Solido zurruna

M.Z-ren translazio-abiaduraren eta errotazio-abiadura angeluarraren arteko erlazioa

Errotazioaren energia zinetikoa eta translazioaren energia zinetikoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Orain arteko kapituluetan gurpil zirkularrak aztertu ditugu, eraztuna, diskoa edo esfera, baina honako kapitulu honetan gurpil karratua aztertuko dugu. Gurpil karratuak errodatu egingo du irristatu gabe, baina bidea ez da horizontala izango. Kalkulatuko dugu zein forma izan behar duen bideak, gurpilaren zentroak ibilbide zuzena eta horizontala jarrai dezan: emaitza ez da harritzekoa: katenaria-segida bat.

Katenariaren ekuazioa

Gurpil karratuaren zentroa zuzen eta horizontalki desplazatzea nahi dugu. Dei diezaiogun gurpil karratuaren aldeari 2a eta gurpilak gainazala ukitzen duen puntuari C deituko diogu, ondoko irudiak erakusten duen bezala. Gurpilaren masa-zentroa uneoro C puntuaren bertikal berean egon behar du, desplazamendu bertikalik izan ez dezan.

Azter dezagun ABE hiruki isoszelea, izan ere, karratuaren oktante bat da. Irudiak erakusten duen bezala: AE=a, eta AB=. Hasierako posizioan, B erpina koordenatuen jatorrian dago, bidea ukitzen, eta gurpilak irristatu gabe errodatzerakoan, BC luzera zuzena eta OC arkuaren luzera berdinak izan behar dira. Bestalde, gurpila mugitu ahala, A puntuaren altuera konstantea izatea nahi baldin badugu, C puntuak nahitaez baldintza hau bete behar du : AC+CD=AB.

C puntuaren altuerari dei diezaiogun y , eta dei diezaiogun α, BE aldeak horizontalarekiko osatzen duen angeluari. Orduan, AC+CD=AB erlazioa beste honela ere idatz daiteke:

Deribatuaren interpretazio geometrikoa gogoan hartuz, izan ere, α angeluaren tangentea da:

Bestalde, bada erlazio trigonometriko ezagun bat, orain ondo datorkiguna kosinua eta tangentea erlazionatzeko: 1+tan²α=sec²α,

Ordezkatzen bada, honako ekuazio diferentziala lortzen da:

Aldagaia aldatzen badugu:

Ekuazio diferentziala aldatzen da, eta berehala integra daiteke:

Hasierako baldintzak ezartzen du kurba horrek koordenatuen jatorritik pasatu behar duela: x=0, y=0 , eta hortik ateratzen da integrazioaren k konstantea:

edo bestela idatzita:

Aldagai-aldaketa deseginez honako ekuazioa lortzen da:

Izan ere ekuazio hori katenaria bat da, forma esplizituan idatzita.

Beraz, gurpil karratuak errodatu ahala, hasierako posiziotik 45º biratu ondoren, horizontal kokatzen da, eta beste 45º gehiago biratu ondoren, justu hurrengo erpinak ukitzen du bidea, alegia, hasierako posizioaren analogoa atzematen du. Biratutako 90º horietan gertatu den desplazamendu horizontala kalkulatzen da, katenariaren ekuazioan y=0 ordezkatuz. Desplazamendua d=2ka ateratzen da.

Katenariaren maximoaren posizioa ere kalkula daiteke x=ka ordezkatuz, eta maximoaren altuera ateratzen da:

M.Z-ren translazio-abiaduraren eta errotazio-abiadura angeluarraren arteko erlazioa

Gurpil zirkularretan zentrotik kontaktu-puntura dagoen distantzia konstante mantentzen da (r), eta horregatik betetzen da: v=ω·r . Baina gurpil karratuan zentroaren eta kontaktu-puntuaren arteko distantzia ez da konstantea. Beste erlazio bat bilatu behar dugu:

Abiadura angeluarrerako (ω), har dezagun noranzko positibotzat erlojuaren orratzena, alegia α angelua gutxitzen doala denboran zehar.

• Hasieran, gurpilaren erpinak bidea ukitzen duenean: x=0 eta α=+π/4

• Erdian, gurpilak katenariaren maximoan ukitzen duenean: x=ka eta α=0

• Eta hurrengo erpinak katenaria ukitzen duenean: x=2ka eta α=-π/4

Idatz dezagun katearen erregela:

Eta ordezkatzen badugu α angeluaren tangentea, kurbaren deribatua dela x posizioan:

Katenariaren ekuazio esplizituan y deribatzen badugu x-rekiko:

Eta tanα ere deribatzen badugu  x-rekiko:

Lehengo aldagai-aldaketa gogoratuz:

Honako ekuazioa geratzen da:

Eta azkenik:

Hauxe da bi abiaduren arteko erlazioa: v translaziozkoa eta ω errotaziozkoa.

Errotazioaren energia zinetikoa eta translazioaren energia zinetikoa

Gurpilak bi energia zinetiko-mota ditu:

• Bere masa-zentroaren translazioarena.
• Gurpilaren errotazioarena zentrotik pasatzen den ardatzarekiko.

Lehen lehenik, kalkula dezagun gurpil karratuaren inertzia-momentua bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko: M masa badu eta 2a aldea:

Has gaitezen karratua zatitzen. Egin ditzagun hagatxo-formako zatiak, 2a luzera, dx lodieradunak eta dm masadunak, ezkerreko irudiak erakusten duen hagatxo gorria bezalakoak. Hagatxo baten inertzia-momentua, justu bere zentrotik pasatzen den ardatz batekiko hau da:

Baina errotazio-ardatza ez da hagatxoaren zentrotik pasatzen, x distantziara baizik. Steiner-en teorema aplikatuz kalkula daiteke hagatxoak ardatz horrekiko duen inertzia momentua:

Hagatxoaren masa, dm, honela berridatz daiteke:

Eta integratzen bada x-rekiko, –a eta +a bitartean, karratu osoaren inertzia-momentua lortzen da, bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

Beraz, gurpil karratuaren energia zinetikoa honela idatz daiteke, bi atalak kontutan izanda, errotazioa eta translazioa:

Ez bada energiarik galtzen, besteak beste marruskaduraren eraginez, orduan energia zinetiko hori konstante mantenduko da. Baina masa zentroaren v abiadura ez da konstante mantenduko.

Esfera batean, errotaziozko energia zinetikoaren eta translaziozko energia zinetikoaren arteko erlazioa konstante mantentzen da, gainazal horizontal batean errodatzen ari denean, translazio-abiaduraren eta errotazio-abiaduraren arteko erlazioa konstantea delako: v= ω·R

Baina gurpil karratu batean berriz, erlazio hori ez da konstantea.

Eta gurpilak errodatzen duen heinean, α angelua aldatuz doanez –π/4 eta +π/4 bitartean, orduan energia zinetikoen erlazio hori ere aldatuz doa 1/3-tik (α =π/4 edo α =-π/4 denean) eta 2/3 bitartean (α=0). Erlazio hori beti da "bat" baino txikiagoa, horrek esan nahi du, errotaziozko energia zinetikoa beti dela translaziozkoa baino txikiagoa.

• Erdiko posizioan (katenariaren maximoan), α=0, errotaziozko energia zinetikoa maximoa da eta translaziozkoa minimoa.

• Bi muturretan, α =π/4 edo α =-π/4 , errotaziozko energia zinetikoa minimoa da eta translaziozkoa maximoa.

Energia zinetiko totala unitatetzat hartzen badugu:

• Mutur batean, errotaziozko energia zinetikoa energia zinetiko totalaren 1/4 da, eta translaziozkoa 3/4.

• Erdiko posizioan (katenariaren maximoan) translaziozko energia zinetikoa energia zinetiko totalaren 3/5 da, eta errotaziozkoa 2/5.

Translaziozko energia zinetikoa aldatuz doa energia totalaren 3/5-etik (balio minimoa), 3/4-era (balio maximoa).

Higiduraren ekuazioa

Energia zinetiko totala ezagututa, E_k, karratuaren zentroaren v translazio-abiadura bakan daiteke:

Eta abiadura-mota bien arteko erlazioa ordezkatuz (v translazio / ω=-dα/dt errotazio), alegia, ωa=v·cosα, erlazioa ordezkatuz, honako ekuazio diferentziala lortzen da:

Ekuazio hori prozedura numerikoez ebazten da, hasierako baldintzak ezarrita: t=0, x=0, α=π/4.

Lehenik, zikloidearen maldaren tangentea kalkulatu behar da (tgα) denboraren menpe (ikusi kapitulu honetako bigarren irudia). Ondoren, y koordenatua kalkula daiteke lehen lortutako erlazioaz.

Ekuazio horrekin eta katenariaren ekuazio esplizituarekin:

honako ekuazioa lortzen da x eta α-ren menpe:

Izan ere, ekuazio hori transzendentea da, eta prozedura numerikoez ebatzi behar da x kalkulatzeko, Java lengoaiak ez daukalako cosh funtziorik ezta bere alderantzizkoa cosh^-1 (kosinu hiperbolikoa).

Saiakuntza

• Karratuaren aldea finkotzat hartu da: a=1 (aldea 2a).
• Gurpilaren energia zinetiko totala, E_k , konstantea da eta hori ere finkotzat hartu da:

Hasi botoia sakatu.

Gurpil karratua ikusten da errodatzen irristatu barik. Bidea katenariez osatuta dago, eta puntu gorri batek gurpilaren eta bidearen arteko kontaktu-puntua adierazten du uneoro.

Xehetasunez beha daiteke karratuaren zentroa beti altuera berean dagoela, eta kontaktu-puntua beti dagoela karratuaren zentroaren bertikal berean.

Leihatilaren eskumako aldean, programak idatziz erakusten ditu uneoro gurpil karratuaren, x posizioa, v translazio-abiadura eta w errotaziozkoa, eta bertan egiazta daiteke ez direla konstanteak eta baita nola aldatzen diren gurpilak errodatzen duen heinean. Tarta-itxurako diagrama batek erakusten du, energia zinetiko-mota biak nola banatzen diren denboraren menpe, baina bien batura konstante mantentzen da.