Oszilazioak

Osziladoreak (II)

Osziladore
ez lineala (I)

Osziladore
ez lineala (II)

Pendulua

Oszilazio ez
  harmonikoak	

Molekula diatomikoa

Morse osziladorea

Zilindro errodatzaile
baten oszilazioak

Pistoi baten higidura

Atwood-en makina

Saiakuntza

Soluzio analitikoa. Solidoen dilatazioa

Malguki erreal baten energia potentzialak ez du zertan simetrikoa izan, E_p=kx²/2, teorikoki Higidura Harmoniko Sinplean onartu dugun bezala. Higidura oszilakor guztiak ez dira Higidura Harmoniko Sinpleak.

De hecho en la página "Movimiento Armónico Simple" comparamos el movimiento de una partícula en dicho potencial simétrico con otra partícula que se mueve en el potencial de Morse. El objetivo era que el lector diferenciase entre un M.A.S. de un movimiento oscilatorio en general.

Orri honetan osziladore ez harmonikoa aztertuko dugu eta horren adibide, kualitatiboki bada ere, solidoen dilatazio-fenomenoa azalduko dugu, alegia, nola aldatzen den solido baten luzera tenperaturaren arabera.

Partikula bat eta malguki ez ideal bat

Azter dezagun partikula baten higidura, norabide bakarrean, honelako energia potentziala jasaten ari denean:

Hemen s-ri ez-harmonikotasun konstante deritzo. Izan ere, s=0 denean, potentzial simetrikoa dugu, alegia, k konstantedun malguki ideala.

Energia

Partikula batek x posizioan daukan energia totala beti da energia potentzialaren eta energia zinetikoaren batura.

Irudian, AC zuzenkiak energia totala adierazten du, AB zuzenki urdinak, berriz, energia potentziala, eta azkenik, BC zuzenki gorriak energia zinetikoa. Partikularen energia zinetikoa nahitaez positiboa izan behar denez, (zuzenki gorriaren luzera) partikularen higidura mugatuta dago, E energia totalaren zuzen beltzak Ep(x) energia potentzialaren kurba urdina mozten duen puntuetan, alegia, Ep(x) ezin da egon E-ren gainetik.

Energia totalak energia potentziala mozten duen bi puntuetan partikularen energia zinetikoa nulua da, energia potentziala, berriz, maximoa. Oreka-posizioan, ordea, (x=0) energia potentziala minimoa da eta energia zinetikoa maximoa.

Indarra

Malguki ez idealari dagokion indarra honela adierazten da:

Jatorritik ezkerrera, x<0, E_p funtzioaren malda negatiboa da, hortaz, indarra positiboa (eskumarantz). Aldiz, jatorritik eskumara, x>0,  kurbaren malda positiboa da, hortaz indarra negatiboa (ezkerrerantz).

Oreka-posizioak kalkulatzen dira F=0 ordezkatuz, eta ematen du: x=0, eta x=1/s. Bi posizio horietan, E_p(x) funtzioak minimo bat eta maximo bat dauzka hurrenez hurren.

Energia potentzialaren bigarren deribatua kalkulatzen badugu:

• x=0 posizioan, bigarren deribatua positiboa da (k), eta horregatik energia potentzialaren E_p(x) funtzioak minimo bat dauka, edo oreka egonkorreko posizio bat.
• x=1/s  posizioan, bigarren deribatua negatiboa da (-k) eta horregatik energia potentzialaren E_p(x) funtzioak maximo bat dauka, edo oreka ezegonkorreko posizio bat. Hona hemen maximoaren altuera:

Azter dezagun partikula baten higidura horrelako malguki "ez ideal" baten eraginpean, baina oreka posizio egonkorraren inguruan, x=0.

Higiduraren ekuazioa

Hona hemen higiduraren ekuazioa:

Ekuazio hori ekuazio diferentzial gisa idatzita:

          (1)

w₀  oszilazio idealen maiztasuna da, alegia, k konstantedun malguki ideal batekin.

Ekuazio diferentzial hori ebazteko prozedura numerikoak behar dira eta hasierako baldintzak ezarri. Esate baterako: t=0 aldiunean partikularen posizioa x₀ da, jatorritik eskumara, eta pausagunetik abiatzen da, v₀=0.

Hasierako posizioan, partikularen energia zinetikoa nulua da, eta beraz, E energia totala eta energia potentziala berdinak dira.

Hasierako x₀ posizioa ezagututa, E energia totala kalkula daiteke, eta hurrengo gelditze-posizioa kalkulatzeko ekuazio kubikoa ebatzi behar da:

E=kx²/2-skx³/3

E energia totala maximoa baino txikiagoa bada, orduan ekuazio kubikoaren soluzioa x=0 eta x=1/s bitartean egongo da

Ekuazio kubikoaren soluzioa aurkitzeko erdiko puntuaren prozedura numeriko errekurtsiboa erabil daiteke.

Batezbesteko posizioa

Energia potentzialaren funtzioa simetrikoa balitz, partikulak faseen espazioan (x,v) elipse bat deskribatuko luke. Simetrikotasunik gabe, ordea, ibilbidea deformatu egiten da, ondorengo applet-ak erakusten duen bezala.

Partikularen E energia totala minimotik hurbil dagoenean, gutxi gora behera H.H.S. deskribatzen du, eta faseen espazioko ibilbidea gutxi gora behera elipse perfektua da. Aldiz, partikularen energia totala maximotik hurbil dagoenean, faseen espazioko ibilbidea elipse deformatua da. Partikulak ibilbide osoa burutzeko denbora gehitxo pasatzen du x>0 eskualdean.

Batezbesteko posizioa, <x>, honela kalkulatzen da H.H.S. baten kasuan:

Froga daitekeenez, H.H.S. batean, batezbesteko posizioa nulua ateratzen da: <x>=0, jatorria.

Malguki ez idealaren kasuan, berriz, batezbesteko posizioa ez da nulu ateratzen: <x>¹0. Partikulak, kasu horretan, denbora gehitxo egiten du oreka egonkorreko posiziotik eskumara ezkerrean baino, grafikoaren arabera, eskuinaldeko indarra motelxeagoa delako ezkerrekoa baino:

Kurba urdinak adierazten du energia potentzial asimetriko bat: E_p(x)=kx²/2-skx³/3, eta kurba gorriak, berriz, energia potentzial simetrikoa: E_p(x)=kx²/2  (parabola).

Partikula batek E energia badu, maximoa gainditu gabe, mugimendu mugatua dauka E_p(x)=E  ebakidura-puntuen artean mugatuta.

Potentzial harmonikoaren kasuan (kurba gorria) frogatu dugu batezbesteko posizioa jatorria dela, <x>=0, kurba simetrikoa delako. Baina kurba urdinaren kasuan berriz, batezbesteko posizioa jatorritik eskumarago dago. Dei diezaiogun δx potentzial asimetrikoaren batezbesteko posizioari. Goiko irudiak erakusten duenez, δx kalkula daiteke suposatzen bada ebakidura-puntuak ere distantzia horixe desplazatu direla eskumarantz (eskumako grafikoa).

Osziladorearen energia, E=kx²/2, atomoen mailan k_BT-ren ordenakoa izaten da. k_B Boltzmann-en konstantea (ez nahasi potentzial harmonikoaren k elastikoarekin), eta T  tenperatura absolutua. Orduan, δx-rentzat honako adierazpena lortzen da:

Partikula atomiko bat energia potentzial asimetriko baten eraginpean oszilatzen ari bada, E_p(x)=kx²/2-skx³/3 , bere batezbesteko x posizioaren balioa ez da nulua, T tenperatura absolutuaren proportzionala baizik eta eta s/k asimetrikotasun-konstantearen menpekoa. Potentzial simetriko baten kasuan, s=0, partikula atomikoaren oszilazioak harmonikoak dira eta batezbesteko posizioa jatorria bera da (x=0).

Saiakuntza

Programa interaktiboan aukeran idatz daitezke malguki ez idealaren parametroak:

• Malgukiaren konstante elastikoa, k, dagokion kontrolean idatziz.
• Harmonikotasun ezaren konstantea, s, dagokion kontrolean idatziz.
• Partikularen masa finkotzat hartzen da: m=1.

Berria botoia sakatu.

Leihatilaren eskumako aldean energia potentzialaren kurba irudikatzen da: E_p(x). Aldatzen badira k eta s konstanteak, kurbaren itxura aldatzen da.

• Partikula oszilatzailearen E energia totala idatz daiteke, dagokion kontrolean.

Hasi botoia sakatu.

Partikularen E energia totalak maximoa gainditzen badu (x=1/s posizioko maximoa) programa ez da abiatzen. Energia totala gutxitu behar da.

Energia totalak maximoa gainditzen ez badu, programa lanean hasten da eta honako emaitzak erakusten ditu:

• Eskumako aldean, E_p(x) energia potentzialaren kurban: E energia totala, lerro zuzen beltz horizontalaz, zuzenki bertikal gorriaz energia zinetikoa eta zuzenki bertikal urdinaz energia potentziala, posizioaren menpe uneoro aldatzen.
• Ezkerreko eta beheko aldean, malguki ez ideala eta blokea mugitzen. Bektore urdin batek malgukiaren indarra adierazten du uneoro (marruskadurarik ez da kontutan hartzen).
• Ezkerreko eta goiko aldean, faseen espazioa eta partikularen ibilbidea.

Soluzio analitikoa. Solidoen dilatazioa.

Orri honen hasierako (1) ekuazio diferentzialarentzat, froga dezagun, soluzio gisa, honelako ekuazio bat:

x=x₁+A(cos(w t)+q cos(2w t))

hemen q eta x₁ kalkulatu beharreko konstanteak dira.

Soluzio hori (1) ekuazio diferentzialean ordezkatu eta suposatuz sA<<1 dela, honako ondorioak atera daitezke (ikus bedi atal honen amaierako artikulua):

• cos(w t)-ren A koefizientea baliogabetzeko baldintza hau da:

w =w₀

• cos(2w t)-ren q koefizientea baliogabetzeko baldintza hau da:

q= -sA/6

• x₁ desplazamendu konstantea honela adieraz daiteke:

x₁=sA²/2

Partikularen batezbesteko posizioak emaitza hau ematen du:

<x>=x₁+A(<cos(w t)>+q <cos(2w t)>)

Funtzio harmonikoen batezbestekoak nuluak dira, eta bakarrik geratzen da desplazamendu konstantea:

Kontutan hartzen badugu:

• Osziladore baten energia A anplitudearen karratuarekiko proportzionala izaten da.
• Fisika estatistikoaren emaitzetako batek dio, oreka termodinamikoan dagoen osziladore harmoniko atomiko baten batezbesteko energiak kT balio duela (k, Boltzmann-en konstantea da, eta T, tenperatura absolutua).

Ondorioz, <x>, batezbesteko posizioa, T tenperatura absolutuarekiko proportzionala da:

<x>= kte·T

Emaitza horrek kualitatiboki azaltzen du solidoen dilatazio termikoa. Habe metaliko baten luzera handitu egiten da berotzen denean, eta luzapena tenperatura-aldaketarekiko proportzionala da:

l=l₀(1+a ·DT)

hemen l₀ habeak tenperatura jakin batean daukan luzera da, a dilatazio koefizientea eta DT tenperatura aldaketa.

Erreferentzia: Kittel, Knight, Ruderman. Mecánica, Berkeley Physics Course. Reverté argitaletxea (1973). 227-229 orrialdeak.