En este caso los coeficientes de la ecuación b₁, b₂...b_n ∈R

Sabemos que admite un sistema fundamental de soluciones.

Probando soluciones de la forma y=e^rx, tenemos

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}^n{e}^{rx}+b_{n-1}{r}^{n-1}{e}^{rx}+\mathrm{...}+b_{1}r{e}^{rx}+b_0{e}^{rx}=0=e^{rx}\left(r^n+b_{n-1}{r}^{n-1}+\mathrm{...}+b_{1}r+b_0\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow \left(r^n+b_{n-1}{r}^{n-1}+\mathrm{...}+b_{1}r+b_0\right)=0\end{array}}$

pues e^rx≠0

${\displaystyle r^n+b_{n-1}{r}^{n-1}+\mathrm{...}+b_{1}r+b_0=0}$

es la llamada ecuación característica

A cada raíz de la ecuación característica le corresponderá una solución de la forma, $y_i=e^{r_{i}x}$

Raíces de la ecuación característica:

1. Raíces simples

1. Reales

$\left\{e^{r_{1}x},e^{r_{2}x}\mathrm{...}{e}^{r_{n}x}\right\}$, es un sistema fundamental, la integral general vendrá dada por:

${\displaystyle y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}+\mathrm{...}+C_n{e}^{rnx},C_1,C_2\mathrm{...}{C}_n\in R}$

Ejemplo: y'''-y'=0

La ecuación característica:

${\displaystyle r^3-r=0=r(r^2-1)\Rightarrow r=\{\begin{array}{l}0\\ 1\\ -1\end{array}}$

La integral general:

${\displaystyle y=C_1+C_2{e}^x+C_3{e}^{-x}}$

2. Complejas, caso n=2

Suponiendo que a±bi es la raíz, la integral general

${\displaystyle y=C_1{e}^{(a+bi)x}+C_2{e}^{(a-bi)x}=e^{ax}(C_1{e}^{bix}+C_2{e}^{-bix})}$

Aplicando Euler

${\displaystyle \begin{array}{l}y=e^{ax}\left[C_1(\cos bx+i\mathrm{sen}bx)+C_2(\cos bx-i\mathrm{sen}bx)\right]=\\ =e^{ax}\left[(C_1+C_2)\cos bx+i(C_1-C_2)\mathrm{sen}bx\right]=e^{ax}(K_1\cos bx+K_2\mathrm{sen}bx)\end{array}}$

Ejemplo: y'''-4y'+5y=0

La ecuación característica: r²-4r+5=0, r=2±i

La integral general:

${\displaystyle y=e^{2x}(K_1\cos x+K_2\mathrm{sen}x)}$

2. Raíces múltiples

1. Reales

r₁ se repite p₁⇒ orden de multiplicidad p₁
r₂ se repite p₂⇒ orden de multiplicidad p₂
.....
r_n se repite p_n⇒ orden de multiplicidad p_n


p₁+p₂+...+p_n=n

El sistema fundamental vendrá dado por:

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_1\Rightarrow \left\{e^{r_{1}x},x{e}^{r_{1}x},x^2{e}^{r_{1}x}\mathrm{....}{x}^{p_1-1}{e}^{r_{1}x}\right\}\\ r_2\Rightarrow \left\{e^{r_{2}x},x{e}^{r_{2}x},x^2{e}^{r_{2}x}\mathrm{....}{x}^{p_2-1}{e}^{r_{2}x}\right\}\\ .\\ .\\ .\\ r_q\Rightarrow \left\{e^{r_{q}x},x{e}^{r_{q}x},x^2{e}^{r_{q}x}\mathrm{....}{x}^{p_q-1}{e}^{r_{q}x}\right\}\end{array}}$

La integral general:

${\displaystyle y=P_1(x)e^{r_{1}x}+P_2(x)e^{r_{2}x}+\mathrm{...}+P_q(x)e^{r_{q}x}}$

P₁(x) es un polinomio de grado p₁-1 (p₁ constantes)
P₂(x) es un polinomio de grado p₂-1 (p₂ constantes)
......
P_q(x) es un polinomio de grado p_q-1 (p_q constantes)

Ejemplo: y^V-3y'''+2y''=0

Ecuación característica:

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}^5-3r^3+2r^2=0=r^2{\left(r-1\right)}^2(r+2)\{\begin{array}{l}r=0\text{,\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}doble}\\ r=1\text{,\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}doble}\\ r=-2\text{,\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} simple}\end{array}\\ y=A_1+A_{2}x+(B_1+B_{2}x)e^x+C_1{e}^{-2x}\end{array}}$

2. Complejas

Sabiendo que

a±bi se repite p veces (orden de multiplicidad p)
c±di se repite q veces (orden de multiplicidad q)

2p+2q=n

La integral general

${\displaystyle y=P_1(x)e^{(a+bi)x}+P_2(x)e^{(a-bi)x}+P_3(x)e^{(c+di)x}+P_4(x)e^{(c-di)x}}$

P₁(x) es un polinomio de grado p-1 (p constantes)
P₂(x) es un polinomio de grado p-1 (p constantes)
P₃(x) es un polinomio de grado q-1 (q constantes)
P₄(x) es un polinomio de grado q-1 (q constantes)

Aplicando la fórmula de Euler como en el caso de las raíces simples, nos quedará

${\displaystyle y=e^{ax}\left(Q_1(x)\cos bx+Q_2(x)\mathrm{sen}bx\right)+e^{cx}\left(Q_3(x)\cos dx+Q_4(x)\mathrm{sen}dx\right)}$

Q₁(x) es un polinomio de grado p-1 (p constantes)
Q₂(x) es un polinomio de grado p-1 (p constantes)
Q₃(x) es un polinomio de grado q-1 (q constantes)
Q₄(x) es un polinomio de grado q-1 (q constantes)

Ejemplo: y^IV-8y'''+26y'-40y'+25y=0

Ecuación característica

${\displaystyle r^4-8r^3+26r^2-40r+25=0={\left(r^2-4r+5\right)}^2}$

2±i es raíz doble. La integral general:

${\displaystyle y=e^{2x}\left((A_1+A_{2}x)\cos x+(B_1+B_{2}x)\mathrm{sen}x\right)}$

Integrar las siguientes ecuaciones:

1. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}-4y\text{'}+3y=0}$

2. ${\displaystyle 4y\text{'}\text{'}-8y\text{'}+5y=0}$

3. ${\displaystyle 3y\text{'}\text{'}-2y\text{'}-8y=0}$

4. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}\text{'}-3y\text{'}\text{'}+3y\text{'}-y=0}$

5. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}\text{'}-27y=0}$

6. ${\displaystyle 3y\text{'}\text{'}-2y\text{'}-8y=0}$

7. ${\displaystyle y{}^{IV}+4y\text{'}\text{'}\text{'}+10y\text{'}\text{'}+12y\text{'}+5y=0}$

8. ${\displaystyle y{}^{IV}-16y=0}$

9. ${\displaystyle 2y\text{'}\text{'}\text{'}-3y\text{'}\text{'}+y\text{'}=0}$

10. ${\displaystyle y{}^{IV}+18y\text{'}\text{'}+81y=0}$

11. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}\text{'}-3y\text{'}\text{'}+3y\text{'}-y=0,y(0)=1,y\text{'}(0)=2,y\text{'}\text{'}(0)=3}$

12. ${\displaystyle y{}^V+4y{}^{IV}+5y\text{'}\text{'}\text{'}-6y\text{'}-4y=0}$