Ecuaciones lineales de primer orden
Definición: Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a la que es lineal con respecto a la función (incógnita y) y su derivada.
y'+f(x)y=g(x)
Donde f(x) y g(x) son funciones continuas en un cierto dominio D
En el caso que g(x)=0, se dice que la ecuación lineal es homogénea. Esta ya es de variables separadas.
Ejemplo:
Resolución: Se hace el cambio y=u(x)v(x)
, (*)
v(x) se determina con la condición (v'-f(x)v)=0
Sustituyendo en (*) se obtiene u(x)
Ejemplos:
Resolviendo el ejemplo anterior tenemos:
Haciendo
La integral general
, (*)
Haciendo
Volviendo a (*)
Ecuaciones reducibles a lineales
Ecuación de Bernoulli
Es una ecuación de la forma:
Resolución: Se divide entre yn, se hace el cambio, , y ya se tiene la lineal.
Ejemplos:
y'-y=xy5
Dividiendo entre y2 tenemos:
Haciendo
Ecuación lineal. Haciendo z=u·v tenemos
Cíclica
con el cambio
lineal
Multiplicando por x
sustituyendo
lineal
integrando por partes
Ecuación de Riccati
Es una ecuación de la forma:
Ejemplo
Se observa que y=x es una solución particular de dicha ecuación.
Con el cambio , nos queda
lineal
Integrar las ecuaciones:
Solución particular, y=x