Sólido rígido |
Conservación del momento angular Discos que se acoplan (I) Discos que se acoplan (II) Conservación del momento angular Giros del patinador de hielo Analogía con choque frontal elástico Péndulo balístico (II) Caja que puede volcar Choque inelástico bala-disco en rotación Transferencia de la velocidad en un choque Conservación m. lineal y m. angular Choque disco-pared Choque disco-disco (I) Choque disco-disco (II) |
Conservación del momento angular | |||||||||||
La mayor parte de los libros de texto, cuando introducen el principio de conservación del momento angular, mencionan que un patinador aumenta su velocidad angular de rotación al acercar sus brazos y sus piernas al cuerpo. Despreciando la fuerza de rozamiento entre los patines y el hielo, no hay momento de las fuerzas exteriores.
Para un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal de inercia L=I·ω.
Conservación del momento angularEn esta página, se describe un modelo de patinador, consistente en un sistema formado por una varilla rígida y dos masas que pueden deslizar sin rozamiento a lo largo de la varilla. La varilla representa el cuerpo, y las masas deslizantes los brazos y las piernas, la acción de los músculos se representa por medio de dos muelles que unen los extremos de la varilla con cada una de las masas deslizantes. El sistema puede girar alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por su centro.
Inicialmente, el sistema gira alrededor del eje que pasa por O, con velocidad angular constante ω0. Un dispositivo mantiene sujetas las dos masas deslizantes a una distancia r0 del eje. Vamos a determinar la velocidad angular de rotación cuando se liberan las dos masas deslizantes.
El momento angular inicial es
El momento angular final, cuando las dos masas deslizantes se encuentran en el origen r=0, es L=Iv·ω Al disminuir el momento de inercia, aumenta la velocidad angular de rotación ω>ω0.
Movimiento de las masas deslizantesVamos a estudiar el movimiento de las dos masas deslizantes, desde el estado inicial al final. Nos situamos en el Sistema de Referencia no inercial que gira con la varilla con velocidad angular ω. Sobre cada una de las masas (m/2), situadas a una distancia r del eje de rotación, se ejercen las siguientes fuerzas:
La segunda ley de Newton se escribe
Ahora bien, la velocidad angular de rotación ω, no es constante, su dependencia con r se obtiene de la conservación del momento angular L=(Iv+mr2)ω, La ecuación diferencial que describe el movimiento de una masa en la dirección radial, es decir, en el Sistema de Referencia que se mueve con la varilla es
Integramos esta ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la velocidad radial de la masa dr/dt=0, y su distancia al eje r=r0.
Curvas de energía potencialLa energía inicial del sistema, cuando las masas se encuentran sujetas, es la suma de
La suma de los dos primeros términos, es la energía cinética de rotación del sistema formado por la varilla y las dos masas.
Cuando se liberan las dos masas y se encuentran a una distancia r del eje de rotación. La energía del sistema formado por la varilla, las dos masas y los dos muelles elásticos iguales, se escribe en coordenadas polares
Teniendo en cuanta que el momento angular es constante, podemos escribir la energía E del sistema en función de r y de su derivada dr/dt,
Dividimos la energía E entre las dos masas iguales, podemos considerar que cada una de ellas se mueve en un potencial efectivo
La fuerza resultante sobre cada una de las masas se obtiene derivando la energía potencial y cambiando de signo.
que como vemos es la diferencia entre la fuerza centrífuga, y la fuerza que ejerce el muelle comprimido. En la figura, tenemos la representación del potencial efectivo de las dos masas que salen de la posición inicial r0, con velocidad radial dr/dt=0. Si su energía total es E (recta horizontal), las masas llegan al origen r=0 al cabo de un cierto tiempo.
Observaremos que la velocidad angular de rotación ω, crece hasta que se hace máxima cuando las masas se pegan al eje.
Observaremos que la velocidad angular de rotación ω, crece hasta que se hace máxima cuando las masas se acercan al eje y luego, disminuye cuando se alejan del eje. La distancia r1 la podemos calcular poniendo dr/dt=0 en la expresión de la energía total E. Obtenemos una ecuación de cuarto grado en r que podemos reducir a una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son r0 y r1. Véase el ejemplo 2 más abajo.
EjemplosEjemplo 1:
Observamos que al cabo de un cierto tiempo, las masas se quedan pegadas al eje de rotación
Ejemplo 2: Con los mismos datos del ejemplo anterior, cambiamos el momento angular, variando la distancia al eje de rotación de las dos masas r0=0.9.
La energía del sistema formado por las dos masas, la varilla y los dos muelles es
Las dos masas se mueven hacia el origen, pero retroceden cambiando el sentido de su velocidad radial cuando se encuentran a la distancia r1 que se calcula poniendo dr/dt=0 en la expresión de la energía total E en función de r.
Después de algunas operaciones, nos queda la ecuación 2mkr4+2(Ivk-mE)r2+L2-2IvE=0 Con los datos de este ejemplo r4-0.8875r2+0.0628=0 Sustituyendo x=r2 tenemos una ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1=0.81, y x2=0.0775, o sus correspondientes r1=0.9, y r2=0.28.
Ejemplo 3:
Observamos que las dos masas se alejan del eje, hasta que llegan a los extremos de la varilla.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Nuevo. Observamos la rotación del sistema, con velocidad angular ω0=1 rad/s, las dos masas están separadas una distancia r0 del eje de rotación mediante un dispositivo. A la derecha del applet, se representa la energía potencial efectiva Vef(r) y la energía total E del sistema mediante una recta horizontal. La curva y la recta se encuentran en el punto de abscisa r0. Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos el movimiento de las masas a lo largo de la varilla. En la parte superior izquierda del applet, se proporciona los datos de sus distancias al eje, y de la velocidad angular de rotación ω del sistema.
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Kalotas T. M. Lee A.R.. A simple device to illustrate angular momentum conservation and instability. Am. J. Phys. 58 (1) January 1990, pp. 80-81