Dada la ecuación diferencial

${\displaystyle y^{(n}+b_{n-1}{y}^{(n-1}+\mathrm{...}+b_{2}y\text{'}\text{'}+b_{1}y\text{'}+b_{0}y=f(x)}$, (**)

b₀, b₁...b_n-1 ∈R, f(x) es continua en (a, b)

Teorema.- La integral general de la ecuación diferencial (**) es suma de la integral general de la ecuación homogénea mas una solución particular de (**).

y=y_H+y_p

Cálculo de la solución particular

1. f(x) es de la forma P(x)e^kx

Donde P(x) es un polinomio de grado p.

La solución particular y_p es

• Q(x)e^kx, si k no es una raíz de la ecuación característica

• x^m·Q(x)e^kx, si k es una raíz de la ecuación característica con orden de multiplicidad m

Q(x) es un polinomio del mismo grado que P(x) cuyos coeficientes habrá que determinar, obligando a que cumpla la ecuación.

Ejemplo 1, y'''-5y''=(7x-4)e^2x

Ecuación característica. r³-5r²=0=r²(r-5). Raíces: r=0 (raíz doble), r=5 (raíz simple)

${\displaystyle \begin{array}{l}{y}_H=A_1+A_{2}x+B_1{e}^{5x}\\ y_p=(A+Bx)e^{2x}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{y}_p\text{'}=B{e}^{2x}+2(A+Bx)e^{2x}=e^{2x}(B+2A+2Bx)\\ y_p\text{'}\text{'}=2e^{2x}(B+2A+2Bx)+2B{e}^{2x}=4e^{2x}(B+A+Bx)\\ y_p\text{'}\text{'}\text{'}=8e^{2x}(B+A+Bx)+4B{e}^{2x}=e^{2x}(12B+8A+8Bx)\end{array}\end{array}}$

Como

${\displaystyle y_p\text{'}\text{'}\text{'}-5y_p\text{'}\text{'}=(7x-4)e^{2x}}$

Sustituyendo

${\displaystyle \begin{array}{l}{e}^{2x}(12B+8A+8Bx)-20e^{2x}(B+A+Bx)=(7x-4)e^{2x}\Rightarrow \\ \{\begin{array}{l}8B-20B=7,B=-\frac{7}{12}\\ (12B+8A)-20(B+A)=-8B-12A=-4\Rightarrow 2B+3A=1,\Rightarrow A=\frac{13}{18}\end{array}\end{array}}$

La integral general

${\displaystyle \begin{array}{l}y=y_H+y_p=A_1+A_{2}x+B_1{e}^{5x}+\left(\frac{13}{18}-\frac{7}{12}x\right)e^{2x}=\\ =A_1+A_{2}x+B_1{e}^{5x}+\frac{1}{6}\left(\frac{13}{3}-\frac{7}{2}x\right)e^{2x}\end{array}}$

Ejemplo 2, y'''-5y''=(7x-4)

La ecuación homogénea es la misma. Calcularemos la particular:

${\displaystyle y_p=x^2(A+Bx)\Rightarrow \{\begin{array}{l}{y}_p\text{'}=2Ax+3B{x}^2\\ y_p\text{'}\text{'}=2A+6Bx\\ y_p\text{'}\text{'}\text{'}=6B\end{array}}$

Obligando a cumplir la ecuación, $y_p\text{'}\text{'}\text{'}-5y_p\text{'}\text{'}=(7x-4)$

Tenemos

${\displaystyle 6B-5(2A+6Bx)=7x-4\Rightarrow \{\begin{array}{l}-30B=7,B=-\frac{7}{30}\\ 6B-10A=-4\Rightarrow 3B-5A=-2,A=\frac{13}{50}\end{array}}$

La solución particular es

${\displaystyle y_p=x^2\left(\frac{13}{50}-\frac{7}{30}x\right)}$

La integral general

${\displaystyle \begin{array}{l}y=y_H+y_p=A_1+A_{2}x+B_1{e}^{5x}+x^2\left(\frac{13}{50}-\frac{7}{30}x\right)=\\ =A_1+A_{2}x+B_1{e}^{5x}+\frac{1}{10}{x}^2\left(\frac{13}{5}-\frac{7}{3}x\right)\end{array}}$

2. f(x) es de la forma e^ax(P(x)cos(bx)+Q(x)sen(bx))

Donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado p y q respectivamente

La solución particular y_p es

• e^ax(P₁(x)cos(bx)+P₂(x)sen(bx)), si a±bi no es una raíz de la ecuación característica

• x^m·e^ax(P₁(x)cos(bx)+P₂(x)sen(bx)), si a±bi es una raíz de la ecuación característica con orden de multiplicidad m

P₁(x) y P₂(x) son polinomios cuyo grado es el mayor entre p y q cuyos coeficientes habrá que calcular.

Ejemplo 1: y''-y'=5senx

La ecuación homogénea. r²-r=0. Las raíces, r=0, y r=1.

${\displaystyle \begin{array}{l}{y}_H=A+B{e}^x\\ y_p=C\cos x+D\mathrm{sen}x,y{\text{'}}_p=-C\mathrm{sen}x+D\cos x,y\text{'}{\text{'}}_p=-C\cos x-D\mathrm{sen}x\end{array}}$

Obligamos a que cumpla la ecuación, $y\text{'}{\text{'}}_p-y{\text{'}}_p=5\mathrm{sen}x$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}(-C\cos x-D\mathrm{sen}x)-(-C\mathrm{sen}x+D\cos x)=5\mathrm{sen}x\Rightarrow \{\begin{array}{l}-D+C=5\\ -C-D=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}D=-\frac{5}{2}\\ C=\frac{5}{2}\end{array}\\ y_p=\frac{5}{2}\left(\cos x-\mathrm{sen}x\right)\end{array}}$

La integral general

${\displaystyle y=y_H+y_p=A+B{e}^x+\frac{5}{2}\left(\cos x-\mathrm{sen}x\right)}$

Ejemplo 2. y''+4y=7cos2x

la ecuación homogénea, r²+4=0, r=±2i

y_H=Acos2x+Bsen2x

${\displaystyle \begin{array}{l}{y}_p=x^1\left(C\cos 2x+D\mathrm{sen}2x\right)\\ y{\text{'}}_p=\left(C\cos 2x+D\mathrm{sen}2x\right)+x\left(-2C\mathrm{sen}2x+2D\cos 2x\right);\\ y\text{'}{\text{'}}_p=\left(-2C\mathrm{sen}2x+2D\cos 2x\right)+1.\left(-2C\mathrm{sen}2x+2D\cos 2x\right)+x\left(-4C\cos 2x-4D\mathrm{sen}2x\right)\end{array}}$

Obligamos a que cumpla la ecuación, $y\text{'}{\text{'}}_p+4y_p=7\cos 2x$

Tenemos

${\displaystyle \begin{array}{l}2\left(-2C\mathrm{sen}2x+2D\cos 2x\right)+x\left(-4C\cos 2x-4D\mathrm{sen}2x\right)+4x\left(C\cos 2x+D\mathrm{sen}2x\right)=\\ =7\cos 2xÞ2\left(-2C\mathrm{sen}2x+2D\cos 2x\right)=7\cos 2x\Rightarrow \{\begin{array}{l}4D=7,D=\frac{7}{4}\\ -4C=0,C=0\end{array}\\ y_p=x\left(\frac{7}{4}\mathrm{sen}2x\right)\end{array}}$

La integral general

${\displaystyle y=y_H+y_p=A\cos 2x+B\mathrm{sen}2x+\frac{7}{4}x\mathrm{sen}2x}$

Integrar las siguientes ecuaciones:

13. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}-8y\text{'}+16y=(1-x)e^{4x}}$

14. ${\displaystyle 4y\text{'}\text{'}-3y\text{'}=x{e}^{\frac{3}{4}x}}$

15. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+25y=\cos 5x}$

16. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+y=\cos x-\mathrm{sen}x}$

17. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}-4y\text{'}+8y=e^{2x}(\cos 2x-\mathrm{sen}2x)}$

18. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}\text{'}+y=2x}$

19. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}\text{'}+6y\text{'}\text{'}+11y\text{'}+6y=2x+3x^2}$

20. ${\displaystyle y{}^{IV}-y\text{'}\text{'}\text{'}=6}$

21. ${\displaystyle y{}^{IV}+2y\text{'}\text{'}\text{'}+y\text{'}\text{'}=e^{4x}}$

22. ${\displaystyle y{}^{IV}+2y\text{'}\text{'}\text{'}+y\text{'}\text{'}=x{e}^{-x}}$

23. ${\displaystyle y{}^{IV}+4y\text{'}\text{'}+4y=\mathrm{sen}2x}$

24. ${\displaystyle y{}^{IV}+4y\text{'}\text{'}+4y=x^2\cos 2x}$

25. ${\displaystyle y{}^{IV}+4y\text{'}\text{'}\text{'}+6y\text{'}\text{'}+4y\text{'}+y=2x\mathrm{sen}x}$

26. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+8y\text{'}=8x{e}^{2x}}$

27. ${\displaystyle y{}^{IV}-4y\text{'}\text{'}\text{'}+6y\text{'}\text{'}-4y\text{'}+y=3x^2{e}^x}$

Principio de superposición de soluciones

Si el segundo miembro de la ecuación f(x)=f₁(x)+f₂(x)+...+f_k(x) e $y_{p_1},y_{p_2}\mathrm{,...}{y}_{p_k}$, son las soluciones de las ecuaciones, $y^{(n}+b_{n-1}{y}^{(n-1}+\mathrm{...}+b_{2}y\text{'}\text{'}+b_{1}y\text{'}+b_{0}y=f_i(x)(i=1\mathrm{,}2\mathrm{,}\mathrm{...}k)$,
la solución particular, $y_p=y_{p_1}+y_{p_2}+\mathrm{...}+y_{p_k}$

Ejemplo. y''-5y'+6y=(x²+1)e^x+xe^2x

Ecuación característica, r²-5r+6=0. Raíces: r=2 y r=3

${\displaystyle \begin{array}{l}{y}_{p_1}=\left(A+Bx+C{x}^2\right)e^x;y{\text{'}}_{p_1}=\left(B+2Cx\right)e^x+\left(A+Bx+C{x}^2\right)e^x=\\ =\left((B+A)+(2C+B)x+C{x}^2\right)e^x\\ y\text{'}{\text{'}}_{p_1}=\left(2C+B+2Cx\right)e^x+\left((B+A)+(2C+B)x+C{x}^2\right)e^x=\\ =\left((A+2B+2C)+(B+4C)x+C{x}^2\right)e^x\end{array}}$

Obligando a que cumpla la ecuación, $y\text{'}{\text{'}}_{p_1}-5y{\text{'}}_{p_1}+6y_{p_1}=(x^2+1)e^x$

${\displaystyle \begin{array}{l}\left((A+2B+2C)+(B+4C)x+C{x}^2\right)e^x-5\left((B+A)+(2C+B)x+C{x}^2\right)e^x+6\left(A+Bx+C{x}^2\right)e^x=\\ =(x^2+1)e^x\Rightarrow \{\begin{array}{l}C-5C+6C=1\Rightarrow C=\frac{1}{2}\\ (B+4C)-5(2C+B)+6B=0;2B-6C=0\Rightarrow B=\frac{3}{2}\\ (A+2B+2C)-5(B+A)+6A=1;2A-3B+2C=1\Rightarrow A=\frac{9}{4}\end{array}\\ y_{p_1}=\left(\frac{9}{4}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}{x}^2\right)e^x\\ y_{p_2}=x(D+Ex)e^{2x}=(xD+E{x}^2)e^{2x}\\ y{\text{'}}_{p_2}=(D+2Ex)e^{2x}+2(xD+E{x}^2)e^{2x}=\left(D+2(D+E)x+2E{x}^2\right)e^{2x}\\ y\text{'}{\text{'}}_{p_2}=\left(2(D+E)+4Ex\right)e^{2x}+2\left(D+2(D+E)x+2E{x}^2\right)e^{2x}=\left(4D+2E+(4D+8E)x+4E{x}^2\right)e^{2x}\end{array}}$

Obligando a que cumpla la ecuación, $y\text{'}{\text{'}}_{p_2}-5y{\text{'}}_{p_2}+6y_{p_2}=x{e}^{2x}$

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(4D+2E+(4D+8E)x+4E{x}^2\right)e^{2x}-5\left(D+2(D+E)x+2E{x}^2\right)e^{2x}+6(xD+E{x}^2)e^{2x}=x{e}^{2x}\\ \{\begin{array}{l}8E+4D-10E-10D+6D=1\Rightarrow -2E=1\Rightarrow E=-\frac{1}{2}\\ 2E+4D-5D=0\Rightarrow D=2E\Rightarrow D=-1\end{array}\\ y_{p_2}=x(D+Ex)e^{2x}=(xD+E{x}^2)e^{2x}=\left(-x-\frac{1}{2}{x}^2\right)e^{2x}\end{array}}$

La solución particular y_p es

${\displaystyle y_p=y_{p_1}+y_{p_2}}$

Integrar las ecuaciones siguientes:

28. ${\displaystyle 5y\text{'}\text{'}-6y\text{'}+5y=5e^x\mathrm{ch}x}$

29. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+y\text{'}={\cos }^{2}x+e^x+5x-4}$

30. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+2y\text{'}+2y=e^{-x}\cos x+x{e}^{-x}}$

31. ${\displaystyle y{}^V+4y\text{'}\text{'}\text{'}=2e^x+3\mathrm{sen}2x+5x-4}$

32. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+4y=5e^x+4\mathrm{sen}2x+2{\cos }^{2}x-1}$

33. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+y=3\mathrm{sen}2x\mathrm{sen}x}$

34. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+y={\cos }^{2}2x+{\mathrm{sen}}^2\frac{x}{2}}$

35. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+2y\text{'}+y=\cos 2x+5\mathrm{sen}x-\mathrm{sen}2x+6x}$

36. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+y=5\mathrm{sen}2x\cos 3x}$

37. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+4y\text{'}+5y=7e^{-2x}+x\mathrm{sen}2x}$

38. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}-6y\text{'}+9y=\mathrm{sen}x+6x{e}^{3x}+2}$

39. ${\displaystyle y\text{'}\text{'}+4y\text{'}+5y=e^{-2x}\cos x+\mathrm{sen}2x}$