Sólido rígido |
Conservación del momento angular Discos que se acoplan (I) Discos que se acoplan (II) Conservación del momento angular Giros del patinador de hielo Analogía con choque frontal elástico
Caja que puede volcar Choque inelástico bala-disco en rotación Transferencia de la velocidad en un choque Conservación m. lineal y m. angular Choque disco-pared Choque disco-disco (I) Choque disco-disco (II) |
Fundamentos físicos | |||||
| El en capítulo de Dinámica de la partícula hemos examinado el péndulo balístico, consistente en una bala de masa m y velocidad v que choca contra un bloque de masa M que cuelga del extremo de una cuerda. Para resolver el problema podemos aplicar indistintamente el principio de conservación del momento lineal o del momento angular. En esta segunda versión, el bloque se sustituye por un cilindro de masa M y de radio r y la cuerda por una varilla rígida de longitud d y de masa despreciable. El aspecto didáctico más importante de este problema, es la de mostrar la diferencia entre las dos versiones del péndulo balístico: mientras que una masa puntual en movimiento circular no puede tener una velocidad nula en el punto más alto de su trayectoria, un sólido rígido en rotación puede tener una velocidad angular nula.
Fundamentos físicosEn esta versión solamente es aplicable el principio de conservación del momento angular, ya que el sistema no es aislado sin embargo, el momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo.
Principio de conservación del momento angular
Como el momento angular inicial y final son iguales, despejamos la velocidad angular w, justamente después del choque.
El momento lineal del sistema no se conserva El momento lineal inicial del sistema formado por la bala y el péndulo en reposo es pi=mv El momento lineal final del sistema es pf=(m+M)vf Como la varilla no tiene masa, y la bala impacta en el centro del cilindro, el centro de masa del sistema está en el centro del cilindro ycm=d. La velocidad final del c.m. del sistema es vf=ω·d Para otros casos no tan simples, se calcula el centro de masa del sistema ycm. La velocidad final del c.m. sería vf=ω·ycm
Si el radio r es cero, el cilindro se convierte en una masa puntual M, el momento lineal se conserva Δp=0. El principio de conservación del momento lineal y del momento angular dan los mismos resultados. Fuerzas interiores y exteriores
Una fuerza horizontal F que actúa en el eje O del péndulo durante el tiempo Δt que dura el choque. El impulso de esta fuerza exterior F produce un cambio en el momento lineal del sistema. Si suponemos que F es constante durante este corto intervalo de tiempo, podemos escribir F·Δt= Δp El sentido de F será el indicado en la figura, si el momento lineal aumenta, y el contrario si disminuye.
Balance energético
La energía perdida en la colisión es la diferencia entre estas dos energías. En la parte izquierda del applet, podemos observar que la mayor parte de la energía cinética de la bala se convierte en energía de deformación cuando la bala se incrusta con el cilindro y solamente, una pequeña parte de la energía inicial se convierte en energía cinética de rotación del sistema formado por la varilla, el cilindro y la bala.
Movimiento después del choque
Como la aceleración angular no es constante, podemos obtener la posición angular q en función del tiempo, integrando la ecuación diferencial de segundo orden. Sin embargo, es mucho más fácil aplicar el principio de conservación de la energía para obtener información sobre el comportamiento del sólido en rotación. Principio de conservación de la energía
Puede ocurrir que la velocidad de la bala sea tan grande que el péndulo empiece a dar vueltas. Para que esto ocurra, la energía del péndulo después del choque tiene que ser mayor que la energía potencial del cilindro y de la bala correspondiente a una altura 2d.
Mientras que una masa puntual en movimiento circular no puede tener una velocidad nula en el punto más alto de su trayectoria, un sólido rígido en rotación puede tener una velocidad angular nula. Esta es la diferencia esencial entre las dos versiones del péndulo balístico. Ejemplos
Ejemplo 2º
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón Empieza Se observa sobre la escala angular graduada el máximo desplazamiento del péndulo. Su valor numérico se muestra en la esquina superior izquierda del applet. También podemos ver a la izquierda del applet, un gráfico que muestra el balance energético de la colisión. Comparar las dos versiones del péndulo balístico introduciendo los mismos valores en ambos programas interactivos. Comprobar el efecto del radio del cilindro manteniendo constantes los otros datos. |
Fuerzas sobre la barra en en eje de rotaciónSi la varilla tiene masa despreciable, el centro de masas se encuentra en el centro del cilindro de masa M y radio r, donde también se encuentra alojada la bala de masa m.
En la figura de la izquierda, se muestra las fuerzas sobre el conjunto formado por la barra, el cilindro y la bala. En la figura de la derecha, la descomposición de dichas fuerzas según los ejes que se indican. Hemos calculado la aceleración angular y la velocidad angular del sistema después del choque cuando la barra forma un ángulo q con la vertical tal como se ve en la figura.
Siendo w0 la velocidad angular del sólido inmediatamente después del choque El centro de masas describe un arco de circunferencia de radio d, por tanto, tiene dos aceleraciones, una tangencial at y otra normal an. En la figura de la izquierda, se han dibujado las fuerzas sobre el sistema. A la derecha, se ha sustituido el peso por sus componentes y se han dibujado las componentes tangencial y normal de la aceleración. A partir de este esquema, planteamos las ecuaciones del movimiento del centro de masas. (M+m)·at=Ft-(M+m)g·senq
Teniendo en cuenta que en un movimiento circular at=a ·d Despejamos Ft y Fn Ft =(M+m)·a ·d +(M+m)g·senq La fuerza F sobre la barra en el eje de rotación es
Ejemplo Volvemos al ejemplo 1º
0=2.35 rad/s El problema va a consistir ahora en calcular las fuerzas Ft y Fn en el eje O, cuando el ángulo q =15º.
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Péndulo balístico (II)
