Ecuaciones diferenciales exactas
Definición: Sean P(x, y) y Q(x, y) funciones reales continuas en un dominio D. Se dice que la ecuación
P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0
Es diferencial exacta si existe una función real F(x, y) tal que en el dominio D cumple:
La función F(x, y) es una primitiva de la ecuación y la integral general es:
F(x, y)=cte
Teorema.- La condición necesaria y suficiente para que la ecuación P·dx+Q·dy=0 sea diferencial exacta en un dominio D, siendo P(x, y), Q(x, y) y sus derivadas parciales continuas en D es que se cumpla:
Ejemplos:
D=R2
Resolución.- Por lo anterior se sabe que:
deberá coincidir con
Por tanto,
La integral general
Diferencial exacta
Integral general
Py=cosx, Qx=cosx. Diferencial exacta
Integral general
Py=2xey, Qx==2xey. Diferencial exacta
Integral general
Diferencial exacta
Integral general
Diferencial exacta
Factores integrantes
Definición.- Dada la ecuación P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0, se dice que es un factor integrante en un dominio D, siendo P(x, y), Q(x, y) y sus derivadas parciales continuas en D, si multiplicado por la ecuación la convierte en diferencial exacta. Es decir si la ecuación
μ(x, y)P(x, y)dx+μ(x, y)Q(x, y)dy=0
es exacta. Por lo tanto deberá de cumplir:
, (*)
El factor integrante es solo función de x
Sustituyendo en (*)
Para poder integrar y obtener así el factor integrante:
debe ser solo función de x
Ejemplo: (1-x2y)dx+x2(y-x)dy=0
No es exacta
Admite factor integrante. Integrando
La ecuación
Exacta. Solución
El factor integrante es solo función de y
Sustituyendo en (*)
Para poder integrar y obtener así el factor integrante , debe ser solo función de y
Ejemplo. x2y2dx+(x3y+y+3)dy=0
Py=2yx2, Qx=3yx2. No es exacta
Integrando
El factor integrante es solo función de x+y
μ=μ(x+y), se hace x+y=t
Sustituyendo en (*)
debe ser solo función de x+y
El factor integrante es solo función de x-y
μ=μ(x-y), se hace x-y=t
Sustituyendo en (*)
debe ser solo función de x-y
El factor integrante es solo función de x·y
μ=μ(x·y), se hace x·y=t
Sustituyendo en (*)
debe ser solo función de x·y
Ejemplo: (y+xy2)dx+(x-yx2)dy=0
El factor integrante es solo función de x2+y2
μ=μ(x2+y2), se hace x2+y2=t
Sustituyendo en (*)
debe ser solo función de x2+y2
Ejemplo. (x3+xy2-y)dx+(y3+yx2+x)dy=0
Integrar las ecuaciones: