Molekula diatomiko baten bibrazioa

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Oszilazioak

Osziladoreak (II)
java.gif (886 bytes) Molekula diatomikoa

java.gif (886 bytes) Lennard-Jones potentziala

 

Orri honetan partikula-bikotearen problema klasikoaren kasu berezi bat aztertuko dugu, alegia, nola mugitzen diren bi partikula isolatu, elkarri indarra eragiten diotenean.

Bestalde, Lennard-Jones potentziala aztertuko dugu, formula enpiriko bat, molekula diatomikoen egoera lotuak oso modu txukunean deskribatzen dituena konfigurazio elektroniko jakin batean daudenean.

Molekula diatomikoa

Bi atomok molekula egonkor bat osatzen dutenean, Ep(x) energia potentzialak bi atomoen arteko x separazioaren eta orekako x0 separazioaren arteko diferentziaren funtzio koadratikoa izan behar du:

molecula2.gif (1216 bytes) Atomo biak erakartzen dituen F indarra bi atomoak lotzen dituen norabidekoa izan behar da eta honelako adierazpena izan behar du:

Partikula-bikote isolatuaren higidura beti ordezka daiteke partikula bakar baten higidurarekin. Ordezko partikula hori puntu finko baten inguruan mugitzen da (masa zentroa), barne-indarraren eraginpean:

m ·a12= F12

Hemen m masa laburbildua da, a12 1 partikularen azelerazio erlatiboa 2 partikularekiko eta F12 elkarri eragiten dioten barne-indarra, baina, kasu honetan, lehen aipatutako F(x). Ekuazio diferentzial gisa adierazita:

Horixe da Higidura Harmoniko Sinplearen ekuazio diferentziala, eta bere maiztasun angeluarra honela adierazten da:

Adibidea:

Kalkula bedi HCl molekularen bi atomoek elkarri eragiten dioten barne-indarraren k konstantea, bere oszilazioen maiztasuna ezagututa:  f0=9·1013 Hz.

Datuak: Hidrogenoaren masa: m1=1 m.a.u. eta Kloroaren masa: m2=35 m.a.u. Masa atomikoaren unitate bat: (m.a.u.) 1.67·10-27 kg.

Goiko adierazpenean ordezkatuz: w0=2p f0, honako emaitza lortzen da k=519.2 N/m

Atomoen higidura

H.H.S.-aren ekuazio diferentzialaren soluzioa hau da:

x=x0+A·sin(w0t+j )

Hemen x0 orekako separazioa da, A anplitudea, eta j  hasierako fasea, azken biak hasierako baldintzetatik kalkulatu beharrekoak, hau da t=0 aldiuneko x posizioa eta v abiadura.

molecula1.gif (1728 bytes)

Lehen partikulak bigarren partikularekiko duen x posizio erlatiboa ezagututa, eta suposatzen badugu bikotearen masa-zentroa pausagunean dagoela, honela adieraz daitezke bi partikulen posizioak:

 

Saiakuntza

Programa interaktiboan k konstantearen balioa finkotzat hartzen da, k=2p2, eta molekula osatzen duten bi atomoen masak alda daitezke nahi den bezala: m1 eta m2.

Esate baterako, bi atomoen masak berdinak hartzen badira, m1=m2=1, oszilazioen maiztasun angeluarrak honakoa balio du: w0=2p, eta beraz, periodoak P=1 denbora unitate bat.

Ezkerreko atomoari "A" deritzo eta zirkulu gorri batez adierazten da. Eskumako atomoari berriz "B" deritzo eta zirkulu urdin batez adierazten da. Bikotearen masa-zentroa pausagunean dago eta puntu beltz batez adierazten da.

Erregela batek atomoen arteko distantzia neurtzen du, eta masa-zentroaren posizioa.

Ezkerreko eta goiko ertzean, denbora erakusten da, zenbakiz eta unitate arbitrariotan, eta, horrela, oszilazioen periodoak neur daitezke.

Adibidea:

Baldin m1=2 eta m2=1, hona hemen oszilazioen maiztasun angeluarra eta periodoa:

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                 
 

Lennard-Jones potentziala

Molekula diatomiko baten barneko energia potentziala r-ren menpekoa da, alegia, bi atomoen zentroen arteko separazioaren menpekoa: Ep(r). Funtzio hori Lennard-Jones izenaz ezagutzen den funtzio ezagun batez adieraz daiteke.

Lennard-Jones potentziala Morse potentzialaren antzekoa da, formula enpirikoa da, eta molekula diatomiko baten egoera lotua modu txukunean adierazten du, konfigurazio elektroniko jakin baterako:

Adierazpen horretan parametro bi agertzen dira: r0 eta E0 , eta molekula bereziaren egituraz determinatuta daude. Batetik, r>r0 eskualdean Ep(r) funtzioaren malda positiboa da eta indarra erakarlea. Bestetik, r<r0 eskualdean, malda negatiboa da, indarra oso aldaratzailea eta azkenik, r=r0 posizioan indarra nulua da (energia potentzialaren minimoa).

Hona hemen r0 eta E0-ren zenbait balio tipiko:

Molekula E0 (10-23 J) r0 (angstrom)
Hidrogenoa (H2) 43 3.3
Nitrogenoa (N2) 131 4.2
Oxigenoa (O2) 162 3.9

Jatorria: Roller, Blum. Physics, Mechanics, Waves and Thermodynamics. Edt. Holden-day (1981), 655 orrialdea.

Ondorengo simulaziorako hartuko dugun potentzialari aldagaia aldatu diogu; separazio erlatiboa: x=r/r0. Horrela lortutako e(x) potentziala molekula-motaren independentea da:

e(x) funtzio hori oso handia egiten da x<1 balioetan eta zerora jotzen du x-en balio handietan. X ardatza bera da asintota horizontala. x=1 posizioan minimoa dauka (oreka egonkorreko posizioa) eta minimoaren balioa -1 da.

Energia

Molekularen energia totala, x posizio batean, energia zinetikoaren eta energia potentzialaren batura da:

E = Ek+Ep(x)

anarmonico1.gif (2652 bytes)

Irudiko kurba urdinak e(x) energia potentziala adierazten du, eta zuzen horizontal beltzak molekularen energia totala. Egoera lotuetan, molekula apurtu gabe, energia totala negatiboa da.

AB zuzenkiak molekularen E energia totala adierazten du (negatiboa). AC zuzenkiak energia potentziala eta BC zuzenkiak energia zinetikoa.

Energia zinetikoa beti positiboa izan behar denez, molekularen x separazio erlatiboa mugatuta dago, Ep(x) energia potentziala eta E energia totala mozten diren bi puntuen artean.

Energia totalak energia potentziala mozten duen bi puntuetan energia zinetikoa nulua da, energia potentziala, berriz, maximoa. Oreka-posizioan, ordea, (x=1) energia potentziala minimoa da eta energia zinetikoa maximoa.

Indarra

Bikotea ordezkatzen duen partikulak honako indarra jasaten du:

Ikusten denez, oreka-posizioan, x=1, indarra nulua da f(x)=0. Oreka posiziotik ezkerrera (x<1) f(x) funtzioaren malda negatiboa da eta oso handia (ia ia bertikala), beraz indarra positiboa da (eskumarantz). Azkenik, oreka-posiziotik eskumara (x>1) funtzioaren malda positiboa da, baina ez oso handia (batez ere x oso handia bada) beraz, indarra negatiboa (ezkerrerantz).

Higiduraren ekuazioa

Idatz dezagun ordezko partikularen higidura ekuazioa ekuazio diferentzial gisa (m=1):

Ekuazio hori prozedura numerikoekin ebatzi behar da, esaterako, Runge-Kutta, baina hasierako baldintzak ezarri beharrekoak dira.

Hasieran, t=0 aldiunean, partikularen posizioa x0 da (oreka-posiziotik eskumara) eta pausagunetik abiatzen da, v0=0. Hasierako posizio horretan energia zinetikoa nulua denez, energia potentzialak e energia totala ematen du.

Hasierako posizioa jakinda, e energia totala kalkulatzen da, eta e energia ezagututa, hurrengo gelditze posizioa kalkulatzeko, honako ekuazioa ebatzi behar da:

 

Saiakuntza

Ondorengo programa interaktiboan e energiaren balio bat aukeratu behar da (-1 eta 0 artean), dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

  • Leihatilaren ezkerraldean eta azpian partikula bat ikusten da malgukiaren eraginpean oszilatzen (malguki horren indarra Lennard-Jones itxurakoa da). Indar hori bektore urdin batez adierazten da: ikusten denez, oreka posiziotik ezkerrera indarra oso handia da baina denbora laburrean eragiten du. Eskuinaldean, berriz, indarra ez da hain bortitza, eta denbora luzeagoan lortzen du partikularen abiadura-aldaketa osoa (ikusi inpultsuaren kontzeptua).
  • Leihatilaren eskumako aldean, energia potentziala adierazten da, e(x). Bertako zuzenki bertikalean energia potentziala eta zinetikoa adierazten dira uneoro, zuzenki gorriaz eta zuzenki urdinaz, hurrenez hurren.
  • Leihatilaren ezkerraldean eta goian, partikularen ibilbidea erakusten da faseen diagraman (x,v).

Energia totala minimotik hurbil baldin badago, (-1) partikulak gutxi gora behera H.H.S deskribatzen du, alegia, berdin oszilatzen du alde batera eta bestera, eta faseen espazioko ibilbidea elipsea da (x=1 posizioan zentratua). Aldiz, partikularen energia totala 0-ra hurbiltzen bada, partikulak denbora askotxo pasatzen du eskumako aldean (x>1) eta gutxitxo ezkerrekoan, indarra bortitzagoa delako; kasu horretan, faseen espazioko ibilbidea ez da elipse perfektua, oso deformatuta dago-eta.

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.