Ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes
En este caso los coeficientes de la ecuación b1, b2...bn ∈R
Sabemos que admite un sistema fundamental de soluciones.
Probando soluciones de la forma y=erx, tenemos
pues erx≠0
es la llamada ecuación característica
A cada raíz de la ecuación característica le corresponderá una solución de la forma,
Raíces de la ecuación característica:
Raíces simples
Reales
Complejas, caso n=2
Raíces múltiples
Reales
Complejas
, es un sistema fundamental, la integral general vendrá dada por:
Ejemplo: y'''-y'=0
La ecuación característica:
La integral general:
Suponiendo que a±bi es la raíz, la integral general
Aplicando Euler
Ejemplo: y'''-4y'+5y=0
La ecuación característica: r2-4r+5=0, r=2±i
La integral general:
r1 se repite p1⇒ orden de multiplicidad p1
r2 se repite p2⇒ orden de multiplicidad p2
.....
rn se repite pn⇒ orden de multiplicidad pn
p1+p2+...+pn=n
El sistema fundamental vendrá dado por:
La integral general:
P1(x) es un polinomio de grado p1-1 (p1 constantes)
P2(x) es un polinomio de grado p2-1 (p2 constantes)
......
Pq(x) es un polinomio de grado pq-1 (pq constantes)
Ejemplo: yV-3y'''+2y''=0
Ecuación característica:
Sabiendo que
a±bi se repite p veces (orden de multiplicidad p)
c±di se repite q veces (orden de multiplicidad q)
2p+2q=n
La integral general
P1(x) es un polinomio de grado p-1 (p constantes)
P2(x) es un polinomio de grado p-1 (p constantes)
P3(x) es un polinomio de grado q-1 (q constantes)
P4(x) es un polinomio de grado q-1 (q constantes)
Aplicando la fórmula de Euler como en el caso de las raíces simples, nos quedará
Q1(x) es un polinomio de grado p-1 (p constantes)
Q2(x) es un polinomio de grado p-1 (p constantes)
Q3(x) es un polinomio de grado q-1 (q constantes)
Q4(x) es un polinomio de grado q-1 (q constantes)
Ejemplo: yIV-8y'''+26y'-40y'+25y=0
Ecuación característica
2±i es raíz doble. La integral general: