Solido zurruna

Indarra diskoarekiko tangentea da

Erreferentzia

Demagun disko bat gainazal horizontal batean etzanda eta elkarren artean ez dagoela marruskadurarik. Aplika diezaiogun diskoari indar konstante bat, alegia modulua konstantea duena baina norabidea alda daitekeena, esaterako, kohete batek eragiten duen indarra konstantea da, erregaia erritmo konstanteaz xahutzen badu.

Diskoaren zentroaren higidura deskribatzeko Fresnel-en integralak erabili behar dira. Integral-mota hori, esaterako, argiaren difrakzioa deskribatzeko ere erabiltzen da, alegia argiak (edo bestelako uhinek) duen portaera aztertzeko, ertz zuzen batetik pasatzean edo zirrikitu estu batean zehar pasatzean.

Indarraren norabidea diskoaren zentrotik pasatzen da

Has gaitezen kasurik sinpleenetik. Diskoak biratu egiten du ω₀ abiadura angeluar konstanteaz eta indarra diskoaren zentrotik pasatzen da etengabe.

Hona hemen higiduraren ekuazioak:

Diskoaren errotazioa bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko

Indarra justu diskoaren zentrotik pasatzen denez, bere momentua nulua da, beraz, diskoaren abiadura angeluarra konstantea izango da.

θ=ω₀·t

Diskoaren zentroaren translazioa

Koheteak egiten duen indarra bi osagaietan adieraz daiteke:

F_x=F·sinθ
F_y= -F·cosθ

Beraz, kohetearen masa-zentroaren azelerazioa:

Esaterako, diskoa pausagunetik abiatzen bada, v_x=0, v_y=0, hona hemen diskoaren abiaduraren bi osagaiak denboraren menpe:

Diskoaren abiapuntuari, x=0, y=0 baderitzogu, eta berriz ere integratuz, diskoaren posizioa adieraz daiteke denboraren menpe:

Ibilbide hori "zikloide" ezaguna da, eta beste hainbat ariketatan ere lortu izan da:

• Gurpil baten ertzeko puntu batek deskribatzen duen ibilbidea, gurpilak irristatu gabe errodatzen duenean

• Partikula kargatu baten ibilbidea, aldi berean eremu elektriko bat eta eremu magnetiko bat jasaten dituenean, eta eremu biak elkarren perpendikularrak badira.

• Plataforma birakor baten gainean esfera batek errodatzen duenean, irristatu gabe.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Diskoaren abiadura angeluarra, desplazamendu barrari saguaz eragiten. Kasu honetan konstantea izango da.

• Indarra zati masa erlazioa programak finkotzat hartzen du: F/m= 2.5

Hasi botoia sakatu.

Indarra diskoarekiko tangentea da

Har dezagun angeluen jatorritzat (q=0) Y ardatzaren alde negatiboa, lehen bezala. Hasieran diskoa irudian bezala kokatzen badugu, orduan indarraren osagaiak, F_x eta F_y, positiboak izango dira une horretan, eta abiaduraren osagaiak, v_x eta v_y, uneoro positiboak izango dira.

Diskoaren errotazioa bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko

Koheteak egiten duen indarraren momentua, diskoaren zentroarekiko F·R da.

Beraz, diskoaren errotazioaren ekuazioa:

I da, diskoaren inertzia-momentu totala kohetea ere kontutan hartuta.

Ekuazio horren arabera, diskoaren  azelerazio angeluarra konstantea da (a=FR/I), eta beraz, diskoak biratutako angelua, denboraren menpe, honela  adieraz daiteke:

Suposatu dugu, diskoa pausagunetik abiatzen dela, alegia, t=0 aldiunean, dθ/dt=0.

Diskoaren zentroaren translazioa

Kohetearen indarra bi osagaietan adieraz daiteke:

F_x=F·cosθ
F_y=F·sinθ

Adieraz dezagun, grafiko batean F_y/F zatidura (sinq) baina denboraren menpe, eta har dezagun unitatetzat a=FR/I=1  Lehenik ikusten da, θ=0 eta θ₁=π angeluen artean, edo bestela esanda, t=0, eta denbora-tartean, indarraren Y osagaia, F_y, beti dela positiboa, eta beraz, diskoaren momentu linealaren aldakuntza norabide horretan, kurba horrek mugatzen duen azalera horia da, hortaz positiboa. Ondorengo tartean, θ₁=π eta θ₂=2π angeluen artean edota eta aldiuneen artean, indarraren Y osagaia, F_y, beti dela negatiboa eta beraz, indarraren inpultsua norabide horretan kurba horrek mugatutako azalera urdin argia da, hortaz negatiboa.

Lehen bira osoa kontutan hartuta (azalera horia gehi azalera urdin argia) azalera osoa positiboa ateratzen da. Horrek esan nahi du diskoaren abiaduraren Y osagaia, v_y, positiboa izan behar dela, eta berdin gertatzen da ondorengo bira guztietan. Azalera horiak beti dira ondorengo azalera urdin argiak baino handiagoak. Beraz, bira bakoitzean, v_y abiadura handituz joango da etengabe.

Argudio bera ere erabil daiteke v_x osagaiarentzat.

Esaterako, diskoa pausagunetik abiatzen bada: v_x=0, v_y=0.

Integral-mota hori Fresnel-en integrala da, sinu eta kosinuarentzat:

Eta ebazteko, aldagai-aldaketa egin behar da:

Diskoaren abiaduraren bi osagaiak, v_x eta v_y, bi integral berezi horien menpe adieraz daitezke, v_x osagaia C(t)-ren menpe eta v_y osagaia S(t)-ren menpe.

Adierazten bada grafiko batean, X ardatzean C(t) integralaren balioak eta Y ardatzean S(t) integralarenak t aldiune guztietarako, orduan espiral-mota berezi bat ateratzen da, izan ere, Cornu-ren espirala deritzona.

Izan ere, diskoaren abiaduraren osagaiak, v_x eta v_y, proportzionalak dira hurrenez hurren C(t) eta S(t) integralekin. Beraz, espiral horretako edozein puntu hartuta, edozein t aldiuneri dagokiona, puntu horren x eta y koordenatuak diskoaren abiaduraren osagaien proportzionalak dira. Posizio-bektorearen luzera abiaduraren moduluaren proportzionala da. Irudiak erakusten duenez, modulu horrek balio maximo bat atzematen du eta ondoren gutxitu eta handitu egiten da txandaka, baina limitean t→∞ doanean, C(t) →0.5 eta S(t) →0.5.

Beraz, limitean, t→∞ doanean diskoaren abiaduraren osagaiak honakoak dira:

Diskoaren posizioa kalkulatzeko abiadurak integratu behar dira denborarekiko, eta demagun diskoa t=0 aldiunean x=0, y=0 posiziotik abiatzen dela:

Zatika integra daiteke:

Eta era berean:

Beraz, diskoaren ibilbidea, amaieran, zuzena da eta 45º-ko angelua osatzen du X ardatzarekin, baina ez da koordenatuen jatorritik pasatzen.

 pero no pasa por el origen.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Koheteak diskoari egiten dion F Indarra, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Gainontzeko balioak, finkotzat hartu dira: I inertzia-momentua, m masa, eta R erradioa, denak unitateak hartu dira.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren ezkerreko aldean diskoa erakusten da, koheteak bultzatuta, eta jarraitzen duen ibilbidea.

Leihatilaren eskumako aldean berriz, Cornu-ren espirala erakusten da. Puntu urdin bat espiralaren gainetik mugitzen doa, eta puntutik jatorrira dagoen distantzia marra urdin batez adierazten da. Puntu horren posizioak diskoaren abiadura adierazten du: puntuaren posizioaren osagai horizontalak (x-k) diskoaren abiaduraren osagai horizontala (v_x) eta bertikalak (y-k) abiaduraren osagai bertikala (v_y). Beraz, puntu urdinaren posizio-bektorearen modulua diskoaren abiaduraren moduluaren proportzionala da.