Solido zurruna

Solido zurrunaren
higidura orokorra

Esfera bat 
plataforma birakor 
baten gainean

Kutxa bat malda
inklinatuan

Gurpil oszilatzailea

Disko bat etzanda 
biratuz eta irristatuz

Disko bat indar
konstante baten
eraginpean

Partikula astun bat
eraztun birakor
baten ertzean

Gurpil bat
gainazal ahur
batean oszilatzen

Kurba zikloidalak

Gurpil karratua 

Hipotrokoidea

Kasu bereziak

Saiakuntza

Zikloide bat da, gurpil baten ertzeko puntu batek deskribatzen duen ibilbidea, gurpilak irristatu barik errodatzen duenean gainazal zuzen batean zehar.

Kapitulu honetan berriz, kurba epizikloidalak aztertuko ditugu, alegia, gurpil baten ertzeko puntu batek deskribatzen duen ibilbidea gurpilak irristatu barik errodatzen duenean gainazal zirkular baten gainean. Zirkulu mugikorra zirkulu finkoaren barrutik errodatzen badu, orduan sortutako kurbak hipozikloideak deitzen dira.

Gainera gurpileko puntua ez badago ertzean bertan, bi kasu agertzen dira: zentrotik ertza baino hurbilago badago, deskribatzen duen kurbari hipotrokoide deritzo eta zentrotik ertza baino urrutiago badago epitrokoidea deskribatzen du.

Kurba horiek irudikatzeko badago jostailu bat espirografo izenekoa. Jostailu horrek erradio ezberdinetako gurpil-sorta bat du, eta gurpilek ertz guztietan haginak dituzte, bata bestearen ertzean irristatu gabe errodatzeko (engranajeak bezala). Zenbait gurpilek kanpotik dituzte haginak eta besteek barrutik. Gurpil-bikote bat aukeratzen da: gurpiletako bat finko mantentzen da paperean itsatsita, eta bestea mugitzen dugu finkoaren inguruan errodatzen. Boligrafoa gurpil mugikorraren zulotxo batean finkatuz, kurba-mota bat irudikatzen da. Konbinazio-kopurua oso handia da, eta lehen aipatutako kurba-mota guztiak irudika daitezke gurpilen erradioen arabera eta aukeratutako puntuaren posizioaren arabera.

Epitrokoidea

Goiko irudiak erakusten duen bezala, gurpil bat finkoa da (a erradioduna) eta besteak (b erradiodunak) errodatu egiten du finkoaren inguruan, irristatu barik. Beraz, bi gurpilen zentroen arteko distantzia (a+b) da uneoro. Bestalde, aukera dezagun P puntu bat gurpil mugikorrean. Irudian gorriz adierazi da eta gurpil mugikorraren C zentrotik h distantziara aukeratu da.

Ezkerreko irudiak erakusten du hasierako posizioa, eta eskumakoak berriz ondorengo posizio bat, t denbora iragan ondoren. Une horretan, zentro biak lotzen dituen norabideak (OC) a angelua osatzen du hasierako norabidearekiko, alegia horizontalarekiko.

Gurpil mugikorrak biratutako angeluari dei diezaiogun b . Beraz CP norabideak angelu horixe osatzen du OC norabidearekiko. Irudiak erakusten duenez, bi gurpilen ertzetako arkuek luzera bera dute (bi arkuak urdinez adierazi dira), eta beraz:

Une horretan P puntuaren posizioa honela adieraz daiteke:

x=(a+b)·cosa +h·sin(a +b -90)
y=(a+b)·sina -h·cos(a +b -90)

edo bestela,

Hipotrokoidea

Gurpil mugikorrak gurpil finkoaren barrutik errodatzen badu, orduan bi zentroen arteko distantzia (a-b) da uneoro. Oraingoan ere bi gurpilen ertzetako arkuak berdinak dira (a·a =b·b ). Gurpil mugikorra mugitu denean eta bi zentroak lotzen dituen OC norabideak a angelua osatzen duenean norabide horizontalarekiko P puntuaren posizioa honela adieraz daiteke:

x=(a-b)·cosa +h·cos(b -a )
y=(a-b)·sina -h·sin(b -a )

edo bestela,

Espirografoaren kasuan gurpil bakoitzaren ertzak hagin-kopuru osoa izan behar du. Demagun gurpil finkoak m hagin dituela eta gurpil mugikorrak n hagin. Baina hagin guztiak neurri berekoak direnez, gurpil baten ertzeko hagin-kopurua bere erradioaren proportzionala da.

Esaterako, gurpil mugikorrak 48 hagin baditu, eta gurpil finkoak 144 hagin, orduan bien arteko erlazioa hau da: 144 / 48 = 3/1. Beraz, gurpil birakorrak bira bat osatzen duenean gurpil finkoaren inguruan, justu hiru bira eman ditu bere C zentroaren inguruan.

Kasu bereziak

Elipsea

Demagun a=2b. Esaterako gurpil finkoak 96 hagin ditu eta mugikorrak 48 hagin.

• P puntua ez badago justu gurpil mugikorraren ertzean orduan elipse bat lortzen da.
• P puntua justu gurpil mugikorraren ertzean badago, orduan zuzenki bat lortzen da.
• P puntua justu gurpil mugikorraren zentroan badago (C) orduan zirkulu bat lortzen da.

Bestelako kurba interesgarriak

1.  Hipozikloideak

• Demagun a=3b. Esaterako, gurpil finkoak 144 hagin, gurpil mugikorrak 48 hagin, eta P justu ertzean.
• Demagun a=4b. Esaterako, gurpil finkoak 96 hagin, gurpil mugikorrak 24 hagin, eta P justu ertzean.

2.  Epizikloideak

• Demagun a=b. Esaterako gurpil finkoak eta gurpil mugikorrak, biek, 96 hagin dituztenean, eta P puntua justu ertzean.

Saiakuntza

• Lehenik, bi gurpilen hagin-kopuruak aukera daitezke: Gurpil mugikorra eta gurpil finkoa. Izan ere, hagin-kopuruak gurpilen erradioen proportzionalak dira. Programa honetan gurpil finkoa beti da gurpil mugikorra baino handiagoa.
• Ondoren, P puntuaren posizioa aukeratzen da gurpil mugikorraren barruan, beraz, gutxieneko posizioa 0 da (zentroan bertan kokatzen bada) eta gehienez ertzean. Desplazamendu-barrak balio horien artean soilik uzten du.
• Badago kontrol bat gurpil mugikorrak finkoaren barrualdean errodatzeko eta beste bat kanpoaldean errodatzeko.

Hasi botoia sakatu.

Konbinazio ezberdinak oso ugariak dira, eta hainbat kurba irudika daitezke, baina kurba sinpleenak lortzen dira bi erradioen arteko erlazioa ahalik eta sinpleena denean.