Solido zurruna

Espazio berri bat: (tgq , m). Lau eskualdeak

Saiakuntza

Erreferentzia

Bi gainazal solido elkarrekin kontaktuan daudenean eta irristatzen dutenean marruskadura-indarrak agertzen dira. Hala ere, marruskadura-indarrak baditu hainbat ezaugarri berezi:

Esaterako, esfera bat fluido baten barruan mugitzen denean, esferak marruskadura-indarra jasaten du fluidoaren biskositatearen arabera eta Reynlds-en zenbakiaren arabera.

Beste kapitulu batean ikertzen da "irristatzearen aurkako marruskadura-indarra" gorputz bat geldi dagoenean plano horizontal batean:

• Marruskadura-indar estatikoak (F_r) ez badu balio maximo bat gainditzen (m_sN) orduan gorputz horrek geldi jarraitzen du gainazalean etzanda.
• Aldiz, gainazal biek elkarrekiko irristatzen badute orduan marruskadura-indarrak honako balioa du: F_r=m_kN.

Esaterako "gurpila malda inklinatuan errodatzen" marruskadura-indarra aplikatzen da gurpilaren eta maldaren arteko kontaktu-puntuan eta, gurpilak irristatzen ez badu, puntu horren abiadura nulua da. Kasu horretan ikusten da marruskadura-indarrak ez diola gurpilari lanik eragiten, eta orokorrean, gurpilak beste indar batzuk ere jasaten baditu marruskadura-indarraren noranzkoa eta modulua ezezagunak dira higiduraren ekuazioak ebazten diren arte.

Beste kapitulu batean, "gurpila eta planoa deformatzen dira" kontaktu-puntuaren inguruko azaleran, esaterako, billar-bola bat eta mahai horizontalaren tapiza, eta deformazio horren eraginez bolaren abiadura moteltzen joaten da.

Beste zenbait kapitulutan ere gurpilak aztertu dira plano horizontaletan edo inklinatuetan errodatzen, eta xehetasun handiz ikertu da nola akoplatzen dituen marruskadura-indarrak gurpilaren translazioa eta errotazioa irristatzea moteltzen ari den bitartean.

Honako orri honetan ez da aztertzen gurpil bat malda inklinatu batean, kutxa bat baizik, eta harrigarria dirudien arren, kutxaren higidura-mota posibleak dirudiena baino ugariagoak dira.

Higiduraren ekuazioak

Demagun kutxa bat, b zabalera, h altuera eta m masaduna, q  inklinazioa duen malda batean dagoela, ezkerreko irudiak erakusten duen bezala.

Kutxaren luzerak ez du eraginik (irudiarekiko perpendikularra dena). Dei diezaiogun R kutxaren erpinetik zentrora dagoen distantziari eta β bere diagonalak osatzen duen angeluari. Hona hemen parametro bi horien adierazpenak b eta h-ren menpe:

Eskumako irudiak erakusten ditu kutxak jasaten dituen hiru indarrak:

• Pisua, mg, bere masa-zentroan aplikatzen da.
• Maldaren erreakzioa, N, orokorrean ez da kutxaren masa-zentrotik pasatzen. Dei diezaiogun d masa-zentrotik N-ren norabideraino dagoen distantziari.
• Marruskadura-indarra, F_r , maldaren norabide berean aplikatzen da.

Higidura-ekuazioetan F_r , marruskadura-indarra, ezezaguna da. Marruskadura-indarraren balio maximoa m_s·N da, eta justu atzematen du irristatzen hastera doan unean (m_s marruskadura koefiziente estatikoa da). Kutxak ez badu irristatzen, marruskadura-indarrak hortik beherako edozein balio izan dezake (m_s·N baino txikiagoa). Aldiz, kutxak irristatzen badu marruskadura-indarra ezaguna da eta honako balioa du: m_k·N (m_k marruskadura koefiziente zinetikoa da). Gure kalkuluak sinplifikatzeko demagun m_s eta m_k  berdinak direla eta dei diezaiegun m.

Malda inklinatuetan ohikoa denez, har ditzagun bi ardatz, bata maldaren paraleloa (X) eta bestea perpendikularra (Y).

Higiduraren ekuazioak honela adierazten dira:

• Masa-zentroaren translazioa.

N-mgcosθ=ma_mzy
mgsinθ-F_r=ma_mzx

hemen a_mzx eta a_mzy dira masa-zentroaren azelerazioaren bi osagaiak.

• Kutxaren errotazioa masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko

Hemen, mR²/3 terminoa, kutxaren inertzia-momentua da bere masa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko eta irudiaren planoaren perpendikularra:

Erlaziona ditzagun kutxaren masa-zentroaren azelerazioa (amz), kutxaren A izeneko erpinaren azelerazioa (a) eta kutxaren errotazioaren azelerazio angeluarra (a): amzx=a+a·Rcosβ amzy=a·Rsinβ

Hortaz, higiduraren ekuazioak honela adieraz daitezke:

Hiru ekuazio eta orokorrean bost ezezagun: N, a, a, d eta F_r .

Ekuazio horietan ikusten da, b eta h neurrien arabera eta m marruskadura-koefizientea eta maldaren q  inklinazioaren arabera, zenbait higidura-mota gerta daitezkeela:

1.- Kutxak ez du irristatzen eta ez da iraultzen.

Kutxak ez badu irristatzen ezta iraultzen ere, pausagunean geratzen da maldaren gainean: a=0, eta a =0. Bi datu horiek ordezkatzen badira higiduraren ekuazioetan honako emaitzak lortzen dira:

N=mgcosθ
F_r=mgsinθ
d=(h/2)·tanθ

Marruskadura-indarrak bere maximoa baino gutxiago balio behar du:  F_r£ m ·N,  baldintza hori honela ere idatz daiteke: tanq £ m.

Bestalde, maldaren erreakzioa (N) ezin da aplikatu kutxaren erpina baino urrutiago: d£ b/2, edota bestela esanda: tanq £ tanβ .

2.-Irristatzen du baina ez da iraultzen

A erpinaren azelerazioa ez da nulua a³ 0, baina azelerazio angeluarra nulua da: a =0. Irristatzen duenez, marruskadura-indarra ezaguna da: F_r=m ·N. Datu horiek ordezkatzen badira higiduraren ekuazioetan, honako emaitzak lortzen dira:

N=mg·cosθ
a=g(sinθ-μcosθ)=g·cosθ·(tanθ-μ)
μ·N·h/2-N·d=0,    beraz    d=μh/2

Lehen bezala, maldaren erreakzioa (N) ezin da aplikatu kutxaren erpina baino urrutiago: d£ b/2, edota bestela esanda: m £ tanβ .

Eta masa-zentroaren azelerazioa positiboa denez, a³ 0 edo bestela m £ tanq .

3.- Irauli egiten da baina ez du irristatzen

A erpinaren azelerazioa nulua da, a=0, baina azelerazio angeluarra ez: a ³ 0. Maldaren erreakzio-indarra (N) aplikatzen da A puntuan bertan, beraz, d=b/2. Kasu horretan F_r ezezaguna da, baina A erpinak ez dezan irristatu baldintza minimo bat bete behar da: F_r£ m ·N

Datu horiek ordezkatzen badira higiduraren ekuazioetan, honako emaitzak lortzen dira:

Bigarren ekuazioan F_r bakan daiteke eta lehenengoan N. Bi adierazpenok ordezkatzen badira hirugarren ekuazioan eta honako baldintzak ere kontutan hartuz: h/2=R·cosβ, eta b/2=R·sinβ, hona hemen emaitzak:

1. Azelerazio angeluarra positiboa da, a ³ 0, edo bestela esanda tanθ³ tanβ .

2. Eta A erpinak ez dezan irristatu F_r £ m·N, edo berridatziz:

4.- Irauli egiten da eta irristatu

A erpinaren azelerazioa ez da nulua a³ 0, eta azelerazio angeluarra ere ez a ³ 0. Baina maldaren erreakzio normala (N) A erpinean bertan aplikatzen da, beraz d=b/2. Eta irristatzen duenez, marruskadura-indarra ezaguna da: F_r=m ·N

Datu horiek ordezkatzen badira, higiduraren ekuazioetan:

Hiru ezezagun geratzen dira: N, a eta a.

Lehen ekuazioan N bakan daiteke a-ren menpe, eta orduan hirugarrenean ordezkatu. Hirugarren ekuazio horretan, F_r=m·N  ordezka daiteke eta azkenik α bakantzen da. Geroago, lehen eta bigarren ekuazioen artean N eta a ere kalkula daitezke. Gainera, honako baldintzak ere kontutan izan behar dira: h/2=R·cosβ, eta b/2=R·sinβ. Honako emaitzak lortzen dira:

1. N³ 0 eta a ³ 0 baldintzak honela berridatz daitezke:

1. Eta a≥0 baldintza:

Espazio berri bat: (tanq , m). Lau eskualdeak.

Ikusi diren kasu guztiek (kutxa irauli edo ez eta irristatu edo ez) espazio berri bat definitzen dute: (tanq , m ), espazio horretan lau eskualde ageri dira koloretan bereizita. Abzisetan (ardatz horizontalean) maldaren inklinazioa adierazten da: tanq  eta ordenatuetan (ardatz bertikalean) marruskadura-koefizientea: m. Bi ardatz horietan adieraz daiteke tanb  puntua, kutxaren neurrien araberakoa, eta beraz konstantea (ondoko grafikoan ardatz horizontalean q  angelua bera adierazi da tanq-ren ordez).

1. Eskualde berdean ez du irristatzen eta ez da iraultzen. Eskualde horretako baldintzak hauek dira:

          tanq £ tanb .

          tanq £ m

2. Eskualde urdinean irristatzen du baina ez da iraultzen. Eskualde horretako baldintzak hauek dira:

m £ tanb .
m £ tanq .

Gainontzeko eskualde osoa (3 eta 4) bi zatitan banatzen da, izan ere,  μ_l-ren kurbak banatzen duena tanθ-ren menpe:

Hona hemen kurba hori grafikoki adierazita:

Kurba hori (tanb , tanb ) puntutik pasatzen da eta honako forma sinplifikatua du:

Baldin x→¥  orduan y→a/c. Beraz baldin tanq ® ¥  orduan μ® μ⁰  eta:

Esaterako, har ditzagun kutxaren neurriak: h=50 cm eta b=20 cm, orduan tanβ=0.4. Beraz asintota horizontala hau da: μ⁰=1.367

3. Eskualde grisean irauli egiten da:

Kurba horren gainetik dagoen eskualdean irauli egiten da baina ez du irristatzen.

4. Eskualde gorrian irristatu eta irauli egiten du.

Kurba horren azpiko eskualdean irauli egiten da eta irristatu.

Adibidea:

Har ditzagun kutxaren neurriak: h=50 cm, eta b=20 cm, beraz, tanβ=0.4, β=21.8º

• Marruskadura-koefizientea: μ=0.5,
• Maldaren inklinazioa: θ=15º

Puntu hori 1 eskualdean dago (berdea): θ<β, tanθ<μ , hortaz, "ez du irristatzen eta ez da iraultzen".

• Marruskadura-koefizientea: μ=0.2,
• Maldaren inklinazioa: θ=15º

Puntu hori 2 eskualdean dago (urdina): μ<tanβ, μ<tanθ, hortaz, "irristatzen du eta ez da iraultzen".

• Marruskadura-koefizientea: μ=0.7,
• Maldaren inklinazioa: θ=40º

Kasu horretan 3 eta 4 eskualdeak banatzen dituen kurba honela adierazten da:

Beraz, gure kasuan 3 eskualdean gaude, (grisa). "Ez du irristatzen eta irauli egiten da": tanθ³ tanβ, μ>0.5, kurbaren gainetik.

• Marruskadura-koefizientea: μ=0.45,
• Maldaren inklinazioa: θ=40º

Orduan 4 eskualdean gaude (gorria), tanβ<μ<0.5, kurbaren azpitik, "irristatzen du eta irauli egiten da".

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Kutxaren h altuera, dagokion kontrolean idatziz.
• Kutxaren b zabalera, dagokion kontrolean idatziz.

Berria botoia sakatu.

Programa interaktiboak, datu horiekin, b angelua kalkulatzen du: tanb =b/h. Programak onartzen duen baliorik handiena b =50º da. Kutxaren diagonalaren angelu hori handiegia bada, mezu batek kutxaren neurriak aldatzeko eskatzen du: "Mesedez, kutxa altuagoa edo estuagoa"

Leihatilan (θ, μ) espazioko lau eskualdeak erakusten dira. Ondoren aukeran idatz daitezke:

• Maldaren eta kutxaren arteko marruskadura-koefizientea, m , dagokion kontrolean idatziz.
• Malda inklinatuaren angelua, q , dagokion kontrolean idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Programak (q , m ) espazioan puntu beltz bat kokatzen du, eta zein koloretako eskualdean geratzen den behatzen da. Horren arabera, kutxaren portaera erabakitzen da: kutxak irristatu ala ez eta kutxa irauli ala ez.

Oharra: hemen higidura-motak soilik aipatu nahi direnez, programak ez du kutxaren errotazioa osorik ebazten. Kutxaren azelerazio angeluarraren hasierako balioak soilik kalkulatzen ditu eta simulazioa egiten du. Kalkulu osoa egiten bada, kutxa A puntuaren inguruan biratzen doan heinean, kutxaren azelerazio angeluarra aldatuz doa posizioaren arabera. Aldiz, translazio-azelerazioa konstantea da.