|
|
Oszilazioak |
Osziladoreak (II) |
Pendulu baten periodoa
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Solido zurrunaren ikasgaian, pendulu konposatuaren oszilazio txikiak aztertzen dira. Orri honetan, pendulu baten portaera orokorra aztertuko da, oszilazio txiki zein handietan, eta baita bira osoa ematen duenean. Pendulu konposatu baten ekuazio diferentziala honakoa da:
q angelua txikia denean, honako hurbilketa egiten da, sinq »q .Penduluak Higidura Harmoniko Sinplea deskribatzen du eta bere periodoa P0 deitzen da:
Penduluaren periodoaDemagun pendulua oreka egonkorreko posizioan dagoela eta energia gehigarri bat ematen diogula: E. Penduluak wo abiadura atzematen du instantean (oraindik oreka posizioan) eta desplazatzen hasten da. q angelua handitzen den heinean, energia potentziala handituz doa, baina energia zinetikoa gutxituz. Angelu maximoa atzematen du, q0 , justu abiadura nulu bilakatzen den aldiunean: w =0. Ondoren, alderantzizko prozesua gauzatzen da: energia potentziala energia zinetiko bilakatuz doa, harik eta berriz ere oreka posiziotik pasatzen den arte: q =0. Une horretan energia potentzial osoa energia zinetiko bilakatu da eta penduluaren abiadura -w0 da. Ondoren, penduluak beste desplazamendu maximo bat atzematen du aurkako posizioan: -q0, eta azkenik berriz ere oreka posiziora itzultzen da. Horixe da oszilazio oso bat.
Penduluak angelu maximoa atzematen duenean: w=0, eta E=mgb(1-cosq0)
Ekuazio diferentzial horretan dt denbora bakanduz:
Ordezkatuz:
Hona hemen emaitza:
Eta integra daiteke:
Penduluak angelu maximoa atzematen duenean, q =q0 edota j =p /2, oszilazio oso baten P periodoaren laurdena igaro da. Orduan, oszilazio baten P periodoa honela idatz daiteke:
Eta hemen P0 deitu zaio, oszilazio txikien hurbilketako periodoari. Integral hori lehen espezieko integral eliptiko osoa da, RF(x, y, z) deiturikoa. Ondoko programa interaktiboak P/P0 zatidura kalkulatzen du, baina oszilazioaren θ0 anplitudea eman behar diogu. Programak, lehen espezieko integral eliptiko osoa kalkulatzeko, Carlson-en metodoa du oinarri (ikus bedi Numerical Recipes in C, Special functions. seigarren kapitulua) Edozein anplitudeko pendulu baten periodoa kalkulatzeko programa
Seriezko garapenaGara dezagun serietan integral eliptikoaren izendatzailea:
Eta integrala berridazten da:
Integral horiek ebazteko, honako erlazio trigonometrikoak erabiltzen dira:
Orduan P periodoa ere seriean gara daiteke: Oszilazioen anplitudea txikia bada, hauxe idatz daiteke:
Eta periodoa da gutxi gora behera:
Horixe da, lehen hurbilketa batean, edozein anplitudeko pendulu baten periodoa. Ondorio nagusia da, P periodoa hazi egiten dela q0 anplitudearen menpe. Aldiz, oszilazio txikien P0 periodoa anplitudearekiko independentea da, baina egiaztatu behar da sinq »q hurbilketa, eta hori ez da betetzen oszilazio handietan. Seriezko garapenaren lehen hiru terminoek nahiko ondo betetzen dituzte emaitza esperimentalak q0<50º bada. Angelu handiagotarako integrazio osoa egin behar da, esaterako, Simpson-en metodo numerikoaz. Edozein anplitudeko penduluaren higidura simulatzeko, programak (1) higidura-ekuazioa integratzen du, Runge-kutta prozedura numerikoa erabiliz. Ondorengo taulan P/P0 erlazioa adierazten da, angelu maximoaren menpe:
Pendulu baten periodoaren formula hurbilduakEdozein anplitudeko pendulu baten periodoarentzat, zenbait formula ezagutzen dira, eta formula zehatzarekin konparatuko ditugu. Hona hemen formula zehatza:
θ0<π penduluaren anplitudea da. Ondorengo grafikoak adierazten ditu P/P0-ren balioak θ0 anplitudearen menpe, gradutan. Gorriz adierazi da formula zehatzak emandakoa.
Lehen espezieko integral eliptiko osoa ezin da funtzio elementalen menpe adierazi:
Energia potentzialaren kurbaKapitulu honetan ikusi dugunez, energia potentzialaren kurbak informazio kualitatiboa ematen du oszilazioen portaeraz. Penduluaren energia potentziala hau da: Ep=mgb(1-cosq ). Penduluaren energia potentzial maximorik handiena, 2mgb, justu goreneko posizioan dagoenean. Ondorengo programa interaktiboan, leihatilaren goiko eta eskumako aldean idatziz erakusten da energia potentzial erlatiboa, hau da energia potentzialaren eta energia potentzial maximoaren arteko zatidura, q angeluaren menpe, alegia, honako funtzioa:
Energia potentzial erlatibo horrek, gehienez, 1 balio du q =p denean (oreka ezegonkorreko posizioan) eta gutxienez zero, q =0 denean (oreka egonkorreko posizioan). Diagrama horretan, zuzen horizontal beltz batek energia totala adierazten du, energia potentzialaren eta energia zinetikoaren batura. Zuzenki bertikal gorriak penduluaren energia potentziala adierazten du, q posiziorako, eta zuzenki urdinak penduluaren energia zinetikoa. Energiaren balio guzti horiek erlatiboak dira, energia potentzial maximoarekiko, alegia, zatitu egin dira 2mgb balioaz. Energiaren kontserbazio-printzipioaren arabera, energia zinetikoaren eta energia potentzialaren batura konstantea izan behar da. Horregatik, energia zinetikoa maximoa da energia potentziala minimoa denean (oreka egonkorreko posiziotik pasatzean) eta energia zinetikoa minimoa da (zero) penduluak desplazamendu maximoa atzematen duenean. Faseen espazioaFaseen diagraman adierazten da w abiadura angeluarra (momentu angeluarraren proportzionala dena: I0·w ) desplazamendu angeluarraren menpe, q. Penduluaren higidura periodikoa bada, denbora-tarte bat igaro ondoren, eta ziklo bat osatu ondoren, berriz ere hasierako posiziora bueltatzen da. Penduluaren ibilbidea, faseen espazioan, kurba itxia da. Ibilbide horren ekuazioa kalkulatzeko energiaren kontserbazioa idaztea besterik ez da behar:
Energia total jakin baterako, E, ekuazio horrek erlazionatzen ditu, batetik, w penduluaren abiadura angeluarra eta, bestetik, q desplazamendu angeluarra. Ikusten da, faseen espazioan, penduluaren ibilbidea beti dela simetrikoa ardatz bertikalarekiko (w abiadura angeluarraren ardatzarekiko). Simetria horrek adierazten du, penduluaren higidura berdin gerta daitekeela erlojuaren orratzen alde zein erlojuaren orratzen aurka. Kasu biak gerta daitezke: OszilazioakPenduluaren energia totala, E , energia potentzial maximoa baino txikiagoa denean: E<2mgb edota e<1. Energia potentzialaren diagraman ikusten da, energia totala txikiagoa dela potentzial-hesiaren altuera baino. Penduluak oszilatu egingo du muturreko bi posizioen artean: q0 eta -q0. Anplitude hori (q0) kalkula daiteke energiaren kontserbazioan w =0 ordezkatuz: E= 2mgb(1-cosq 0)
Esaterako, e=0.5 bada, orduan, q0=p /2= 90º. Eta e=0.1 bada, orduan, q0=36.9º Anplitudea txikia bada, penduluak Higidura Harmoniko Sinplea deskribatuko du, eta bere ibilbidea, faseen espazioan, elipsea izango da.
Azken adierazpen horren izendatzaileak elipsearen ardatzerdien karratuak dira. Ardatzerdi horizontala (anplitude maximoa) hau da:
E energia handitzen doan heinean, faseen espazioko ibilbidea elipse perfektutik urruntzen joango da, eta oszilazioek harmoniko izateari utzi egiten diote. Penduluak q0 desbideratze maximotik hurbil denbora gehitxo pasatzen duenez, faseen espazioko ibilbidea zorroztu egiten da ezker eta eskuineko muturretan, eta goiko eta beheko muturretan, ordea, leundu. ErrotazioakPenduluaren E energia totala energia potentzial maximoa baino handiagoa denean, E>2mgb , edota e>1, orduan penduluak bira osoak ematen ditu, goreneko puntua ere gaindituz. Errotazio higidura hori, ordea, ez da uniformea; penduluak abiadura maximoa du oreka egonkorreko posiziotik pasatzean, eta abiadura minimoa du oreka ezegonkorreko posiziotik pasatzean. Penduluaren posizio angeluarra, q, etengabe handituz doa, w abiadura angeluarra beti da positiboa (errotazioa erlojuaren orratzen aurkakoa bada). Penduluak higidura-mota bera errepikatu egiten du, behin eta berriz, bere q posizio angeluarra 2p, 4p, etab handitzen den bakoitzean. Higidura mota hori faseen espazioan deskribatzeko, nahikoa da espazio horretako -p , p tartea soilik aztertzea. Penduluaren egoera faseen espazioan deskribatzen duen puntua (posizio eta abiadura angeluarrak) tarte horretatik eskumatik irteten da eta ezkerretik sartu. Penduluaren periodoa Energiaren kontserbazioaren ekuaziotik penduluaren ω abiadura angeluarra bakan daiteke:
Penduluak θ posiziotik θ+dθ posiziora desplazatzeko behar duen denbora hau da:
Eta periodoa kalkulatzen da:
Ondoko programak P/P0 erlazioa kalkulatzen du, penduluaren e energia emanda (e>1). Horretarako, integral hori kalkulatzen du Simpson-en prozedura numerikoa erabilita. Ibilbide mugatzaileaPenduluaren energia totala justu E=2mgb denean (e=1) kasu limitean gaude. Faseen espazioan, penduluaren eboluzioa adierazten duen ibilbidea gorriz adierazita dago leihatilaren eskumako eta beheko aldean, eta ibilbide mugatzaile deritzo. Ordezkatzen badugu E=2mgb energiaren kontserbazio-printzipioan, ibilbide mugatzailearen ekuazioa lortzen dugu:
Ibilbide mugatzaileak penduluaren portaera mota ezberdinak banatzen ditu: oszilatzea edo errotatzea. Penduluak oreka ezegonkorreko posizioa atzematen duenean, q = -p edo q =p , bere abiadura angeluarra nulua da, w =0. Posizio horretatik abiatuta, pendulua alde batera edo bestera pixkatxo bat desplazatzen badugu, penduluak oszilatu egingo du eta bere anplitudea ia-ia p izango da. Aldiz, posizio horretatik bultzadatxo bat ematen badiogu, penduluak errotatu egingo du, behin eta berriz. Ondoko taulak erakusten duenez, penduluak denbora askotxo pasatzen du posizio ezegonkorraren inguruetan eta periodoa infinitu bilakatzen da justu energia mugatzailea duenean: E=2mgb (e=1).
SaiakuntzaAukeran idatz daiteke: Energia erlatibo totala, e, dagokion kontrolean idatziz edo desplazamendu-barrari saguaz eragiten (energia erlatiboa da, E energia totala zati energia potentzial maximoa: 2mgb). Hasi botoia sakatu. Leihatilaren ezkerraldean pendulua oszilatzen ikusten da. Eskuinaldean berriz, bi grafiko erakusten dira: goian energiarena eta azpian faseen espazioarena. Energiaren grafikoan, kurba gorriak energia potentziala adierazten du q posizioaren menpe, alegia, angeluaren menpe. Marra zuzen beltzak energia totala adierazten du. Posizioaren arabera, zuzenki bertikalak bi zati ditu: urdinez energia zinetikoa eta gorriz energia potentziala. Faseen espazioaren grafikoan gorriz adierazi da ibilbide mugatzailea (e=1). Penduluaren energia mugakoa baino txikiagoa bada, penduluaren ibilbidea mugatik barrura gauzatzen da, aldiz, handiagoa bada, ibilbide mugatzailetik kanpo. Leihatilaren ezkerreko eta goiko ertzean, zenbakiz idazten dira t denbora eta q angelua. Denbora adierazteko unitatetzat P0 hartzen da oszilazio txikien periodoa. Gelditu/Jarraitu eta Pausoka botoiekin, edozein anplitudeko penduluaren P periodoa neur daiteke. Emaitza zehatzagoak lortzeko, zenbatu itzazu bost oszilazio (edo bira) eta zati ezazu denbora totala zati bost. Betiere oszilazio txikien P0 periodoa unitatetzat hartuta. |
Butikov. E. The rigid pendulum -an antique but evergreen physical model. Eur. J. Phys. 20 (1999) pp. 429-441.
Molina M. I., Simple linearizations of the simple pendulum for any amplitude. The Physics Teacher, Vol 35, November 1997, pp. 489-490
Kidd R. B. Fogg S. L., A simple formula for the large-angle pendulum period. The Physics Teacher Vol 40, February 2002, pp. 81-83
Millet L. E., The large-angle pendulum period. The Physics Teacher, Vol 41, March 2003, pp. 162-163
Lima F.M. S., Arun P., An accurate formula for the period of a simple pendulum oscillating beyond the small angle regime. Am. J. Phys. 74 (10) October 2006, pp. 892-895.
Puig Adam P., Cálculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972, pág 97
Elipsearen luzeraElipse baten zabalera eta altuera ezberdinak dira, eta bere ezaugarri nagusiak dira a ardatzerdi luzea eta b ardatzerdi motza.
Hona hemen elipsearen ekuazioa, koordenatu cartesiarretan:
Hona hemen arku-zati baten luzera:
Elipsearen perimetroaren luzera osoa koadrante bakar baten luzera lau bider da:
Aldagai aldaketa eginda: x=asinθ, dx=acosθ·dθ
e-ri elipsearen eszentrikotasuna deritzo, eta integral horri "bigarren espezieko integral eliptiko osoa" deritzo
c fokuen arteko distantziaren erdia da. Elipsearen luzerarako hona hemen formula hurbildu bat:
Beheragoko programa interaktiboak, elipsearen a eta b ardatzerdiak emanda, elipsearen perimetroaren L luzera kalkulatzen du. SaiakuntzaAukeran idatz daitezke:
Kalkulatu botoia sakatu. b ardatzerdi motza txikiagoa izan behar da a ardatzerdi luzea baino. Desplazamendu-barrak berez mugitzen dira alderantziz aukeratzen badira. Programa honek bigarren espezieko integral eliptiko osoa kalkulatzen du eta bere emaitza konpara daiteke, atal honetan eman den formula hurbilduarekin. |
Hona hemen lehen eta bigarren espezieko integral eliptikoak kalkulatzeko prozedura numerikoak:
public class RF {
static final double ERRTOL=0.08;
static final double TINY=1.5e-38;
static final double BIG=3.0e37;
static final double THIRD=(1.0/3.0);
static final double C1=(1.0/24.0);
static final double C2=0.1;
static final double C3=(3.0/44.0);
static final double C4=(1.0/14.0);
public static double rf(double x, double y, double z) {
double alamb,ave,delx,dely,delz,e2,e3,sqrtx,sqrty,sqrtz,xt,yt,zt;
if (Math.min(Math.min(x,y),z)<0.0 || Math.min(Math.min(x+y,x+z),y+z)<TINY
|| Math.max(Math.max(x,y),z)>BIG)
System.out.println("invalid arguments in rf");
xt=x;
yt=y;
zt=z;
do {
sqrtx=Math.sqrt(xt);
sqrty=Math.sqrt(yt);
sqrtz=Math.sqrt(zt);
alamb=sqrtx*(sqrty+sqrtz)+sqrty*sqrtz;
xt=0.25*(xt+alamb);
yt=0.25*(yt+alamb);
zt=0.25*(zt+alamb);
ave=THIRD*(xt+yt+zt);
delx=(ave-xt)/ave;
dely=(ave-yt)/ave;
delz=(ave-zt)/ave;
} while (Math.max(Math.max(Math.abs(delx),Math.abs(dely)),Math.abs(delz))> ERRTOL);
e2=delx*dely-delz*delz;
e3=delx*dely*delz;
return (1.0+(C1*e2-C2-C3*e3)*e2+C4*e3)/Math.sqrt(ave);
}
}
public class RD {
static final double ERRTOL=0.05;
static final double TINY=1.0e-25;
static final double BIG=4.5e21;
static final double C1=3.0/14.0;
static final double C2=1.0/6.0;
static final double C3=9.0/22.0;
static final double C4=3.0/26.0;
static final double C5=0.25*C3;
static final double C6=1.5*C4;
public static double rd(double x, double y, double z){
double alamb,ave,delx,dely,delz,ea,eb,ec,ed,ee,fac,sqrtx,sqrty, sqrtz,sum,xt,yt,zt;
if (Math.min(x,y) < 0.0 || Math.min(x+y,z) < TINY || Math.max(Math.max(x,y),z) > BIG)
System.out.println("invalid arguments in rd");
xt=x;
yt=y;
zt=z;
sum=0.0;
fac=1.0;
do {
sqrtx=Math.sqrt(xt);
sqrty=Math.sqrt(yt);
sqrtz=Math.sqrt(zt);
alamb=sqrtx*(sqrty+sqrtz)+sqrty*sqrtz;
sum += fac/(sqrtz*(zt+alamb));
fac=0.25*fac;
xt=0.25*(xt+alamb);
yt=0.25*(yt+alamb);
zt=0.25*(zt+alamb);
ave=0.2*(xt+yt+3.0*zt);
delx=(ave-xt)/ave;
dely=(ave-yt)/ave;
delz=(ave-zt)/ave;
} while (Math.max(Math.max(Math.abs(delx),Math.abs(dely)),Math.abs(delz)) > ERRTOL);
ea=delx*dely;
eb=delz*delz;
ec=ea-eb;
ed=ea-6.0*eb;
ee=ed+ec+ec;
return 3.0*sum+fac*(1.0+ed*(-C1+C5*ed-C6*delz*ee)+delz*(C2*ee+delz*(-C3*ec+delz*C4*ea)))
/(ave*Math.sqrt(ave));
}
}
public class Eliptica {
public static double segunda(double phi, double ak) {
double cc,q,s;
s=Math.sin(phi);
cc=Math.cos(phi)*Math.cos(phi);
q=(1.0-s*ak)*(1.0+s*ak);
return s*(RF.rf(cc,q,1.0)-(s*ak)*(s*ak)*RD.rd(cc,q,1.0)/3.0);
}
public static double primera(double phi, double ak) {
double s=Math.sin(phi);
return (s*RF.rf((Math.cos(phi)*Math.cos(phi)),(1.0-s*ak)*(1.0+s*ak),1.0));
}
}
//aplicación, longitud de la elipse double a=3.0; double b=2.0; double e=Math.sqrt(a*a-b*b)/a; double longitud=4*a*Eliptica.segunda(Math.PI/2, e); System.out.println((double)Math.round(longitud*1000)/1000); //aplicación, periodo de un péndulo P/P0 double angulo=120.0; double k=Math.sin(angulo*Math.PI/360); double periodo=2*Eliptica.primera(Math.PI/2, k)/Math.PI; System.out.println(((double)Math.round(periodo*1000)/1000); |
Goiko prozedura hori C lengoaian azalduta dago honako liburuan: Numerical Recipes in C, The art of scientific computing. Special functions. Seigarren kapituluan. Eta orri honen egileak C lengoaiatik Java lengoaiara egokitu du.
Pendulua
(1)
(2)
