Solido zurruna

Gurpil baten oszilazioak, gainazal ahur batean errodatzen

Higidura Harmoniko Sinplea

Saiakuntza

Erreferentzia

Bada beste kapitulu bat Partikularen Dinamikan, Lana eta Energia atalean, "Partikula bat irristatzen gainazal ahur batean" eta bertan frogatzen da gainazalak zikloide forma duenean, eta marruskadurarik ez badu, partikulak oszilazio harmoniko sinpleak burutzen dituela, honelako maiztasunaz: ω²=g/(4R). Honako kapitulu honetan aztertuko dugu gurpil batek ere gainazal ahur batean errodatzen duenean oszilazioak burutzen dituela, baina oszilazioak harmonikoak eta sinpleak izateko, gurpilaren zentroaren ibilbidea zikloidea izan behar dela. Oszilazio horien periodoa ere kalkulatuko dugu.

Gurpil bat gainazal ahur batean errodatzen

Irudiak erakusten duen bezala, gurpilak C' kurbaren gainean errodatzen du. Gurpilaren erradioa r da eta bere zentroak C kurba deskribatzen du. Gurpilak C' kurba ukitzen duen puntuari P deritzogu eta u aldagaiak OP distantzia adierazten du. Bitartean, gurpilaren zentroa Q posizioan dago eta s aldagaiak O'Q distantzia adierazten du. Tarte horretan gurpilak φ angelua biratu du.

Bestalde, C' kurbaren malda θ angeluaz adierazten da, izan ere P puntu horretan.

Higiduraren ekuazioa

Gurpilak hiru indar jasaten ditu:

• Pisua: mg

• Gainazalaren erreakzio normala, P kontaktu-puntuan: N.

• Marruskadura-indarra: F_r

Idatz ditzagun higiduraren ekuazioak

Gurpilaren formaren arabera (eraztuna, zilindroa edo esfera) bere inertzia-momentua honela adieraz daiteke: I_mz=k·mr² eta hemen k=1 eraztunerako, k=1/2 zilindro edo diskorako eta k=2/5 esferarako. Berridatziz:

a_mz+kra= -g·sinθ    (1)

Bestalde, gurpilak ez badu irristatzen honako baldintza ere beti bete behar da:

a_mz=a ·r

Ibilbidearen ekuazioa

Irudiak adierazten du denbora tarte txiki bat: t eta t+dt. Gurpilaren kontaktu-puntua desplazatu egin da C' kurbaren gainean: PP1= du Gurpilaren masa-zentroa ere desplazatu da C kurbaren gainean: QQ1=ds. Marraz ditzagun C' kurbaren tangente biak: P eta P1 puntuetan (irudian zuzen urdinak). Bi zuzen horien norabide normalak (irudian zuzen beltzak) moztu egiten dira, izan ere O puntuan. Horixe da C' kurbaren kurbadura-zentroa. O-tik P-ra (edo P1-era) dagoen distantzia C' kurbaren kurbadura-erradioa da: ρ.

Gurpilaren translazioa

Zuzen tangente bien arteko angelua eta norabide normal bien artekoa berdina da: dθ.

Orduan PP₁ arkuaren distantzia da, kurbadura erradioa (OP) bider angelua radianetan: dθ. Beraz:

du=ρ· dθ

Era berean, QQ₁ arkuaren luzera kalkulatzen da, OQ distantzia bider angelua: dθ. Beraz:

ds=(ρ-r)· dθ

Gurpilaren errotazioa

Azter dezagun zenbat errotatu duen gurpilak denbora-tarte txiki horretan: t eta t+dt

Gurpilak ez duenez irristatzen, orduan PP₁=P₁P’=du. Bestalde, C' kurbaren malda aldatu denez, izan ere dθ, orduan gurpilak biratu duen angelua hau da:

dφ=P₁P’/r-dθ=du/r- dθ  (ikusi irudia).

Ekuazio horietatik dθ eliminatzen badugu, honako erlazioak lortzen dira:

Azkeneko erlazio hori azelerazioen arteko erlazioaren baliokidea da: a_mz=a ·r

Beraz, higiduraren ekuazioa (1) ekuazio diferentzial gisa idatz daiteke:

Higidura hori, berez, ez da Harmoniko Sinplea. Horretarako, gurpilaren azelerazioa, d²s/dt² eta desplazamendua, s, elkarren proportzionalak izan behar dira eta aurkako zeinuekin. Honelako itxura izan beharko luke:

eta R konstante bat baino ez da, luzera dimentsioduna, baina ez da gurpilaren r erradioa. Baldintza hori betetzen bada, orduan bai, gurpilaren masa-zentroaren higidura Harmoniko Sinplea izango da:

Bere maiztasun angeluarra eta periodoa:

Izan ere, geroago ikusiko dugunez, R  zikloidearen sortzaile den diskoaren erradioa da. Har dezagun gure kasurako, R=1 m, eta g=9.8 m/s², oszilazioen periodoak honakoak dira gurpil-mota ezberdinetarako:

Masa-zentroaren ibilbidearen ekuazioa

Higidura harmoniko sinplearen baldintza berridatziz:

s=4R·sinθ
ds=4R·cosθ·dθ

dx=ds·cosθ=4Rcos²θ·dθ=2R(1+cos2θ)·dθ
dy=ds·sinθ=4R·sinθ·cosθ·dθ=2R·sin2θ·dθ

Integratzen baditugu x eta y, eta hasierako baldintzak ezarri: q=0, x=0, y=r, hona hemen emaitzak:

x=R(2θ+sin2q)
y=r+ R(1-cos2θ)

Hain zuzen, ekuazio hori zikloidea da, forma parametrikoan idatzita.

C' gainazal ahurraren ekuazioa

Alde batetik ds=4R·cosθ·dθ; bestetik ds eta du-ren arteko erlazioa: ds=(1-r/r)·du; eta azkenik du=ρ·dθ.

Honela berridatz daitezke:

Eta kurbadura-erradioa kalkula daiteke:

ρ=r+4R·cosθ

Hona hemen du desplazamendu infinitesimalaren eta θ maldaren arteko erlazioa:

du=(r+4R·cosθ)·dθ

Orduan:

dx’ =du·cosθ=(r·cosθ+4R·cos²θ)·dθ=(r·cosθ+2R·(1+cos2θ))·dθ
dy’ =du·sinθ=(r·sinθ+4R· sinθ·cosθ)·dθ=(r·sinθ+2R· sin2θ)·dθ

Integratzen baditugu x' eta y' , eta hasierako baldintzak ezarri: q=0,x=0, y=r , hona hemen emaitzak:

x’=r·sinθ+R(2θ+sin2θ)
y’=r(1-cosθ)+R(1-cos2θ)

Kurba hori orokorrean ez da zikloidea, bakarrik r→0 limitean.

Egiaztatzea

Irudiak erakusten duenez, P(x’, y’)  puntuari Q(x, y) puntua dagokio. Bi puntu horien koordenatuak  x , x', y eta y' erlazionatuta daude honela:

x=x’-r·sinθ
y=y’+ r·cosθ

Gurpilaren masa-zentroak deskribatzen duen kurba (C), alderantzizko zikloide bat da: (-π/2<θ< π/2) bere minimoa (0, r) posizioan dago eta bere sortzaile den diskoaren erradioa R da, ez gurpilaren r erradioa. Aldiz, gurpilak jarraitzen duen kurba (C') ez da zikloidea gurpilaren erradioa nulua ez bada (r=0).

Higidura Harmoniko Sinplea

Edozein gorputzek Higidura Harmoniko Sinplea jarraitzen duenean, bere posizioa eta abiadura denboraren menpe honela adieraz daitezke:

s=A·sin(w t+j )

v=w s₀·cos(w t+j)

A anplitudea eta hasierako fasea, j , hasierako baldintzetatik ezarri behar dira. Gure kasuan: t=0, s=s₀, v_mz=0. Alegia, gurpila s₀ posiziotik abiatzen da eta pausagunetik.

s=s₀·sin(w t+p/2)=s₀·cos(w ·t)

Gurpilaren zentroaren abiadura lortzeko (v_mz) posizioa deriba daiteke denborarekiko:

v_mz= -w s₀·sin(w t)

Energiaren balantzea

Energiaren balantzea aztertzeko, gogora dezagun gurpil bat plano inklinatuan behera errodatzen.

Gurpilaren zentroa "y" altueran dagoenean bere energia potentziala honela adieraz daiteke:

Bestalde, energia zinetikoak bi atal ditu: translaziozkoa eta errotaziozkoa:

Hemen kontutan izan da, bi abiadura-motak (translaziozkoa eta errotaziozkoa) erlazionatuta daudela: v_mz=w ·r , gurpilak irristatu barik errodatzen badu.

Orduan E_k energia zinetikoaren eta E_p energia potentzialaren batura konstantea ateratzen da:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke

• Hasierako arkua, s₀ , gurpilaren hasierako posizioa da, baina adierazten da bere zentroak deskribatzen duen zikloidearen gaineko arkuaz. Desplazamendu-barrari saguaz eragin.
• Gorputz mota, alegia eraztuna, zilindroa ala esfera.
• Zikloidearen sortzaile den diskoaren erradioa finkotzat hartu da: R=1 m. Horrekin finko geratzen da gainazal ahurraren forma.
• Gurpilaren erradioa ere finkotzat hartu da: r=0.4 m

Datuok onartzeko Berria botoia sakatu eta ondoren Hasi.

Gurpila mugitzen hasten da eta bere masa-zentroak zikloidea deskribatzen du. Higiduraren ekuazioa honakoa da:

s=s₀·cos(w ·t)

hemen s da, gurpilaren posizioa, baina zikloidearen gaineko arkuaren luzeraz adierazita, eta ω Higidura Harmoniko Sinplearen maiztasun angeluarra.

Leihatilaren goiko aldean, tarta-itxurako diagrama batean, energiaren balantzea erakusten da. Energia potentziala urdinez eta energia zinetikoa bi ataletan banatuta: translaziozkoa gorriz eta errotaziozkoa arrosaz. Hala ere, bi energia zinetiko motak proportzionalak dira.

Datu berriak sartu nahi badira (gurpil-mota nahiz hasierako posizioa aldatu), berriro sakatu behar da Berria, datuok onartzeko. Ondoren, Hasi botoiarekin, gurpilaren higidura erakusten da.