Solido zurruna

Esferaren masa-zentroaren ibilbidea

Kasu bereziak

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan aztertzen da, esfera bat nola mugitzen den plataforma birakor baten gainean, adibidez tokadisko baten gainean. Esferak errodatu egiten du irristatu barik eta plataforma ez da horizontala, a angelua dago inklinatuta. Badago beste ariketa bat elektromagnetismoan, kasu honekin erlazio handia duena: partikula kargatu baten higidura orokorra aldi berean bi eremu jasaten ari denean, E eremu elektrikoa eta B eremu magnetikoa, biak uniformeak eta elkarren perpendikularrak.

Plataforma horizontala bada, esferak orbita zirkularra deskribatzen du, eta bere abiadura angeluarra ateratzen da, plataformarena bider bi zazpiren. Plataforma inklinatzen bada, orduan bi higidura-mota gehitzen dira: batetik higidura zirkularra eta bestetik higidura zuzena eta abiadura konstanteaz (baina ez maldaren norabide berean). Abiadura konstante horri deriba-abiadura deritzo.

Esferaren higidura-ekuazioak

Esferaren higidura deskribatzeko, koka dezagun erreferentzia-sistema inertzial bat (finkoa): Y ardatza plataforma inklinatuaren gainean, alegia α angelua inklinatuta, eta X ardatza berarekiko perpendikular eta horizontala. Beraz, Z ardatza plataformarekiko perpendikular geratzen da, alegia bertikalarekiko inklinatuta α angelua, irudian erakusten den bezala. Plataforma horrek Z ardatzaren inguruan biratzen du.

Esferaren hasierako posizioa x₀, y₀ da, plataformaren gainean, eta hasierako abiadura V₀ irudiak erakusten duen bezala. Abiadura-bektore horrek plataformaren norabidea du, beraz bere osagaiak hauek dira: V_0x=V₀·cosφ, V_0y=V₀·sinφ, eta plataformaren gainean errodatu egiten du irristatu barik.

Esfera plataforman zehar mugitzen denean X eta Y osagaiak aztertuko ditugu:

• X ardatzaren norabidean, esferaren masa-zentroaren abiadurari V_x deituko diogu eta abiadura angeluarraren osagaiari ω_x.

• Y ardatzaren norabidean, esferaren masa-zentroaren abiadurari V_y deituko diogu eta abiadura angeluarraren osagaiari ω_y.

Adieraz ditzagun P kontaktu-puntuaren abiaduraren osagaiak, esferaren masa-zentroaren abiaduraren menpe eta errotazio-abiaduraren menpe:

v_x=V_x -ω_y·R
v_y=V_y+ω_x·R

Eta P puntua plataformaren zentrotik r distantziara badago, eta plataforma W abiadura angeluarraz biratzen ari bada, orduan P puntuaren abiaduraren osagaiak honakoak izan behar dira (esferak irristatzen ez badu):

v_x= -W·r·sinθ= -W·y
v_y= W·r·cosθ= W·x

Adierazpen horiek berdinak izan behar dira, beraz erlazio hauek bete behar dira:

-W·y=V_x-ω_y·R
W·x=V_y+ω_x·R      (1)

Bestalde, esferak jasaten dituen indarrak hiru dira:

• Pisua, mg

• Plataformaren erreakzio normala, N

• Kontaktu-puntuan jasaten duen marruskadura-indarra, F (norabidea eta modulua ezezagunak dira).

Irudiak erakusten du marruskadura-indarraren F_x osagaiak m.z-ren translazioaren aurka eragiten duela, baina errotazioaren alde.

Aldiz, F_y osagaiak m.z-ren translazioaren aurka eragiten du eta baita errotazioaren aurka. Azkenik, pisuaren osagaiak (mg·sinα) m.z-ren translazioaren aurka eragiten du, baina errotazioari ez dio eragiten.

Masa-zentroaren translazioaren ekuazioak honela idazten dira:

mg·cosa = N

Eta errotazioaren ekuazioak:

Esfera baten inertzia-momentua bere zentrotik pasatzen den ardatz batekiko, I_mz=2mR²/5

Lau ekuazio horietan elimina daitezke F_x eta F_y , marruskadura-indarraren osagaiak, eta honela berridazten dira:

Bestalde, deriba ditzagun denborarekiko (1) ekuazioak:

Ondoren, azken lau ekuazio horietan abiadura angeluarraren osagaien bi deribatuak elimina daitezke: dω_x/dt eta dω_y/dt, eta bi ekuazio lortzen dira, izan ere, esferaren masa-zentroaren higidura-ekuazioak:

Esferaren m.z-ren ibilbidea

Aurreko atalean lortu diren bi ekuazio diferentzialak ebatzi behar dira, alegia, higidura-ekuazioak, baina akoplatuta daude. Desakoplatzeko, esaterako, lehen ekuaziotik bakan dezagun V_y eta ordezka dezagun bigarren ekuazioan:

Ekuazio diferentzial hori bigarren ordenakoa da (H.H.S baten antzekoa) eta bere soluzioa, orokorrean, honela adieraz daiteke:

V_x=Acos(k·t)+B·sin(k·t)+c

eta hor, k=2W/7

Soluzio hori berriz ere ekuazio diferentzialean ordezkatzen bada, ekuazio diferentzialaren soluzio partikularra lor daiteke, alegia c:

Eta dagoeneko V_x ezagutzen dugunez, masa-zentroaren higidura-ekuazioetatik V_y kalkula daiteke:

A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkula daitezke, t=0 aldiunean esferaren masa-zentroaren abiaduraren osagaiak ezagunak direlako: (V_0x, V_0y). Hortaz,

Ekuazio "luze" horiek laburrago berridatz daitezke aldagai berri bi definituz (geroago ikusiko dugu aldagai berri horien esangura fisikoa):

V_x=(V_0x-V_d)·cos(ω_ct)-V_0y·sin(ω_c·t)+V_d
V_y=(V_0x-V_d)·sin(ω_ct)+V_0y·cos(ω_c·t)

Abiaduren bi adierazpen horiek denborarekiko integra daitezke (gainera, ezagutzen da esferaren masa-zentroaren posizioa t=0 aldiunean: x₀, y₀). Beraz, integratu ondoren, masa-zentroaren posizioa lortzen da denboraren menpe (x eta y):

Ekuazio horiek beste modu batean berridatz daitezke:

Eta karratura berretuz eta batura eginez, sinuak eta kosinuak desagertzen dira:

Ekuazio hori zirkunferentzia bat da, R_c erradioa du eta zentroa (a, b) puntuan du:

(x-a)²+(y-b)²=R_c²

eta konstanteak honela bilduta daude:

Izan ere, a ez da konstantea t denboraren menpekotasuna duelako, baina b eta R_c erabat konstanteak dira.

Beraz, zirkunferentzia horren zentroa desplazatzen ari da X ardatzaren norabidean (eta ez plataforma inklinatuaren maldan behera). Zirkunferentziaren zentroaren abiadura V_d da, eta deriba-abiadura deritzo. Horra hor, V_d aldagaiaren esangura fisikoa.

Adibidea

Goiko irudiari dagokio honako datu-multzoa:

• Esferaren hasierako posizioa: y₀=0, x₀= -0.4

• Esferaren hasierako abiadura: V₀=0.2, φ=90º edo bestela esanda, V_x0=0, V_y0=0.2

• Plataforma birakorraren abiadura angeluarra: W=2 rad/s

• Plataformaren inklinazio-angelua: α=0.2 rad

Kasu bereziak

Plataforma horizontala denean, a=0

Plataforma horizontala bada: α=0, eta V_d=0

Orduan zirkunferentziaren zentroa finkoa da:

Esferak zirkunferentzia bat deskribatzen du, baina zirkunferentzia horren zentroa ez da plataformaren zentroa. Kalkula daiteke zenbat denbora behar duen esferak bira oso bat burutzeko: T=2pR_c/V_o

t_e=(7/2)·t_p

Izan ere, esferak bira bat osatzeko behar duen denbora da, plataformak behar duen denbora bider 7/2. Beraz, horixe da ω_c aldagaiaren esangura fisikoa: esferak plataformaren gainean burutzen duen orbitaren frekuentzia angeluarra. Esferak irristatu barik errodatzen duenez w abiadura angeluarraz errodatzen du baina ez dira nahastu behar w hori eta orbitaren ω_c .

Adibidea:

Goiko irudiari dagokio honako datu-multzoa:

• Plataformaren inklinazio-angelua: α=0

• Esferaren hasierako posizioa: y₀=0, x₀= 0.8

• Esferaren hasierako abiadura: V₀=0.2, φ=90º edo bestela esanda, V_x0=0, V_y0=0.2

• Plataforma birakorraren abiadura angeluarra: W=2 rad/s

Esfera pausagunetik abiatzen bada

V_0x=V_0y=0 eta gainera, koordenatuen jatorritik abiatzen bada: x₀=0, y₀=0

Ekuazio horiek zikloide bat deskribatzen dute:

Adibidea:

Goiko irudiari dagokio honako datu-multzoa:

• Esferaren hasierako abiadura: V₀=0, φ=0º edo bestela esanda, V_x0=0, V_y0=0

• Esferaren hasierako posizioa: y₀=0, x₀= -0.8

• Plataforma birakorraren abiadura angeluarra: W=2 rad/s

• Plataformaren inklinazio-angelua: α=0.2

Higidura zuzena

Esaterako, V_0y=0, eta V_0x=V_d. Orduan:

x=x₀+V_d·t
y=y₀

Esfera horizontalki mugitzen da, X ardatzaren norabidean eta abiadura konstanteaz (eta ez plataforma inklinatuaren maldaren norabidean).

Adibidea:

Goiko irudiari dagokio honako datu-multzoa:

• Esferaren hasierako posizioa: y₀=0, x₀= -0.8

• Plataformaren inklinazio-angelua: α=0.2

• Plataforma birakorraren abiadura angeluarra: W=2 rad/s

• Esferaren hasierako abiadura: V₀=5g·sinα/(2W), φ=0º edo bestela esanda, V_x0=0.043, V_y0=0.0

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Esferaren hasierako posizioa, x₀, dagokion desplazamendu-barrari saguaz eragiten. Finkotzat hartu da y₀=0.

• Plataformaren abiadura angeluarra, W , dagokion kontrolean idatziz.

• Esferaren hasierako abiadura, V₀, dagokion kontrolean idatziz.

• Hasierako abiaduraren angelua, φ , desplazamendu-barrari saguaz eragiten. Azken datu bi horietatik abiaduraren osagaiak kalkula daitezke: V_0x=V₀·cosφ, V_0y=V₀·sinφ.

• Plataformaren malda, α , edo inklinazioa. Desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Plataforma ikusten da (agindutako abiadura angeluarraz biratzen eta angeluaz inklinatua) eta bere gainean esferak (zirkulu gorriak) ibilbide kurboa deskribatzen du. Esferaren ibilbidearen kurbadura-zentroa puntu urdin batez adierazten da, eta X ardatzaren norabidean mugitzen da V_d abiadura konstanteaz. Programak uneoro idatziz erakusten ditu, leihatilaren goiko eta ezkerreko erpinean: denbora eta esferaren masa-zentroaren abiaduraren osagaiak (V_x, V_y). Eta leihatilaren ezkerreko eta beheko erpinean: esferaren masa-zentroaren posizioa (x,y), eta kurbadura-zentroaren posizioa (a,b) eta kurbadura erradioa (R_c). Erradioa konstantea da eta kurbadura-zentroaren posizio bertikala ere bai (b), soilik aldatzen da posizio horizontala (a).