Solido zurruna

Partikula astun bat eraztun birakor baten ertzean itsatsita, oszilazioak sortzen

Erreferentzia

Zikloidea oso kurba ezaguna da fisikan eta matematikan, hainbat arazo fisiko edo matematikotan agertzen delako:

• Gurpil baten ertzeko puntu batek deskribatzen duen ibilbidea, gurpilak irristatu gabe errodatzen duenean
• Txirrista batek izan behar duen forma, bertan irristatzen duen partikulak denbora minimoan jaitsi dezan (marruskadurarik gabe)
• Gurpil batek gainazal ahur batean errodatzen duenean, gurpilak Oszilazio Harmoniko Sinpleak deskribatzeko, bere masa-zentroak jarraitu behar duen ibilbidea.
• Partikula kargatu batek jarraitzen duen ibilbidea, aldi berean eremu elektriko bat eta magnetiko bat jasaten ari denean, eta bi eremuak elkarren perpendikularrak badira.

Gurpil baten ertzeko puntu baten ibilbidea, gurpilak irristatu gabe errodatzen duenean

Gurpil batek irristatu gabe errodatzen duenean, bere ertzeko edozein puntuk deskribatzen duen ibilbidea oso kurba ezaguna da, eta izan ere, "zikloide" deritzo (grezieraz zirkularra esan nahi du). Gurpilak bira oso bat burutzen duen bakoitzean puntuak zikloidearen arku oso bat osatzen du.

Gurpilaren ertzeko P puntuaren posizioa denboraren menpe kalkulatzeko ikus bedi ondoko irudia. Demagun hasieran (t=0 aldiunean), P puntu hori gurpilaren goreneko puntuan dagoela, orduan t aldiunean:

x=vmz·t+R·sinq y=R -R·cosq Hemen R, gurpilaren erradioa da eta q, gurpilak biratu duen angelua t denbora horretan, beraz q=w·t.

Gurpilak ez badu irristatzen, bere translazio-abiadura (v_mz) eta errotazio-abiadura (w) erlazionatuta daude: v_mz=w ·R.

Eta zikloidearen ekuazioa baina forma parametrikoan adierazita:

x=R(q +sinq )
y=R(1-cosq )

Partikula astun bat eraztun birakor baten ertzean itsatsita, oszilazioak sortzen

Demagun R erradiodun eraztun bat, masa gutxikoa, eta partikula bat, m masaduna, eraztunean itsatsita dagoela (irudian gorriz adierazi da). Eraztuna gainazal horizontalaren gainean mugi daiteke errodatuz eta irristatu gabe. Demagun hasierako posizioan:

• Partikularen posizioak α angelua osatzen duela norabide bertikalarekiko (ikusi irudia).

• Eraztunaren zentrotik koordenatuaren jatorrira dagoen distantzia horizontala Rα dela (justu oreka-posizioa koordenatuen jatorrian kokatzeko).

Gurpil hori mugitzen hasiko da, ezkerrerantz, partikularen pisuaren eraginez, alegia oreka-posiziorantz. Oreka-posizioa gainditu ondoren, higidura moteltzen joango da eta une batean guztiz geldituko da. Ondoren, itzuli eta berriz ere oreka-posiziorantz, higidura osoa behin eta berriz errepikatuz.

Partikularen posizioa kalkulatuko dugu t denboraren menpe, eta oszilazioen P periodoa kalkulatuko dugu.

Irristatu gabe errodatzeak esan nahi du eraztunak θ angelua biratzen duenean bere zentroa Rθ distantzia horizontala desplazatzen dela, ondoko irudiak erakusten duen bezala.

Partikularen posizioa honela adieraz daiteke:

x=Rθ-Rsinθ
y=R-Rcosθ

Partikularen posizioa denborarekiko deribatzen bada, partikularen abiadura lortzen da:

Energiaren kontserbazio-printzipioa

Partikularen energia zinetikoa honela adieraz daiteke:

Eta bere energia potentziala:

Bi energia-motak batuz energia totala lortzen da. Izan ere, partikula bere ibilbideko ertz batera iristen denean, gelditu egiten da eta une horretan bere energia potentziala energia totalaren berdina da, energia zinetikoa nulua delako: θ=α eta dθ/dt=0.

Higiduraren ekuazioa

Energiaren ekuazio horretan aldagaiak banandu daitezke, t eta θ, eta honela berridatz daiteke:

Minus zeinua ezarri zaio, θ angelua gutxitu egiten delako denborarekiko. Hasierako aldiunean, t=0, partikularen posizioa desplazamendu maximokoa da, θ=α, eta oreka-posiziorantz abiatzen da.

Ekuazio diferentzial hori integratzeko izendatzailea berridatzi behar da: sin²+cos²=1, erlazioa erabiliz:

Eta ondoren aldagaia aldatu:

Integral berri horretan, u₀=1 hasierako posizioari dagokio, alegia θ=α. Bestalde, Ö(g/R) pendulu sinple baten oszilazioen maiztasun angeluarra da, penduluaren luzera eta eraztunaren erradioa berdinak balira. Maiztasun hori Ω izendatu dugu.

Geratu den azken integrala berehalakoa da eta edozein taulatan aurki daiteke:

Gainera gure kasuan, 0≤θ/2≤α/2≤π/2,  beti betetzen da u≥1

Erro karratua desagerrarazteko, berretu dezagun ekuazio hori karratura, sinplifikatu eta bakan dezagun ondoren u.

Azkenik, desegin dezagun aldagai-aldaketa, eta higiduraren ekuazioa lortzen da:

Oszilazioen periodoa

Hasieratik eta oreka posizioa atzeman arte, θ=0, P periodoaren laurdena tardatzen da.

1=cos(α/2)cosh(ΩP/8),

Eta ekuazio horretatik ateratzen da P periodoa, baina honako erlazioa erabili behar da: cosh²-sinh²=1

Emaitza horretan ikusten denez, P periodoa oszilazioen α anplitudearen menpekoa da. Izan ere, periodoak zerorantz jotzen du α txikia denean, eta infiniturantz jotzen du α-k 180º-rantz jotzen duenean (oreka ezegonkorreko posizioa). Pendulu sinplean, orokorrean, periodoa anplitudearen menpekoa ere ba da, baina oszilazioak txikiak direnean periodoa anplitudearen independentea da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Hasierako angelua, α, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Eraztunaren erradioa finkotzat hartu da, R=1 m

Hasi botoia sakatu.

Gurpila mugitzen hasten da (irristatu gabe errodatuz) eta oszilazioak burutzen ditu oreka-posizioaren inguruan. Beha daiteke partikula itsatsiaren ibilbidea zikloidea dela, bere P periodoa neur daiteke eta kalkulatuarekin konparatu.