Uhinak

Akustika

Uhin geldikorrak
hodietan

Soinuaren abiadura
hagatxo batean

Soinuaren abiadura
gas batean

Helmholtz-en
erresonadorea

Fourier-en analisia

Doppler efektua (I)

Doppler efektua (II)

Doppler efektua (III)

Saiakuntza

Adibideak

Egia esan, orain arte erabili ditugun uhin harmoniko mugagabeak ez dira existitzen, uhin guztiek amaiera dutelako, bai espazioan zein denboran. Fourier-ek garatutako analisiaz (eta Fourier-en transformatuaz) uhin harmonikoak baino konplexuagoak diren beste uhin batzuk ere deskriba daitezke, besteak beste, musika tresnek sortzen dituztenak.

Fourier izeneko matematikari frantziarrak, arazo praktiko bati soluzioa emateko ahaleginetan, bere izena daraman analisi mota asmatu zuen. Arazo praktikoa zen, nola garraiatzen duen beroa burdinazko eraztun batek. Frogatu zuen, ezen funtzio ez-jarraitu bat lor daitekeela funtzio jarraituen batura gisa. Bere tesi berri hura Akademia Frantziarrean aurkeztu zuen, eta garai hartako hainbat matematikari ospetsuk eragozpen ugari jarri zizkioten; hala nola Lagrange, Laplace, etab.

Deskribapena

Lehen begiratu batean, badirudi uhin konplexuen formak analizatzea oso lan neketsua izango dela. Eta hala da, baina uhinaren forma periodikoa baldin bada, beti adieraz daiteke uhin hori uhin harmonikoen batura gisa, serie harmoniko bat osatuz. Baturan hartu behar diren uhin harmonikoen kopurua nahiko handia izaten da, beti ere, lortu nahi den zehaztasunaren araberakoa.

Adieraz dezagun funtzio periodiko bat, P periodoa duena eta edozein formakoa: f(t). Beti adieraz daiteke infinitu funtzio harmonikoren batura gisa, hau da:

non periodoa P=2p/w, eta a₀ , a₁ ...a_i ... eta b₁ ,b₂ .... b_i .... Fourier-en koefizienteak deiturikoak diren. Deskonposaketa hori onartuta, analisiaren funtsezko arazoa koefizienteak kalkulatzean datza.

Funtzio periodikoa ezaguna bada, f(t), orduan a_i eta b_i , Fourier-en koefiziente guztiak, honela kalkula daitezke:

Integral horiek guztiek behe-muturra dute -P/2 eta goi-muturra, +P/2.

Ondorengo programa interaktiboan, P periodoko funtzio periodikoa 2p periodoko funtzio bihurtuko dugu, t ardatzean eskala-aldaketa bat eginez. Har dezagun: x=w t, eta t denborari dagokion P periodoa x espazioari dagokion 2p bihurtuko da, eta f(t) funtzioa honela berridatz daiteke:

Funtzio berri hori definitua dago −p-tik +p-raino, eta seriea pixka bat sinpleago adierazten da:

non

Baldin g(x) funtzioak simetria badu, orduan koefiziente horietako batzuk nuluak dira:

Adibidez, pultsu laukizuzen bat, 1 zabaleraduna, eta 2 periododuna. Koefiziente guztiak kalkulatzen badira, hona hemen emaitzak:

ordena a b 0 1   1 0.6366 0 2 0 0 3 -0.2122 0 4 0 0 5 0.1273 0 6 0 0 7 -0.09097 0 8 0 0 9 0.07078 0

Saiakuntza

Ondorengo applet-ean lau funtzio ezberdin aukera daitezke, denak ez-jarraituak.

• Laukizuzena
• Maila bikoitza
• Zerra-hortz simetrikoa (1)
• Zerra-hortz antisimetrikoa (2)

Lehen lehenik, funtzioa aukeratu behar da, funtzioaren parametro geometrikoak finkatu (zabalera, periodoa, sakonera) eta, hasteko, funtzioaren izenean klikatu.

Programak, leihatilan, honako adierazpen grafikoak erakusten ditu Hurrengoa>> botoia klikatuz, behin eta berriro:

1. Leihatilaren goiko aldean, hautatutako funtzioa, f(t), eta hurbilketa kontsekutiboak, harmonikoak gehitu ahala.

2. Erdiko aldean, gehitu den azken harmonikoa; marra urdinez a_i·cos(ix) eta marra gorriz b_i sin(ix).

3. Azpiko aldean, zuzenki bertikalekin adierazita, Fourier-en koefizienteen balioak ordenaren arabera; ezkerrean eta marra urdinez, a_i  koefizienteak eta eskuman eta marra gorriz b_i koefizienteak.

Zuzenkia zenbat eta luzeagoa, orduan eta handiagoa da harmoniko horren ekarpena f(t) funtzio periodikoa osatzeko. Ikus daiteke, zuzenkiak gero eta laburragoak direla maiztasuna handitzen den heinean, alegia, harmoniko baten maiztasuna handia bada, orduan eta txikiagoa da bere ekarpena.

Zuzenki bertikal horien arteko separazioa funtzioaren periodoaren proportzionala da, eta beraz, periodikoa ez den funtzio baterako (periodo infinitua) zuzenki bertikalen ertzek kurba jarraitu bat definitzen dute, eta kurba horri Fourier-en transformatua deritzo.

Aurrekoa<< botoia klikatuz, aurreko harmonikora buelta gaitezke, hurrengoarekin konparatzeko.

Adibideak

Pultsu laukizuzena

Hona hemen funtzio periodiko horren definizioa (irudia behin eta berriz errepikatuz):

Pultsu laukizuzen batekin egiazta dezakegu, esaterako, funtzio simetriko batean (bikoitia), b_i koefiziente guztiak nuluak ateratzen direla. Honako parametro geometrikoak proba ditzagun:

• Periodoa, P=5.0
• Zabalera, A=2.0
• Translazioa T=0.0.

Aldiz, pultsuari translazioa ematen badiogu, jadanik ez da simetrikoa eta koefiziente guztiak ez-nuluak izango dira: a_i eta b_i. Esaterako proba itzazu honako parametroak:

• Periodoa, P=5.0
• Zabalera, A=2.0
• Translazioa, T=0.5.

Maila-aldaketa bikoitza

Hona hemen funtzio periodiko horren definizioa:

Maila aldaketa bikoitzarekin egiazta dezakegu, esaterako, funtzio simetriko bakoiti batean  a_i koefiziente guztiak nuluak ateratzen direla. Honako parametro geometrikoak proba ditzagun:

• Periodoa, P=3.0
• Zabalera, A=2.0
• Sakonera, h=1.0.

Aldiz, eskumako mailaren altuera aldatzen badiogu (h¹1), jadanik ez da simetrikoa eta koefiziente guztiak ez-nuluak izango dira: a_i eta b_i. Esaterako proba itzazu honako parametroak:

• Periodoa, P=3.0
• Zabalera, A=2.0
• Sakonera h=0.5.

Zerra-Hortz simetrikoa

Adibidea:

• Periodoa, P=4.0.

Ikusten da, harmoniko gutxi batzuekin, funtzio simetriko hori nahikoa hurbil ateratzen dela.

Zerra-hortz antisimetrikoa

Adibidea:

• Periodoa, P=1.0.

Ikusten da, harmoniko asko behar direla funtzio antisimetriko horretara hurbiltzeko.