Llamamos ecuación diferencial lineal de orden n a:

${\displaystyle a_n(x)y^{(n}+a_{n-1}(x)y^{(n-1}+\mathrm{...}+a_2(x)y\text{'}\text{'}+a_1(x)y\text{'}+a_0(x)y=f(x)}$

Donde a_n(x), a_n-1(x),... a₁(x), a₀(x), f(x) son funciones reales y continuas en un cierto intervalo (a, b)

Para que la ecuación diferencial sea de orden n, a_n(x)≠0, dividiendo toda la ecuación por este término la podemos poner de la siguiente forma:

${\displaystyle y^{(n}+b_{n-1}(x)y^{(n-1}+\mathrm{...}+b_2(x)y\text{'}\text{'}+b_1(x)y\text{'}+b_0(x)y=g(x)\{\begin{array}{l}{b}_{n-1}(x)=\frac{a_{n-1}(x)}{a_n(x)}\\ .\\ .\\ .\\ b_0(x)=\frac{a_0(x)}{a_n(x)}\\ g(x)=\frac{f(x)}{a_n(x)}\end{array}}$

Si g(x)≠0, la la ecuación se denomina completa y si g(x)=0, homogénea

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden n

Sea

${\displaystyle y^{(n}+b_{n-1}{y}^{(n-1}+\mathrm{...}+b_{2}y\text{'}\text{'}+b_{1}y\text{'}+b_{0}y=0}$

Decimos que y₁(x) es solución de la ecuación si:

${\displaystyle y_1{}^{(n}+b_{n-1}{y}_1{}^{(n-1}+\mathrm{...}+b_2{y}_1\text{'}\text{'}+b_1{y}_1\text{'}+b_0{y}_1=0}$, (*)

Sistema fundamental de soluciones

Llamamos sistema fundamental de soluciones a n soluciones de la ecuación (*) linealmente independientes.

Teorema I.- La ecuación (*) admite un sistema fundamental de soluciones.

Teorema II.-Si {y₁, y₂...y_n} es un sistema fundamental de soluciones, cualquier solución de la ecuación (*) se puede expresar de la forma:

${\displaystyle y=C_1{y}_1+C_2{y}_2+\mathrm{...}+C_n{y}_n,C_1,C_2\mathrm{...}{C}_n\in R}$