Ecuaciones de variables separadas

Llamamos ecuación de variables separadas a la ecuación de la forma:

M(x)dx+N(y)dy=0

También, y'=f(x)·g(y) pues, suponiendo g(y)≠0

$\frac{d y}{g (y)} = f (x) d x \int \frac{d y}{g (y)} = \int f (x) d x + C$

Ejemplo 1:

$x d x + y d y = 0 \Rightarrow \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} = C \Rightarrow x^{2} + y^{2} = k$

Ejemplo 2:

$y' tg x = y \Rightarrow \frac{d y}{y} = \frac{\cos x}{sen x} d x \Rightarrow \ln y = \ln sen x + \ln C = \ln (C sen x) \Rightarrow y = C sen x$

También una ecuación de la forma:

A(x)B(y)dx+C(x)D(y)dy=0, en un dominio donde B(y) y C(x) no se anulen

$\frac{A (x) B (y)}{C (x) B (y)} d x + \frac{C (x) D (y)}{C (x) B (y)} d y = 0 \Rightarrow \frac{A (x)}{C (x)} d x + \frac{D (y)}{B (y)} d y = 0$ , (variables separadas)

Integrar las siguientes ecuaciones

Problema	Solución
$(y^{2} + x y^{2}) y' + x^{2} - y x^{2} = 0$	$C (\frac{x + 1}{1 - y}) = e^{\frac{(x + y) (y - x + 2)}{2}}$
$(1 + y^{2}) d x = x d y$	$y = tg (\ln (C x)), también, x C = e^{arctg y}$
$e^{- y} (1 + y') = 1$	$C (\frac{e^{y} - 1}{e^{y}}) = e^{x}, C (1 - e^{- y}) = e^{x}$
$y \ln y \cdot d x + x d y = 0, c.i. (1, 1)$	$x \ln y = 0, y = 1$
$3 e^{x} tg y \cdot d x + (2 - e^{x}) {sec}^{2} y \cdot d y = 0$	$\frac{tg y}{{(2 - e^{x})}^{3}} = C$
$e^{y} (1 + x^{2}) d y - 2 x (1 + e^{y}) d x = 0$	$1 + e^{y} = C (1 + x^{2})$
$(1 + e^{x}) y y' = e^{y}, c.i . (0, 0)$	$(1 + y) e^{- y} = \ln (\frac{1 + e^{x}}{2}) + 1 - x$
$x y' - y = y^{3}$	$y = C x \sqrt{1 + y^{2}} .$
$y - x y' = 1 + x^{2} y'$	$x = C (x + 1) (y - 1)$