Kutxa bat malda inklinatuan

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Solido zurruna

Solido zurrunaren
higidura orokorra
Esfera bat 
plataforma birakor 
baten gainean
marca.gif (847 bytes)Kutxa bat malda
inklinatuan
Gurpil oszilatzailea
Disko bat etzanda
biratuz eta irristatuz
Disko bat indar
konstante baten
eraginpean
Partikula astun bat
eraztun birakor
baten ertzean
Gurpil bat
gainazal ahur
batean oszilatzen
Kurba zikloidalak
Gurpil karratua
  Higiduraren ekuazioak

Espazio berri bat: (tgq , m). Lau eskualdeak

java.gif (886 bytes) Saiakuntza

Erreferentzia

 

Bi gainazal solido elkarrekin kontaktuan daudenean eta irristatzen dutenean marruskadura-indarrak agertzen dira. Hala ere, marruskadura-indarrak baditu hainbat ezaugarri berezi:

Esaterako, esfera bat fluido baten barruan mugitzen denean, esferak marruskadura-indarra jasaten du fluidoaren biskositatearen arabera eta Reynlds-en zenbakiaren arabera.

Beste kapitulu batean ikertzen da "irristatzearen aurkako marruskadura-indarra" gorputz bat geldi dagoenean plano horizontal batean:

  • Marruskadura-indar estatikoak (Fr) ez badu balio maximo bat gainditzen (msN) orduan gorputz horrek geldi jarraitzen du gainazalean etzanda.
  • Aldiz, gainazal biek elkarrekiko irristatzen badute orduan marruskadura-indarrak honako balioa du: Fr=mkN.

Esaterako "gurpila malda inklinatuan errodatzen" marruskadura-indarra aplikatzen da gurpilaren eta maldaren arteko kontaktu-puntuan eta, gurpilak irristatzen ez badu, puntu horren abiadura nulua da. Kasu horretan ikusten da marruskadura-indarrak ez diola gurpilari lanik eragiten, eta orokorrean, gurpilak beste indar batzuk ere jasaten baditu marruskadura-indarraren noranzkoa eta modulua ezezagunak dira higiduraren ekuazioak ebazten diren arte.

Beste kapitulu batean, "gurpila eta planoa deformatzen dira" kontaktu-puntuaren inguruko azaleran, esaterako, billar-bola bat eta mahai horizontalaren tapiza, eta deformazio horren eraginez bolaren abiadura moteltzen joaten da.

Beste zenbait kapitulutan ere gurpilak aztertu dira plano horizontaletan edo inklinatuetan errodatzen, eta xehetasun handiz ikertu da nola akoplatzen dituen marruskadura-indarrak gurpilaren translazioa eta errotazioa irristatzea moteltzen ari den bitartean.

Honako orri honetan ez da aztertzen gurpil bat malda inklinatu batean, kutxa bat baizik, eta harrigarria dirudien arren, kutxaren higidura-mota posibleak dirudiena baino ugariagoak dira.

 

Higiduraren ekuazioak

Demagun kutxa bat, b zabalera, h altuera eta m masaduna, q  inklinazioa duen malda batean dagoela, ezkerreko irudiak erakusten duen bezala.

vuelca1.gif (2851 bytes)

Kutxaren luzerak ez du eraginik (irudiarekiko perpendikularra dena). Dei diezaiogun R kutxaren erpinetik zentrora dagoen distantziari eta β bere diagonalak osatzen duen angeluari. Hona hemen parametro bi horien adierazpenak b eta h-ren menpe:

Eskumako irudiak erakusten ditu kutxak jasaten dituen hiru indarrak:

  • Pisua, mg, bere masa-zentroan aplikatzen da.
  • Maldaren erreakzioa, N, orokorrean ez da kutxaren masa-zentrotik pasatzen. Dei diezaiogun d masa-zentrotik N-ren norabideraino dagoen distantziari.
  • Marruskadura-indarra, Fr , maldaren norabide berean aplikatzen da.

Higidura-ekuazioetan Fr , marruskadura-indarra, ezezaguna da. Marruskadura-indarraren balio maximoa ms da, eta justu atzematen du irristatzen hastera doan unean (ms marruskadura koefiziente estatikoa da). Kutxak ez badu irristatzen, marruskadura-indarrak hortik beherako edozein balio izan dezake (ms baino txikiagoa). Aldiz, kutxak irristatzen badu marruskadura-indarra ezaguna da eta honako balioa du: mk (mk marruskadura koefiziente zinetikoa da). Gure kalkuluak sinplifikatzeko demagun ms eta mk  berdinak direla eta dei diezaiegun m.

Malda inklinatuetan ohikoa denez, har ditzagun bi ardatz, bata maldaren paraleloa (X) eta bestea perpendikularra (Y).

Higiduraren ekuazioak honela adierazten dira:

  • Masa-zentroaren translazioa.

N-mgcosθ=mamzy
mg
sinθ-Fr=mamzx

hemen amzx eta amzy dira masa-zentroaren azelerazioaren bi osagaiak.

  • Kutxaren errotazioa masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko

Hemen, mR2/3 terminoa, kutxaren inertzia-momentua da bere masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko eta irudiaren planoaren perpendikularra:

vuelca2.gif (2055 bytes) Erlaziona ditzagun kutxaren masa-zentroaren azelerazioa (amz), kutxaren A izeneko erpinaren azelerazioa (a) eta kutxaren errotazioaren azelerazio angeluarra (a):

amzx=a+acosβ
amzy=
asinβ

Hortaz, higiduraren ekuazioak honela adieraz daitezke:

Hiru ekuazio eta orokorrean bost ezezagun: N, a, a, d eta Fr .

Ekuazio horietan ikusten da, b eta h neurrien arabera eta m marruskadura-koefizientea eta maldaren q  inklinazioaren arabera, zenbait higidura-mota gerta daitezkeela:

 

1.- Kutxak ez du irristatzen eta ez da iraultzen.

Kutxak ez badu irristatzen ezta iraultzen ere, pausagunean geratzen da maldaren gainean: a=0, eta a =0. Bi datu horiek ordezkatzen badira higiduraren ekuazioetan honako emaitzak lortzen dira:

N=mgcosθ
Fr
=mgsinθ
d=
(h/2)暗anθ

Marruskadura-indarrak bere maximoa baino gutxiago balio behar du:  Fr m,  baldintza hori honela ere idatz daiteke: tanq m.

Bestalde, maldaren erreakzioa (N) ezin da aplikatu kutxaren erpina baino urrutiago: d b/2, edota bestela esanda: tanq tanβ .

2.-Irristatzen du baina ez da iraultzen

A erpinaren azelerazioa ez da nulua a 0, baina azelerazio angeluarra nulua da: a =0. Irristatzen duenez, marruskadura-indarra ezaguna da: Fr=m 意. Datu horiek ordezkatzen badira higiduraren ekuazioetan, honako emaitzak lortzen dira:

N=mgcosθ
a=g
(sinθ-μcosθ)=gcosθ(tanθ-μ)
μ意搬
/2-N搞=0,    beraz    d=μh/2

Lehen bezala, maldaren erreakzioa (N) ezin da aplikatu kutxaren erpina baino urrutiago: d b/2, edota bestela esanda: m tanβ .

Eta masa-zentroaren azelerazioa positiboa denez, a 0 edo bestela m tanq .

3.- Irauli egiten da baina ez du irristatzen

A erpinaren azelerazioa nulua da, a=0, baina azelerazio angeluarra ez: a 0. Maldaren erreakzio-indarra (N) aplikatzen da A puntuan bertan, beraz, d=b/2. Kasu horretan Fr ezezaguna da, baina A erpinak ez dezan irristatu baldintza minimo bat bete behar da: Fr m

Datu horiek ordezkatzen badira higiduraren ekuazioetan, honako emaitzak lortzen dira:

Bigarren ekuazioan Fr bakan daiteke eta lehenengoan N. Bi adierazpenok ordezkatzen badira hirugarren ekuazioan eta honako baldintzak ere kontutan hartuz: h/2=R搾osβ, eta b/2=R新inβ, hona hemen emaitzak:

  1. Azelerazio angeluarra positiboa da, a 0, edo bestela esanda tanθ tanβ .

  2. Eta A erpinak ez dezan irristatu Fr m意, edo berridatziz:

4.- Irauli egiten da eta irristatu

A erpinaren azelerazioa ez da nulua a 0, eta azelerazio angeluarra ere ez a 0. Baina maldaren erreakzio normala (N) A erpinean bertan aplikatzen da, beraz d=b/2. Eta irristatzen duenez, marruskadura-indarra ezaguna da: Fr=m

Datu horiek ordezkatzen badira, higiduraren ekuazioetan:

Hiru ezezagun geratzen dira: N, a eta a.

Lehen ekuazioan N bakan daiteke a-ren menpe, eta orduan hirugarrenean ordezkatu. Hirugarren ekuazio horretan, Fr=m  ordezka daiteke eta azkenik α bakantzen da. Geroago, lehen eta bigarren ekuazioen artean N eta a ere kalkula daitezke. Gainera, honako baldintzak ere kontutan izan behar dira: h/2=R搾osβ, eta b/2=R新inβ. Honako emaitzak lortzen dira:

  1. N 0 eta a 0 baldintzak honela berridatz daitezke:

  1. Eta a≥0 baldintza:

 

Espazio berri bat: (tanq , m). Lau eskualdeak.

Ikusi diren kasu guztiek (kutxa irauli edo ez eta irristatu edo ez) espazio berri bat definitzen dute: (tanq , m ), espazio horretan lau eskualde ageri dira koloretan bereizita. Abzisetan (ardatz horizontalean) maldaren inklinazioa adierazten da: tanq  eta ordenatuetan (ardatz bertikalean) marruskadura-koefizientea: m. Bi ardatz horietan adieraz daiteke tanb  puntua, kutxaren neurrien araberakoa, eta beraz konstantea (ondoko grafikoan ardatz horizontalean q  angelua bera adierazi da tanq-ren ordez).

  1. Eskualde berdean ez du irristatzen eta ez da iraultzen. Eskualde horretako baldintzak hauek dira:

          tanq tanb .

          tanq m

  1. Eskualde urdinean irristatzen du baina ez da iraultzen. Eskualde horretako baldintzak hauek dira:

m tanb .
m
tanq .

Gainontzeko eskualde osoa (3 eta 4) bi zatitan banatzen da, izan ere,  μl-ren kurbak banatzen duena tanθ-ren menpe:

Hona hemen kurba hori grafikoki adierazita:

Kurba hori (tanb , tanb ) puntutik pasatzen da eta honako forma sinplifikatua du:

Baldin x  orduan ya/c. Beraz baldin tanq  orduan μ μ0  eta:

Esaterako, har ditzagun kutxaren neurriak: h=50 cm eta b=20 cm, orduan tanβ=0.4. Beraz asintota horizontala hau da: μ0=1.367

  1. Eskualde grisean irauli egiten da:

Kurba horren gainetik dagoen eskualdean irauli egiten da baina ez du irristatzen.

  1. Eskualde gorrian irristatu eta irauli egiten du.
  2. Kurba horren azpiko eskualdean irauli egiten da eta irristatu.

 

Adibidea:

Har ditzagun kutxaren neurriak: h=50 cm, eta b=20 cm, beraz, tanβ=0.4, β=21.8

  • Marruskadura-koefizientea: μ=0.5,
  • Maldaren inklinazioa: θ=15

Puntu hori 1 eskualdean dago (berdea): θ<β, tanθ<μ , hortaz, "ez du irristatzen eta ez da iraultzen".

  • Marruskadura-koefizientea: μ=0.2,
  • Maldaren inklinazioa: θ=15

Puntu hori 2 eskualdean dago (urdina): μ<tanβ, μ<tanθ, hortaz, "irristatzen du eta ez da iraultzen".

  • Marruskadura-koefizientea: μ=0.7,
  • Maldaren inklinazioa: θ=40

Kasu horretan 3 eta 4 eskualdeak banatzen dituen kurba honela adierazten da:

Beraz, gure kasuan 3 eskualdean gaude, (grisa). "Ez du irristatzen eta irauli egiten da": tanθ tanβ, μ>0.5, kurbaren gainetik.

  • Marruskadura-koefizientea: μ=0.45,
  • Maldaren inklinazioa: θ=40

Orduan 4 eskualdean gaude (gorria), tanβ<μ<0.5, kurbaren azpitik, "irristatzen du eta irauli egiten da".

 

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

  • Kutxaren h altuera, dagokion kontrolean idatziz.
  • Kutxaren b zabalera, dagokion kontrolean idatziz.

Berria botoia sakatu.

Programa interaktiboak, datu horiekin, b angelua kalkulatzen du: tanb =b/h. Programak onartzen duen baliorik handiena b =50 da. Kutxaren diagonalaren angelu hori handiegia bada, mezu batek kutxaren neurriak aldatzeko eskatzen du: "Mesedez, kutxa altuagoa edo estuagoa"

Leihatilan (θ, μ) espazioko lau eskualdeak erakusten dira. Ondoren aukeran idatz daitezke:

  • Maldaren eta kutxaren arteko marruskadura-koefizientea, m , dagokion kontrolean idatziz.
  • Malda inklinatuaren angelua, q , dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Programak (q , m ) espazioan puntu beltz bat kokatzen du, eta zein koloretako eskualdean geratzen den behatzen da. Horren arabera, kutxaren portaera erabakitzen da: kutxak irristatu ala ez eta kutxa irauli ala ez.

Oharra: hemen higidura-motak soilik aipatu nahi direnez, programak ez du kutxaren errotazioa osorik ebazten. Kutxaren azelerazio angeluarraren hasierako balioak soilik kalkulatzen ditu eta simulazioa egiten du. Kalkulu osoa egiten bada, kutxa A puntuaren inguruan biratzen doan heinean, kutxaren azelerazio angeluarra aldatuz doa posizioaren arabera. Aldiz, translazio-azelerazioa konstantea da.

stokesApplet aparecer en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Erreferentzia

Nunes A. M., Silva J. P. Tiltled boxes on inclined planes. Am. J. Phys. 68, (11) November 2000, pp. 1042-1049