Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Soluzioen egonkortasuna

Saiakuntza

Ekuazio kubiko baten soluzioak

Erreferentziak

Demagun karga-bikote bat: Q eta q. Bietatik bat, Q, finkoa da, eta bestea, q, malguki baten muturrean lotuta dago, irudiak erakusten duen bezala.

Har dezagun jatorritzat Q karga finkoaren posizioa.

• Malgukiaren posizio naturala x₀ da O jatorriarekiko (kargarik ez dagoenean) eta bere konstantea k.

• Karga biak, Q eta q, zeinu berekoak direnean aldaratu egiten dira eta q karga jatorritik urruntzen da: x>x₀.

• Karga biak aurkako zeinukoak direnean erakarri egiten dira eta q karga jatorrirantz hurbiltzen da: x<x₀.

Sistema hori itxuraz oso sinplea da, baina portaera konplexua du. Kalkula ditzagun q kargaren oreka-posizioak eta ikus dezagun zein baldintzatan diren egonkorrak ala ez.

Oreka-posizioak

Oreka posizioan, Q kargak q kargari eragiten dion erakarpena edo aldarapena konpentsatu egiten da malgukiak egiten dion indarrarekin.

Aurreko bi irudietan erakusten da kargen arteko indarraren noranzkoa (F_e), eta malgukiak egiten duen indarraren noranzkoa (F_m) bai kargek zeinu bera dutenean eta baita aurkako zeinua dutenean. Oreka-posizioa kalkulatzeko honako ekuazioa idatzi behar da:

F_e=F_m

Malgukiaren luzera x da eta deformaziorik gabe x₀. Hortaz:

Har ditzagun (sinpletzearren) Q karga eta k konstantea honako erlazioa betetzen dutenak: 4πε₀·k/Q=1 (edo bestela unitate-sistema aldatu eta q-ren karga erlatiboa honako unitateetan adierazi: 4πε₀·k/Q).

Orduan oreka-posizioan,  q=x²(x-x₀)

q karga ezaguna bada, oreka-posizioa kalkulatzeko (x) ekuazio kubiko hori ebatzi behar da.

Ekuazio kubikoaren soluzioak

Ondorengo grafikoan, gorriz, honako funtzioa adierazi da:

y=x²(x-x₀) 

Esaterako, har dezagun x₀=1.0 , eta x-ri balio ezberdinak eman (0.0, 1.1) tartean:

Ikusten da funtzio horrek minimo bat duela (x_m ,y_m). Berau kalkulatzeko y-ren deribatua kalkulatu behar da x-rekiko eta zero balioa inposatu:

Finko mantenduz x₀=1.0, eta q karga ere ezaguna bada, honako kasu ezberdinak gerta daitezke:

• Soluzio errealik ez

Kargaren balioa, q, funtzioaren minimoa baino txikiagoa bada, q<y_m, irudiak erakusten du ekuazio horrek ez duela soluzio errealik, y=q zuzenak (urdinak) ez duelako funtzioa mozten.

Eta hori gertatzen denean, q<q_m , erakarpen elektrikoak malgukiaren indarra gainditzen du posizio guztietan:

Edozein posiziotan (x<1 tartean) q handiagoa da (balio absolutuan) funtzioaren balioa baino: y=x²(x-x₀). Ondorioz, karga biak erakarri egiten dira jatorrian elkartzen diren arte, x=0 posizioan.

• Soluzio erreal bi:

Kargaren balioa, q, funtzioaren minimoa baino handiagoa bada, q>y_m, irudiak erakusten du y=q zuzenak funtzio kubikoa bi puntutan mozten duela.

• Soluzio erreal bakar bat

Esaterako, karga biak aldaratzen direnean, alegia q>0, orduan y=q zuzenak funtzio kubikoa puntu bakar batean mozten du.

Soluzioen egonkortasuna

Sistemaren energia potentzial osoa bi energia potentzialen batura da: bata, kargen arteko elkarrekintzari dagokiona eta bestea, malguki elastikoari dagokiona deformatuta egoteagatik.

Baina Q karga eta malgukiaren k konstantea baldintza honekin aukeratu ditugu:  4πε₀·k/Q=1.

Oreka-posizioak kalkulatzeko energia potentzialaren deribatua zero dela inposatzen da:

Baina hauxe da aurreko atalean aztertu dugun ekuazio bera.

Oreka-posizioak egonkorrak ala ezegonkorrak diren erabakitzeko, e_p(x) energia potentzialaren bigarren deribatua kalkulatu behar da eta posizio horretako zeinua aztertu: positiboa bada minimoa da, beraz egonkorra eta negatiboa bada maximoa, beraz ezegonkorra.

1. q>y_m denean, alegia q_m<q<0, soluzio erreal bi ematen ditu beraz, oreka-posizio bi daude: x₁ posizioa energia potentzialaren maximo bat da eta x₂ posizioa ordea, minimo bat. Beraz x₂ egonkorra da eta x₁ ezegonkorra.

2. q kargaren balioa gutxitzen badoa, orduan maximoa eta minimoa hurbiltzen doaz eta azkenean (q=q_m= -4x₀³/27 denean) elkar topo egiten dute x_m=2x₀/3 posizioan. Kasu horretan puntu hori inflexio-puntua da, energia potentzialaren bigarren deribatua ere nulua delako.

Horrelako posizio batek (alegia q_m-ri dagokion x_m posizioak) oreka neutroa du.

3. q>0 denean, oreka-posizio bakarra ateratzen da, eta egonkorra da, energia potentzialaren minimo bat delako.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Malgukian lotutako karga, q, dagokion desplazamendu-barrari eragiten.

Kalkulatu botoia sakatu.

Programak energia potentzial normalizatuaren grafikoa adierazten du, e_p(x), eta bere maximo eta minimoa seinalatzen ditu, existitzen direnean. Karga biak eta malgukia ere irudikatzen dira bere oreka-posizio egonkorrean, q_m<q kasuan, eta jatorrian, x=0 posizioan q<q_m kasuan.

Ekuazio kubikoaren soluzioak kalkulatzeko (x³-x²-q=0), eta q kargaren balio ezberdinetarako, grafikoki egin daiteke paper milimetratuaz, orri honetan azaldu den bezala. Bestela, kalkulagailua erabiliz ere, eta ekuazio kubiko baten soluzioak atalean azaltzen den prozeduraz ere egin daiteke.

Ekuazio kubiko baten soluzioak

Programa interaktiboak, ekuazio kubikoaren soluzioak kalkulatzeko, honako liburu honetako prozedura erabiltzen du: Numerical Recipes in C.

Ekuazio kubiko bat orokorrean

x³+ax²+bx+c=0

Kalkulatu behar dira:

Eta R²<Q³ bada, orduan ekuazioak hiru soluzio erreal ditu:

Bestela, R²≥Q³ bada, soluzio erreal bat du eta irudikari bi. Soluzio erreala kalkulatzeko honako prozedura jarrai daiteke:

Hona hemen gure kasuko ekuazio kubikoa: x³-x²-q=0. Bere koefizienteak  a= -1, b=0, c= -q

·     Ekuazio kubikoak hiru soluzio erreal ditu baldintza honetan: R²<Q³

edota -4/27<q<0 bada, alegia q-ren balioa aipatutako tartean baldin badago: (q_m, 0).

Lehen soluzioa, x₁, negatiboa da eta baztertzen da; bigarrena, x₂, oreka-posizioa egonkorrekoa da eta hirugarrena, x₃ ezegonkorra.

·     Ekuazio kubikoak soluzio erreal bakarra du: R²≥Q³

hau da q≥0 denean.