Dinámica |
Colisiones Carro que dispara un proyectil Caída libre y sucesivos rebotes Choque de dos esferas iguales Choques frontales Choques frontales elásticos Choques elásticos en un carril Choques frontales verticales Choque inelástico de duración finita
No se conserva el momento lineal Choque entre una partícula y un bloque unido a un muelle Medida de la veloci- dad de una bala Choques bidimen sionales Conservación del momento lineal |
Fundamentos físicos | |||||||
| Se dispara horizontalmente una bala contra un bloque suspendido de una cuerda. Este dispositivo se denomina péndulo balístico y se usa para determinar la velocidad de la bala midiendo el ángulo que se desvía el péndulo después de que la bala se haya incrustado en él. Supondremos que el bloque es una masa puntual suspendido de una cuerda inextensible y sin peso. En el capítulo Sólido rígido, estudiaremos una segunda versión del péndulo balístico en el que la cuerda es sustituida por una varilla rígida y el bloque por un cilindro.
Fundamentos físicosDe la conservación del momento lineal obtenemos la velocidad vB inmediatamente después del choque del sistema formado por el péndulo y la bala incrustada en él.
Si M es la masa del bloque, m la masa de la bala y u su velocidad, dicho principio se escribe mu=(m+M)vB Después de la colisión pueden ocurrir los siguientes casos, (véase el bucle) dependiendo del valor de la energía cinética adquirida por el sistema formado por el péndulo y la bala incrustada en él.
Midiendo el ángulo q obtenemos vB y de la conservación del momento lineal obtenemos la velocidad de la bala u.
Siendo T la tensión de la cuerda. La velocidad mínima se obtiene cuando T=0,
La cuerda del péndulo deja de tener efecto en el instante en el que su tensión es cero T=0. Por lo que
En dicho instante, la partícula se mueve bajo la única fuerza de su propio peso describiendo un movimiento curvilíneo bajo la aceleración constante de la gravedad o un tiro parabólico
Un estudio de tallado de la interesante combinación de movimiento circular y parabólico se encuentra en la sección, más abajo, "Trayectoria circular y parabólica". Véase también el ejemplo análogo del movimiento de una partícula en un bucle. Ejemplo1
La velocidad vB del conjunto formado por la bala y el bloque inmediatamente después del choque, es m·u=(m+M)vB, vB=1.18 m/s Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcula la máxima desviación del péndulo
Conocido vB despejamos h=0.07 m, y calculamos el ángulo θ=30.8º Ejemplo 2 ¿Cuál debe ser la velocidad mínima u de la bala para que el péndulo describa una circunferencia?.
Calculamos la velocidad mínima vC de la partícula en el punto más alto de la trayectoria circular, cuando la tensión de la cuerda es cero, aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme.
Aplicando el principio de conservación de la energía, calculamos la velocidad de la partícula en el punto B más bajo de la trayectoria circular.
Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, para calcular la velocidad de la bala u antes del choque m·u=(M+m)vB, u=42.07 m/s Ejemplo 3
La velocidad vB del conjunto formado por la bala y el bloque inmediatamente después del choque, es m·u=(m+M)vB, vB=4.12 m/s Aplicamos el principio de conservación de la energía, para calcular la máxima desviación del péndulo
Conocido vB despejamos h=0.87 m, que es mayor que la longitud R=0.5 del péndulo La cuerda del péndulo deja de tener efecto en el instante en el que su tensión es cero T=0. Por lo que
En este sistema de ecuaciones, calculamos el ángulo θ=119.1º y la velocidad de la partícula v=1.54 m/s El movimiento posterior de la partícula viene descrito por las siguientes ecuaciones del tiro parabólico. v0x=v·cos(180-θ)=0.75
m/s
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza. Se observa el movimiento del péndulo. Se representa la energía del sistema después del choque. Se modifica la masa del bloque de modo que se pueda medir la desviación del péndulo en la escala graduada. Se recomienda al lector que obtenga el valor de la desviación del péndulo para valores dados de la masa de la bala, velocidad de la bala y masa del bloque, y compruebe la solución obtenida con la proporcionada por el programa interactivo.
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Trayectoria circular y parabólica
Para analizar este movimiento complejo, situamos el origen en el centro de la trayectoria circular y medimos los ángulos desde el eje X. El nivel cero de energía potencial lo situamos en el eje X. En la posición angular θ1 la partícula deja de describir la trayectoria circular, la tensión T de la cuerda es nula. En este momento, la ecuación de la dinámica del movimiento circular y el principio de conservación de la energía se escriben
Combinando ambas ecuaciones determinamos el valor del ángulo θ1
Una vez que llega P1 describe un movimiento parabólico, la velocidad y la posición de la partícula es
En el punto P2 la distancia entre la partícula y el centro vuelve a ser R. P2 es el punto de intersección entre la parábola y la circunferencia de radio R. Recordando que la ecuación de una circunferencia, cuando su centro está en el origen de coordenadas es x2+y2=R2
Teniendo en cuenta que de la dinámica del movimiento circular
Llegamos a la siguiente expresión simplificada
El tiempo de vuelo de la partícula hasta que choca con el bucle es
La posición del punto P2 y la velocidad de la partícula son, respectivamente
Supondremos que cuando la cuerda se estira al máximo, se anula la componente normal de la velocidad y la partícula describe de nuevo una trayectoria circular con la componente tangencial de dicha velocidad como velocidad inicial. La componente normal de la velocidad se calcula mediante el producto escalar r2·v2
El módulo del vector posición r2 del punto P2 es el radio R de la circunferencia
La energía final de la partícula en el punto P2 final de la trayectoria parabólica es
Esta energía es menor que la energía de la partícula en el punto de lanzamiento
En la figura, se muestran las trayectorias parabólicas seguidas por la partícula. En la figura de la izquierda las parábolas se producen a la derecha y a la izquierda. Las parábolas son cada vez más pequeñas por que la partícula va perdiendo energía, esta pérdida se produce cuando se finaliza la trayectoria parabólica y la cuerda se estira al máximo. En la figura de la derecha, tenemos una sucesión de cinco trayectorias parabólicas, hasta que la partícula casi se detiene al final de la última trayectoria.
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Péndulo balístico
. Entonces
