_p(0)=0. Orduan:

Energia potentzial hori parametro adimentsionalen menpe berridatz daiteke:  z=x/R,  A=μB/(mgRsinθ), eta  V(z)=E_p(x)/(2mgR/3). Parametro horiek ordezkatuz:

V(z)= -z+A·sin(z)

Kalkula ditzagun funtzio horrek dituen maximo eta minimoak:

Maximoetan bigarren deribatua negatiboa da eta minimoetan bigarren deribatua positiboa da. Dei diezaiogun, f=arcos(1/A).

• Maximoetan, z_n=f+2nπ
• Minimoetan, z_n= -f+2nπ

F indar netoa, muturreko posizioetan (maximoetan zein minimoetan), nulua da. Maximoetan oreka-posizio ezegonkorrak eta minimoetan oreka-posizio egonkorrak.

V(z) funtzioa grafikoki adierazten bada, z aldagai adimentsionalaren menpe, zilindroaren masa-zentroaren higidura kualitatiboki deskriba dezakegu, bere energia totalaren ε balioen arabera.

Irudiak erakusten duenez, ε energia totalaren arabera eta z=x/R aldagaiaren menpe, bi eskualde daude zilindroa mugitzeko. Energia zinetikoa positiboa izateko, ε energia totala V(z) energia potentziala baino handiagoa izan behar da (urdina gorriaren gainetik egon behar da). Baldintza hori, ε≥V(z), soilik betetzen da z₁≤ z ≤z₂ tarte itxian eta z≥ z₃  tarte irekian (irudian marra lodiagoz adierazi dira). z₁, z₂ eta z₃ posizioak, hirurak, ε=V(z) ekuazio transzendentearen soluzioak dira.

Zilindroaren masa-zentroaren hasierako posizioak ondoren mugituko den eskualdea determinatzen du. Demagun, esaterako, zilindroa z≥ z₃ posizioan kokatzen dugula, goiko irudiak adierazten duen bezala. Bere energia potentziala CB da, energia totala CA, eta beraz, energia zinetikoa (translaziozkoa eta errotaziozkoa) AB. Posizio bakar batek mugatzen du zilindroaren higidura, z₃, ezkerretik; izan ere, energia potentzialaren eta energia zinetikoaren mozketa-puntua: V(z)= ε. Puntu horretan energia zinetikoa nulua da, zilindroa gelditu egiten delako. Beste aldetik, eskumatik, zilindroaren higidura mugagabea da eta infinituraino iritsiko da.

Badago kasu bat, A=1 denean: ez dagoela ez maximorik ez minimorik: z=0, ±2π, ±4π... inflexio-puntuak dira denak. Lehen eta bigarren deribatua nuluak direlako puntu horietan guztietan:  dV/dz=0, y d2V/dz2=0.

Zilindroaren higidura ekuazioa

Zilindroaren m.z-aren a_c azelerazioa ez da konstantea, x posizioaren menpekoa baizik. Idatz dezagun higiduraren ekuazio diferentziala z=x/R parametro adimentsionalaren menpe:

Ekuazio diferentzial hori, analitikoki ez, baina numerikoki ebatz daiteke, esaterako, Runge-Kutta metodoaz, baina hasierako baldintza jakin batzuk ezarri behar zaizkio: hasierako aldiunean, t=0,  z=z₀ eta dz/dt=0 (zilindroa oreka-posiziotik atera, z₀ distantziaraino, eta pausagunean askatu). z_o justu gelditze-puntu bat izango da, izan ere, energia totala eta energia potentziala berdinak diren puntuetako bat: ε=V(z).

Ekuazio diferentziala ikuskatuz, C parametroak eskala-faktorearena soilik egiten du, eta A parametroa izango da zilindroaren higidura mota zehaztuko duena. C parametroa aldatzeko, plano inklinatuaren θ angelua alda daiteke, zilindroaren R erradio finko baterako. A parametroa aldatzeko berriz, esaterako, B eremu magnetikoa alda daiteke, eremu hori sortzen ari den bobinaren korrontea aldatuz.

1. Baldin A>1 bi portaera gerta daitezke:

• Zilindroak bi posizio mugatzaileren artean oszilatzen du.
• Zilindroak maldan behera errodatzen du.

3. Baldin A=1, zilindroa orekan egongo da toki hauetan guztietan: z=0, 2π, -2π, .. (inflexio puntuetan) baina energia totalak justu balio hauek izan behar ditu: ε=0,-2π, 2π,...  Energiak bestelako balio batzuk baldin baditu, orduan zilindroak maldan behera errodatzen du.

3. Baldin A<1 orduan zilindroak beti errodatzen du maldan behera, V(z) funtzioak ez baitauka ez maximorik ezta minimorik ere.

Oreka posizio baten inguruko oszilazio txikiak

f(z)=C(1-Acos(z))  funtzioarekin seriezko garapena gauzatzen badugu oreka egonkorreko posizio baten inguruan (energia potentzialaren minimo batean): z0= -arccos(1/A).

Higiduraren ekuazioa sinplifikatu egiten da eta H.H.S.-aren ekuazio diferentzialaren itxura hartzen du.

H.H.S-aren ω maiztasun angeluarra honakoa da:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

1. A parametroaren balioa dagokion kontrolean idatziz.
2. Energia totalaren balioa, ε, dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Lehen lehenik, programa interaktiboak energiaren ekuazioaren soluzioak kalkulatzen ditu, ε=V(z), alegia, posizio mugatzaileak. Ondoren zilindroa kokatzen du posizio mugatzaile horietako batean eta pausagunetik askatzen du. Ondoren, higiduraren ekuazioa Runge-Kutta prozedura numerikoaz ebazten du, eta horrela zilindroaren posizioa kalkulatzen du denboraren menpe.

C parametroa finkotzat hartzen da, C=1, zilindroaren erradioa ere finkoa, R=1; horrek esan nahi du, plano inklinatuaren angelua θ=8.8º. dela.

A parametroaren balioa idatzi ondoren, programak V(z) grafikoa irudikatzen du. Energia totala, ε, zuzen horizontal batek adierazten du eta zuzen bertikal urdin batek zilindroaren energia zinetikoa (translaziozkoa eta errotaziozkoa).

Leihatilaren azpiko aldean zilindroa ikusten da plano inklinatuan mugitzen. Bere masa-zentroan hiru bektore adierazten dira:

• Eremu magnetikoa (bektore urdina) bertikala eta gorantz.
• Imanaren momentu magnetikoa (bektore gorria) zilindroarekin batera biratzen duena.
• Zilindroak jasandako F indar totala (bektore beltza), indar aldakorra da.

Ohar bedi F indarra nulua dela V(z)-ren maximo zein minimoetan, positiboa dela V(z)-ren malda negatiboa denean eta negatiboa dela malda positiboa denean.

Adibideak

Esaterako, A=4 bada, maximo eta minimo lokalak agertzen dira honako posizioetan:

• Maximoak: -4.97, 1.32, 7.6…

• Minimoak: -7.60, -1.32, 4.97

Idatz dezagun energiarako, ε=2.2. Orduan energiaren ε=V(z)  ekuaziotik muturreko posizioak ateratzen dira:

z₁= -2.95, z₂= 0.88, z₃ =1.74

Zilindroak higidura mota posible bi ditu:

• Bi posizioen artean oszilatzea: z₁ ≤ z ≤ z₂
• Maldan behera errodatzen jaistea , z₃ posiziotik aurrera.

Hasi botoia sakatzean, programak zoriz aukeratzen du hasierako posizio bat, aurreko hiruretako bat, eta hortik aurrera mugitzen da zilindroa.

Energia totala ε = -1.5 bada, V(z)-ren minimo lokaletik gertu, orduan zilindroak oszilazio txikiak burutzen ditu honako periodoaz: T=3.3 s, eta honako posizioen artean: z₁= -2.05 eta z₂= -0.53. Periodo hori formula hurbilduaz lortzen dena baino pixka bat handixeagoa da.

Leihatilaren ezker eta goiko ertzean idatziz ageri dira, uneoro, t denbora, zilindroaren z posizioa eta v abiadura. Zilindroa muturreko posizio batetik abiatzen da eta hortxe hasten da zenbatzen denbora. Zilindroa berriz ere muturreko posiziora iristen denean,  gelditu/jarraitu eta pausoka botoiekin, periodoa neur daiteke.

Baldin A=1 eta ε=0, zilindroa geldi geratzen da oreka-posizioan bertan (inflexio puntua).

Baldin A<1, orduan V(z) funtzioak ez dauka ez maximorik ezta minimorik, orduan, nahitaez, zilindroa maldan behera errodatzen jaisten da. Esaterako, A=0.3 bada, zilindroa z₀=0 posiziotik abiatzen da maldan behera, ε energiaren edozein baliorekin.