Oszilazioak

Osziladoreak (II)

Osziladore
ez lineala (I)

Osziladore
ez lineala (II)

Pendulua

Oszilazio ez
harmonikoak

Molekula diatomikoa

Morse osziladorea

Zilindro errodatzaile
baten oszilazioak

Pistoi baten higidura

Atwood-en makina

Lennard-Jones potentziala

Orri honetan partikula-bikotearen problema klasikoaren kasu berezi bat aztertuko dugu, alegia, nola mugitzen diren bi partikula isolatu, elkarri indarra eragiten diotenean.

Bestalde, Lennard-Jones potentziala aztertuko dugu, formula enpiriko bat, molekula diatomikoen egoera lotuak oso modu txukunean deskribatzen dituena konfigurazio elektroniko jakin batean daudenean.

Molekula diatomikoa

Bi atomok molekula egonkor bat osatzen dutenean, E_p(x) energia potentzialak bi atomoen arteko x separazioaren eta orekako x₀ separazioaren arteko diferentziaren funtzio koadratikoa izan behar du:

Atomo biak erakartzen dituen F indarra bi atomoak lotzen dituen norabidekoa izan behar da eta honelako adierazpena izan behar du:

Partikula-bikote isolatuaren higidura beti ordezka daiteke partikula bakar baten higidurarekin. Ordezko partikula hori puntu finko baten inguruan mugitzen da (masa zentroa), barne-indarraren eraginpean:

m ·a₁₂= F₁₂

Hemen m masa laburbildua da, a₁₂ 1 partikularen azelerazio erlatiboa 2 partikularekiko eta F₁₂ elkarri eragiten dioten barne-indarra, baina, kasu honetan, lehen aipatutako F(x). Ekuazio diferentzial gisa adierazita:

Horixe da Higidura Harmoniko Sinplearen ekuazio diferentziala, eta bere maiztasun angeluarra honela adierazten da:

Adibidea:

Kalkula bedi HCl molekularen bi atomoek elkarri eragiten dioten barne-indarraren k konstantea, bere oszilazioen maiztasuna ezagututa:  f₀=9·10¹³ Hz.

Datuak: Hidrogenoaren masa: m₁=1 m.a.u. eta Kloroaren masa: m₂=35 m.a.u. Masa atomikoaren unitate bat: (m.a.u.) 1.67·10^-27 kg.

Goiko adierazpenean ordezkatuz: w₀=2p f₀, honako emaitza lortzen da k=519.2 N/m

Atomoen higidura

H.H.S.-aren ekuazio diferentzialaren soluzioa hau da:

x=x₀+A·sin(w₀t+j )

Hemen x₀ orekako separazioa da, A anplitudea, eta j  hasierako fasea, azken biak hasierako baldintzetatik kalkulatu beharrekoak, hau da t=0 aldiuneko x posizioa eta v abiadura.

Lehen partikulak bigarren partikularekiko duen x posizio erlatiboa ezagututa, eta suposatzen badugu bikotearen masa-zentroa pausagunean dagoela, honela adieraz daitezke bi partikulen posizioak:

Saiakuntza

Programa interaktiboan k konstantearen balioa finkotzat hartzen da, k=2p², eta molekula osatzen duten bi atomoen masak alda daitezke nahi den bezala: m₁ eta m₂.

Esate baterako, bi atomoen masak berdinak hartzen badira, m₁=m₂=1, oszilazioen maiztasun angeluarrak honakoa balio du: w₀=2p, eta beraz, periodoak P=1 denbora unitate bat.

Ezkerreko atomoari "A" deritzo eta zirkulu gorri batez adierazten da. Eskumako atomoari berriz "B" deritzo eta zirkulu urdin batez adierazten da. Bikotearen masa-zentroa pausagunean dago eta puntu beltz batez adierazten da.

Erregela batek atomoen arteko distantzia neurtzen du, eta masa-zentroaren posizioa.

Ezkerreko eta goiko ertzean, denbora erakusten da, zenbakiz eta unitate arbitrariotan, eta, horrela, oszilazioen periodoak neur daitezke.

Adibidea:

Baldin m₁=2 eta m₂=1, hona hemen oszilazioen maiztasun angeluarra eta periodoa:

Lennard-Jones potentziala

Molekula diatomiko baten barneko energia potentziala r-ren menpekoa da, alegia, bi atomoen zentroen arteko separazioaren menpekoa: E_p(r). Funtzio hori Lennard-Jones izenaz ezagutzen den funtzio ezagun batez adieraz daiteke.

Lennard-Jones potentziala Morse potentzialaren antzekoa da, formula enpirikoa da, eta molekula diatomiko baten egoera lotua modu txukunean adierazten du, konfigurazio elektroniko jakin baterako:

Adierazpen horretan parametro bi agertzen dira: r₀ eta E₀ , eta molekula bereziaren egituraz determinatuta daude. Batetik, r>r₀ eskualdean E_p(r) funtzioaren malda positiboa da eta indarra erakarlea. Bestetik, r<r₀ eskualdean, malda negatiboa da, indarra oso aldaratzailea eta azkenik, r=r₀ posizioan indarra nulua da (energia potentzialaren minimoa).

Hona hemen r₀ eta E₀-ren zenbait balio tipiko:

Jatorria: Roller, Blum. Physics, Mechanics, Waves and Thermodynamics. Edt. Holden-day (1981), 655 orrialdea.

Ondorengo simulaziorako hartuko dugun potentzialari aldagaia aldatu diogu; separazio erlatiboa: x=r/r₀. Horrela lortutako e(x) potentziala molekula-motaren independentea da:

e(x) funtzio hori oso handia egiten da x<1 balioetan eta zerora jotzen du x-en balio handietan. X ardatza bera da asintota horizontala. x=1 posizioan minimoa dauka (oreka egonkorreko posizioa) eta minimoaren balioa -1 da.

Energia

Molekularen energia totala, x posizio batean, energia zinetikoaren eta energia potentzialaren batura da:

Irudiko kurba urdinak e(x) energia potentziala adierazten du, eta zuzen horizontal beltzak molekularen energia totala. Egoera lotuetan, molekula apurtu gabe, energia totala negatiboa da. AB zuzenkiak molekularen E energia totala adierazten du (negatiboa). AC zuzenkiak energia potentziala eta BC zuzenkiak energia zinetikoa. Energia zinetikoa beti positiboa izan behar denez, molekularen x separazio erlatiboa mugatuta dago, Ep(x) energia potentziala eta E energia totala mozten diren bi puntuen artean.

Energia totalak energia potentziala mozten duen bi puntuetan energia zinetikoa nulua da, energia potentziala, berriz, maximoa. Oreka-posizioan, ordea, (x=1) energia potentziala minimoa da eta energia zinetikoa maximoa.

Indarra

Bikotea ordezkatzen duen partikulak honako indarra jasaten du:

Ikusten denez, oreka-posizioan, x=1, indarra nulua da f(x)=0. Oreka posiziotik ezkerrera (x<1) f(x) funtzioaren malda negatiboa da eta oso handia (ia ia bertikala), beraz indarra positiboa da (eskumarantz). Azkenik, oreka-posiziotik eskumara (x>1) funtzioaren malda positiboa da, baina ez oso handia (batez ere x oso handia bada) beraz, indarra negatiboa (ezkerrerantz).

Higiduraren ekuazioa

Idatz dezagun ordezko partikularen higidura ekuazioa ekuazio diferentzial gisa (m=1):

Ekuazio hori prozedura numerikoekin ebatzi behar da, esaterako, Runge-Kutta, baina hasierako baldintzak ezarri beharrekoak dira.

Hasieran, t=0 aldiunean, partikularen posizioa x₀ da (oreka-posiziotik eskumara) eta pausagunetik abiatzen da, v₀=0. Hasierako posizio horretan energia zinetikoa nulua denez, energia potentzialak e energia totala ematen du.

Hasierako posizioa jakinda, e energia totala kalkulatzen da, eta e energia ezagututa, hurrengo gelditze posizioa kalkulatzeko, honako ekuazioa ebatzi behar da:

Saiakuntza

Ondorengo programa interaktiboan e energiaren balio bat aukeratu behar da (-1 eta 0 artean), dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

• Leihatilaren ezkerraldean eta azpian partikula bat ikusten da malgukiaren eraginpean oszilatzen (malguki horren indarra Lennard-Jones itxurakoa da). Indar hori bektore urdin batez adierazten da: ikusten denez, oreka posiziotik ezkerrera indarra oso handia da baina denbora laburrean eragiten du. Eskuinaldean, berriz, indarra ez da hain bortitza, eta denbora luzeagoan lortzen du partikularen abiadura-aldaketa osoa (ikusi inpultsuaren kontzeptua).
• Leihatilaren eskumako aldean, energia potentziala adierazten da, e(x). Bertako zuzenki bertikalean energia potentziala eta zinetikoa adierazten dira uneoro, zuzenki gorriaz eta zuzenki urdinaz, hurrenez hurren.
• Leihatilaren ezkerraldean eta goian, partikularen ibilbidea erakusten da faseen diagraman (x,v).

Energia totala minimotik hurbil baldin badago, (-1) partikulak gutxi gora behera H.H.S deskribatzen du, alegia, berdin oszilatzen du alde batera eta bestera, eta faseen espazioko ibilbidea elipsea da (x=1 posizioan zentratua). Aldiz, partikularen energia totala 0-ra hurbiltzen bada, partikulak denbora askotxo pasatzen du eskumako aldean (x>1) eta gutxitxo ezkerrekoan, indarra bortitzagoa delako; kasu horretan, faseen espazioko ibilbidea ez da elipse perfektua, oso deformatuta dago-eta.