Solido zurruna

Gurpila oszilatzen

Erreferentzia

Kapitulu honetan berriz ere gurpil bat ikertzen da F indar baten eraginpean. Aurretik aztertu diren kapituluetan F indarra planoarekiko paraleloa zen baina honako kapitulu honetan ez, orain q angelua osatzen du horizontalarekiko.

Solido zurrunen mekanika argitu nahian, ikasgelan, ikasleen aurrean, erakustaldi txiki bat egin daiteke: gurpil batean hari bat harilkatzen dugu eta F indarraz tiratzen diogu, irudiak erakusten duen norabidean. Ikasleei galdera: Norantz mugituko da gurpila? Eskumarantz ala ezkerrerantz? Kontutan izan marruskadura-indarra ere badagoela.

Gurpilak jasaten duen indarra

Ebatz dezagun arazoa orokorrean, alegia F indarra aplikatzen diogu gurpilari baina q  angelua osatzen horizontalarekiko, irudiak erakusten duen bezala. F indarrak osagai horizontal bat du: F·cosq .

Idatz ditzagun higiduraren ekuazioak: Masa-zentroaren translazioa: F·cosq -Fr=m·amz Gurpilaren errotazioa masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko: -F·r+Fr·R=Imz·a Gainera, gurpilak ez badu irristatzen amz=a ·R

Bi ekuazio horiek ebatziz, bi ezezagunak kalkulatzen dira: a_mz eta F_r.

Masa-zentroaren azelerazioaren adierazpena aztertuz ikusten da parentesiaren zeinuaren arabera positiboa, negatiboa edo nulua izan daitekeela.

Bestalde, marruskadura-indarra, F_r :

F_r=Fcosθ-m·a_mz

Adierazpen hori aztertuz, ikusten da badagoela q _r angelu bat F_r marruskadura-indarra nulu bilakatzen duena:

Marruskadura-indarraren portaera geroago ikusiko dugu, azter dezagun orain masa-zentroaren translazioa.

Masa-zentroaren azelerazioaren (a_mz-ren) zeinuaren arabera hiru kasu ezberdin gerta daitezke:

Oreka Honako baldintza betetzen denean, cosq =r/R, masa-zentroaren azelerazioa nulua da. Irudian ikusten denez, baldintza hori betetzen denean F indarraren norabidea justu P puntutik pasatzen da, gurpilaren eta plano horizontalaren kontaktu-puntutik. Beraz, F indarraren momentua P-rekiko nulua da eta ez dago errotaziorik P puntuaren inguruan. Angelu horri angelu kritiko deritzo: qc eta cosqc=r/R.

• Gurpila eskumarantz desplazatzen da

Baldin cosq >r/R, edota q <q_c, orduan gurpilaren masa-zentroaren azelerazioa positiboa da (a_mz>0) eta beraz, gurpila eskumarantz mugitzen da.

• Ezkerrerantz desplazatzen da.

Baldin cosq <r/R, edota q >q_c, orduan gurpilaren masa-zentroaren azelerazioa negatiboa da (a_mz<0) eta beraz, gurpila ezkerrerantz mugitzen da.

Irristatu gabe errodatzea

Gurpilak, gainera, irrist egin dezake. Azter dezagun zein baldintza bete behar den irristatzen hasteko. Horretarako ikus dezagun zenbat balio duen marruskadura-indarrak. Marruskadura-indarrak izan dezakeen baliorik handiena hau da: F_r=μ·N= μ(mg-F·sinθ)

Ezagutzen bada Fr marruskadura-indarra, kalkula daiteke zein F indar aplika daitekeen gehienez: μ(mg-F·sinθ)=F·cosθ -mamz

Ordezkatzen badugu a_mz , lehen lortutako balioaz eta F bakanduz:

Adierazpen horretan ikusten da θ=θ_r angeluaz tiratuz gero, aplika daitekeen F indar maximoa hau dela: F=mg/sinθ,  eta kasu horretan plano horizontalaren N erreakzio normala nulu bilakatzen da, alegia gurpila altxatu egiten da.

Gurpilaren inertzia-momentua

Gurpilaren inertzia-momentua kalkulatzeko bere zati guztien inertzia momentuak gehitu behar dira. Demagun zilindro soila dela, alegia m masa eta R erradioa dituela, eta haria harilkatzeko koskaren masak ez duela garrantzia nahikorik. Orduan I_mz=mR²/2. Beraz, k=3/2. Orduan:

Marruskadura-indarra nulu bilakatzen da honako q _r angeluaz:

Laburbilduz, zilindroaren azelerazioa, a_mz positiboa izan daiteke (q <q_c bada) edo negatiboa (q >q_c bada). Bestalde, zilindroak irristatu gabe errodatzen du F indarrak ez badu balio maximo bat gainditzen, eta gainditzen badu irristatuko du. Balio maximo hori angeluaren eta marruskadura-koefizientearen menpe aldatzen da.

• Baldin q =q_c orduan zilindroak irristatu egiten du edozein marruskadura-koefizienterekin.
• Eta q =q_r bada, zilindroak errodatu egiten du irristatu gabe, nahiz eta marruskadura-koefizientea nulua izan.

Adibidea:

Esaterako r/R=0.5, orduan angelu kritikoa q_c=60º, hortaz:

1.  Baldin q =60º gurpila ez da mugitzen.
2.  Baldin q <60º gurpila eskumarantz desplazatzen da. Esaterako q =30º bada,

• a_mz=3.66 m/s²
• F_r=6.83 N ezkerrerantz.

3.  Baldin q >60º gurpila ezkerrerantz desplazatzen da. Esaterako q =70º bada,

• a_mz= -1.58 m/s²
• F_r=6.71 N ezkerrerantz.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Aplikatutako F indarra, dagokion kontrolean idatziz.
• Indarraren q  angelua, alegia indarrak horizontalarekiko osatzen duena, desplazamendu barrari saguaz eragiten (0º eta 180º artean)
• r/R erradioen erlazioa, alegia harilaren eta zilindroaren erradioen artekoa, dagokion kontrolean idatziz.
• Gurpilaren masa finkotzat hartzen da: m=1 kg

Hasi botoia sakatu.

Honako applet-ean zilindro-formako gurpilak soilik aztertzen dira, eta irristatzerik gabeko kasuak. Horretarako suposatzen da aplikatzen den F indarra beti dela indar maximoa baino txikiagoa.

Gurpila oszilatzen

Gurpila oszilatzen jar dezakegu, lortzen badugu F indarrak osatzen duen q angelua aldakorra izatea eta:

• q >q _c gurpila ezkerrerantz desplazatzeko.
• q <q _c gurpila eskumarantz desplazatzeko.
• q =q _c  gurpila oreka-posizioan.

Ondoko irudian erakusten da F indar bat, q  angelua aldatzen doana, gurpila desplazatzen den heinean, baina bere modulua ez da konstantea.

Hariaren tentsioa hau da: F=Mg-Ma. Beraz, F indarraren modulua ez da konstantea, M masadun blokearen azelerazioaren menpekoa delako, eta beraz, aldi berean gurpilaren azelerazioaren menpekoa. Erreferentzian aipatutako artikuluan hurbilketa bat egiten da: F indarraren modulua konstantetzat hartzen da eta puntu finko baterantz apuntatzen duela suposatzen da.

Gurpilaren posizioa

Irudiaren eskumako aldean erakusten da gurpilaren hasierako posizioa:

• x₀ , gurpilaren zentroaren posizioa.

• θ₀ , hariak osatzen duen angelua horizontalarekiko.

• l₀ , hariaren luzera polearaino.

Irudiaren ezkerreko aldean erakusten da gurpilaren posizioa t aldiune batean:

• x , gurpilaren zentroaren posizioa.

• θ , hariak osatzen duen angelua horizontalarekiko.

• d , haria aplikatzen den punturainoko distantzia.

x= -r·sinθ-d

Eliminatzen badugu d aldagaia:

Gurpilaren energia zinetikoa

Kalkulatzen bada dx desplazamendu infinitesimala dq angeluaren aldakuntzarekiko (deribatu) honako adierazpena lortzen da:

Eta aplika dezagun lana-energiaren teorema: Partikula bati eragiten dion indar erresultantearen lanak partikula horren energia zinetikoa aldatzen du, alegia, lan erresultantea eta energia zinetikoaren aldakuntza berdinak dira.

Gurpila zilindrikoa bada, x₀ posiziotik abiatzen bada eta pausagunetik, orduan bere energia zinetikoa x posizioan honela kalkula daiteke:

Beraz, gurpilaren E_k energia zinetikoa x posizioan, funtzio baten aldaketa gisa adieraz daiteke. Funtzio hori,  f(θ) , hariaren θ angeluaren menpekoa da soilik.

Grafikoki adierazita:

Energia zinetikoa nulua da hasierako posizioan (θ₀), ondoren handituz doa maximo bat atzematen duen arte, eta ondoren gutxituz doa berriz ere nulu izatera iristen den arte. Angelu hori kalkulatzeko (θ₁) ekuazio transzendente bat ebatzi behar da:

f(θ)- f(θ₀)=0

Energia zinetikoaren maximoa kalkulatzeko, f(θ) deribatu behar da, alegia integrakizuna nulua denean, edo gurpilaren azelerazioa nulua denean (a_mz=0). Baldintza hori gertatzen da justu q_c angeluan, alegia lehen aipatutako angelu kritikoan eta cosq_c=r/R.

Goiko grafikoa irudikatzeko hartu dira: r=1.0 eta R=2.0. Gurpilaren hasierako posizioa: θ₀=45º . Abiadura maximoa atzematen du angelu kritikora iristen denean, hau da q_c=60º  eta ondoren abiadura motelduz doa guztiz gelditzen den arte: θ₁ =78º. Posizio horretan oszilazio erdia burutu du. Hariaren hasierako luzera ezaguna bada (l₀) kalkula daitezke gurpilaren zentroaren posizioak (x) abiadura maximoa edo nulua denean. Kalkulu honetan suposatu da gurpilak ez duela irristatzen eta energia totala kontserbatzen dela.

Higiduraren ekuazioa

Higiduraren ekuazioa honela adieraz daiteke:

Hortik bakantzen bada dθ/dt , ekuazio diferentzial bat lortzen da, lehen ordenakoa eta prozedura numerikoez ebatz daitekeena. Hori bai, hasierako baldintzak ezarri behar dira: t=0, θ=θ₀

Hariak horizontalarekiko osatzen duen θ angelua ezaguna bada, orduan gurpilaren zentroaren x posizioa ere kalkula daiteke. Izan ere, oszilazio-mota hau ez da Higidura Harmoniko Sinplea.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Poleatik eskegitzen den blokearen pisua, Mg , dagokion kontrolean idatziz. Hariaren F tentsioa konstantetzat hartzen da eta pisu horren berdina.
• Hariaren hasierako angelua, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Gurpilaren masa finkotzat hartu da: m=1,
• Gurpilaren barne-erradioa ere finkotzat hartu da, r=1 eta kanpo-erradioa ere bai: R=2.0. Beraz, bien arteko erlazioa konstantea da eta r/R=0.5. Angelu kritikoa beti da berdina: q_c=60º.
• Hariaren hasierako luzera ere finkotzat hartu da: l₀=20

Hasi botoia sakatu.

Gurpila mugitzen hasten da. Aldi berean, leihatilaren ezker aldean, energia zinetikoaren grafikoa erakusten da, (q₀, q₁) tartean, edota x₀ eta x₁ tartean, izan ere, gurpilaren higidura-mugen artean. Gurpila pausagunetik abiatzen da q₀ posiziotik, eta abiadura handituz doa maximora iristen den arte, justu angelu kritikoan, q_c=60º. Ondoren abiadura gutxituz doa nulu izatera iristen den arte, q₁ posizioan. Ondoren gurpila aurkako noranzkoan mugitzen hasten da eta hasierako posiziora iristen da. Ziklo bera behin eta berriz errepikatzen du.

Grafika botoia sakatuz q angelua adierazten da denboraren menpe. Bertan ikus daiteke higidura oszilakor hori ez dela zehazki higidura harmoniko sinplea.